g i8igi 7 g

fff- - g. 88614 67427 3

g) 0.66366 iggio 8.'

i) = 0.16995 85o32 95 5) == o.ooooo i4iaS ï54

2) ao4 55774 094 6) 1*753 569

3) i3 29484 29a 7) aSa 002

4) I 25724 927 8) S'a i5a M« . • . 16145 oSg 9) 4 6'^

4si--- 0.4598575656893 M 16145059.

•4.jce = 0.28770 65475 571

Calcul de 4 '3^ par ^ fonmde (Y).

I + ^»... 5.48829 78845 5o 1) = 39.53gi5 76227 4;igi

«-•'».... 1.6464895662-99 ^'•••.- 0-56841 5ao86 874 .

-Z- /; co /o ^ 28.97075 41887 256

a" 6.158191480969 v ifJ J •* /

U 4*51170 aii56 70

4^our trouver, enfin, la valeur de 4'si > on se servira de la formulot^) , qui offre la série la^ plus convergente pour ce cas particulier , ou Ton a

uz=i-: cette formule est 4's^ == «* *** — B' — U,

¥T ^ ■:t/« I 6 tt , 6. II M» , 6. II. 16 II* , ^ \

U=^ M {- + —. — H- ^.— H- p — .ç- + etc.).

5 \7 ' 10 17 ' 10. i5 27 ' io.i5.2o 37 "^ /

On trouvera d'abord

ensuite, prolongeant la série U jusqu'au onzième terme ^ on «um les résultats suivans^ à compter du premier terme marqué (2):

a) = o.o55i7 55546 8) = o.ooooi 3o532

r aé24i37 79262

12) etc.

On remarquera qu'à cause du peu de convergence de la série qu'on vient de calculer y la valeur trouvée de 4^^ doit être à peine exacte jusqu'à la huitième décimale. Au reste, les deux membres de leqfiation à vérifier offrent les résultats suivans , d'après les valeurs calculées :

4'3ff= 28.97075 41887 170 nX=: 28.87141 28588 254

4'si 0.21 157 79282 7B' 0.28420 76045 457

I*' memb. =29.04706 28080 2*-memb. = 29.04706 28181 710.

La différence ne se trouve que d'une unité dans le huitième ordre de décimales, qui est le dixième chiffi*e significatif. Ainsi l'équation dont il s'agit a lieu exactement , confi>rmément à la théorie ; les deux membres d'ailleurs s'accorderaient entièpement en supposant

4'si = 0.2T157 79181 o5i,

valeur que Ton aurait sans doute obtenue en calculant la série dont elle dépend avec plus de termes et plus de décimales.

286 FONCTIONS ULTRA-ELLIPTIQDES ,

$ IX. Examen des propriétés de la même transcendante^ en

supposant successwement yx = 4 ^ïyx = 3.*

28g. Tous les calculs précedens ont été faits dans la supposition de ;t = 5; nous allons maintenant revenir sur nos pas, en réduisant Tëquation primitive au quatrième degré ou même au troisième , c'est-àdire en supposant successivement )u = 4 et /x = 3, mais en conservant toujours la même valeur de la fonction ^o:/ savoir , ^x s=: i — jt*. Nous formerons ainsi deux nouveaux systèmes, qui auraient d& être les premiers dans Tordre de ces recherches, et qui offriront, conmie le système de ft = 5 , une infinité de manières de comparer entre elles les transcendantes 4^*

Pour établir l'équation fondamentale dans le système ;« = 4 ^ nous

prendrons Bx =i c ^ x , fljX = «, ^,ar = i -j- ^ ' jr •+- «• ^ et alors l'équation (a) deviendra

^H / m + . m+. • A ^ = (^-^.)(^-xJ(x-«^(x-x^.

On remarquera que nous avons mis c-|-x à la place de c-\*c^Xp qu'indique la formule générale; mais, dans le cas présent, le coefficient de x^ devant être le même dans les deux membres, on aurait la condition (c,)* = I , qui permet de prendre c, = i . '

U ne reste donc dans notre équation que deux coeiSciens a et c à déterminer ; pour cela , il faut supposer connues deux des valeurs particnlières de x comprises dans la suite x^ , j:. , Xi , x^. Soient ces deux valeurs j: = ^ , x=it\ on aura , comme ci-dessus , les équations

d'où Ton tirera les valeurs

a =: -> , C = ÛA — r = --7 — .

Soit ensuite j:* + /?^ + ^f = o réquatîon qui a pour racines les deux autres termes de la suite a:, , jc. , 0:3 , x^ ; et Ton aura , pour déter miner /?• et 9, l'ëquation

d'où l'on tire • /»=: — <-.<'— a« — 2C — (—7—;,

L'ëquation à résoudre pour avoir les deux auxiliaires sera, par conséquent y

et, avec les quatre racines ainsi déterminées ,. pn formera le premier membre de l'équation (5).

290. Le cas le plus simple est celui où l'on suppose nulle Fune des données ^ et ^'; supposant donc ^=0, ce qui donne ^'z=:i et a=c, on n'aura plus que la donnée or = ^, qui devra être combinée avec * les deux racines de l'équation

Il faudra d'ailleurs substituer dans cette formule la valeur c s: , qui

peut se mettre sous cette autre forme :

— i — t. — ^ <• ±: V/(i — fi)

Avant de donner des exemples de ces formules, il ne sera pas inutile d'examiner la figure de la courbe représentée par l'équation (29) , en regardant t comme l'abscisse et c comme l'ordonnée.

291. Celte courbe ,. tracée fig. 3, n'a point * d'asymptote verticale,

a88 FONCTIONS ULTRA-ELLIPTIQUES,

comme celle de la fig. 2 ; en effet, le déDOminateur m + i — t. -f-^f

dans lequel nons supposons m positif, ne peut se réduire k séro, puisque ses £sicteurs sont imaginaires.

A partir du point A , origine 'des abscisses , Tare de courbe AC , dirige dans le sens des abscisses positives , se prolonge au^essous de I*axe AC jqsqu'au point C , dont les coordonnées sont AB =s i , BC =s i • Eu ce point l.a eourbe est tangente à l'ordonnée CB ; elle se prolonge ensuite dans l'arc indéfini CKDEFG, dirigé tout «ntier dans *de «os nies abscisses négatives. Les points les plus remarquables de ce prolongement sont le point K, où l'ordonnée négative est un maximum^ le point 'E, où l'ordonnée pareillement négative est un minimum, ei les-dem poiats D et F, situés, comme le point C, sur une parallèle à l'axe menée à la distanee CBs= i. On déterminera, ci -après la position des points K et E ; quant à celle des points D et F , elle se détermine par les yalenrs de ^ qui ont lieu lorsque c = — - 1. Or, on a en général / = c'(A — i); faisant donc c = — i , on aura ^=1— *A, ou As=:i*^-< et

(, - (i - ..îif-i +1.)

^* = m +1 ^^ ( * — ' )'• Supprimant le &cf eur

I — t relatif au point G, où ^ = i, il reste l'équation

(i— ^)(i + /.î2Jli + ^) = 1 ^ÏLi:LÎ+./.,,qui^ étant oAiwte et divisée 'par t , donne

II en résulte une racine positive t = eL et une racine n^ative < = — ^, dont les valeurs isoot

= - (^) + l ,V^(^«'^ - io)= o;565g6^55S99

on connaît donc les abscisses des points D et F , savoir : Ad ss a et A/= C.

393. PM>posonSMions maintenrat de déHérminei^ hr pcMiEtH>il>du'<pnMt 4L où l'ordonnée est un maxhnnm, et «elle' du pointE où lVn4oiukëe^é»t uniifiMfiiieim/>«es/deuiB jmnts sont en effet néeessake^k'^miéHre^^poiir

fixer la limite des deux portions de zone dans lesquelles la constante du second membre de Téquation (3), a deux valeurs déterminées. L'équation (ag) , rendue entièrement rationnelle , prend la forme

o = c*Q -+• acP -+• P^ , dans laquelle

Si on la différentie en regardant c comme constante , on aura une seconde équation qui, combinée avec la première, produit le résultat

suivant z

où l'on a supposé

C'est donc par une équation du huitième degré qu'on déterminera l'abscisse du point K, où l'ordonnée est un maximum ^ ainsi que celle du point E, où l'ordonnée est un minimum; mais comme il y a en même temps une autre inconnue à déterminer , on préférera la méthode suivante , qui parait exiger de moins longs calculs.

295. Soït A l'abscisse Ak qui répond au point K, et^ l'abscisse^ AZ du point L , où la courbe est rencontrée par la droite KL , menée parallèlement à l'axe', l'équation entre c et ^ étant mise sous la forme

+ c* (/» + i) + ac , le second membre devra être identique avec le produit *

(t—ay(t + €), ou /« 4. (^ — a*) t» + (a* — aae)< 4- a*e , ce qui donnera les trois équations

^ — 2* = c' + ac .+ — "ti

(!>') j «. -aae = - C(=i=:-1) + (m+ i)c + i