o.ooooi

— — — Il m — 1+21/2=4.06449 5io22 460

^^',e = 5,45516 99766 212 iB..... 0-89784 76811 905

4'aï 0,28922 48101 897

Par ces valeurs , on voit que la différence entre les deux membres de l!?quation

4'a^ H- 4> + 4'.ï = — ifi + m — I + 24/2

est tout-à-fait insensible. Cette équation a donc lieu exactement , et les résultats précédens sont pleinement confirma.

Des intégrales -^^ ^f^^-^ , 4'^ ^Jl^^^,.

285. Ces intégrales représentent la seconde fonction de seconde espèce sous les deux formes dont elle est susceptible. Pour donnée quelques exemples de l'application de notre théorie à cette fonction , il faut d'abord trouver la valeur complète de la première intégrale lorsque jc == i , et Texpression de la seconde lorsque oc est infini. Or, il résulte des formules citées ci-dessus, dans, la théorie des fonctions T, qu'on a

4,1 = l^r^.J^i—, JîT' 9-64651 49450 191

r/ ' x^dx \ J2I R' r(i.8o).... 9.96912 86662 41

43I = b. 45985 75656 895, 4si 9.66262 3"554i lo

B' = 0.56841 52086 874. sîn^ 9-90795 76445 86

286. Voici maintenant les séries par lesquelles on pourra calculer les deux intégrales pour toute valeur donnée de x :

a8o FONCTIONS ULTRA-ELLIPTIQUES,

Soit I — x^ = u, on aura '^s^ = ^/s' — U, et U, qui représente Tintégrale i/uT *du (i — u)" s, se calculera par la formule

U2 j/ ,11/, 1.6 M* , 1.6. II m' , ^ \ = ^wMi + ^.^+ = — • ^ + X = . H etc. ).

5 \ * 5 3 5.IO 5 5.IO.I5 n * /

(III) x' <i.

La valeur de 4'»^ ^^ calculera par la série (I), eu prenant avec le signe ^- les termes de rang pair.

(IV) x^ > ± et < I.

Soit u =s — :-— 5s on aura

4, ^__ ;/i 1^ i3 « i3.a3 «• ^^ i3.a3 .33 "' i « \ «a: — u^^-f- — .-+ Y^;^ . ^ -h Y^-^^ - - -h etc.^

u faudra faire uss-- ^ , et Ion aura /-^ ^ ^ s= — ^/jK "'<6t(i — a)"', ensuite

U=J«--(iH--^.-îî- + ^'^.^ + -^-^.f'-hetcA

5 \7 ' lo 17 • 10.10 27 ' io.i5.2o 07 ' J

Si Ton fait a: = | , la dernière formule se réduit à '\f'^ = i jc* — B', comme l'a donnée la théorie des fonctions F.

Exemple P\.

287. On a trouvé, dans l'art. aSi, les valeurs a:=— a, jca=— Ç qui f appliquées aux fonctions de la première espèce , donnent Téquation

Si des fonctions 4-^ nous passons aux fonctions de seconde espèce -^^

TROISIÈME SUPPLÉMENT. a8i

on devra avoir Téquation

^j^'jÇ — •vj/'sflt = const.— n(X).

Pour avoir la valeur du coefficient de -, désignée par n(X), il faut ol>server qu'on a , dans ce cas ^

^ = e^0-*-T + T + «»4' Z = ^ /(îîf).

Bx y \f ,x/

Cette quantité^ dans laquelle on substitue les valeurs 6^ = c + a- , 9^x=:c 'i'CiX, étant développée suivant les puissances descendantes de X, donnera un résultat de la fidrme X = A -J- A'// + A"m* -j- etc. , dans

lequel on a 2< = - et

Ce \*

A =^ — 2C, , A' = — 2C + ace, — c, (*m 4- t) — ^ A.

On voit que A' est la quantité désignée pardi (X); ainsi Ton aura n(X) = — 2C + :icc, H- c,(m + i,) +,1 (Çt)^

Dans 'i^xemple 'propose, ■•ow ac= =— » et 'c.-ssi— c. œ:- — c;

donc n(X) = — 2C — |c^ = ■ iP - r*! . ji etilecpiatioD à .v^rifier.fiera

4'8^ -"^ '4''8* =^«on8t. + ^^^— •

Maintenant, si l'iOn faitJe calcul dç^^sO} d'après la rfi>rmii]e(Ii)i,'^en ayant smndejprflBdcef jftégatiiraDMQt.les Aefmeside xang pair, an. trouvera

A l'égard de •4/^3^ , Toici'le calcul détailté des dîfférens termes, suivant la formule ^:(^).;. on iy .«a enployémne jpartieadesrTCsidtat&fdfljàr^rouvés art. 282.

M- «•'...; ♦o.325i59ii9a898 67 .u?'\ . . 7,. 70680 ^49709 3i

YTÔ. •• 9.59280 05690 20

3) a.58o57 43936 95 ToHB m. 36