COS M
il faut y substituer les valeurs xzs: €, log A: s= 8 .85610 49^49 53,
log (i + A:0 = o.io5to i85t4 aS, log (i — A:03Ctei9.86454 12240 65, et l'on trouvera
log. ces fà = Q.gSSiS 52o85 i3, log, cos où = 9.94488 11488 7,
0» = i5«5i'5i",57o3o, oJ = a8* i5' 36^13986,
ou 0» z= i5%86432 5o8, ou û>' = 28%26oo3 885.
La table IX donne pour le module h = sin 60^ la fonction  = F (6, i5^) et ses différences comme il suit :
«TA
cT'A
Faisant donc ,r=:o. 8643a 5o8, la formule d'interpolation donnera
Pareillement ^ pour le module c = sin 3o'' la même table donnera la fonction F (c , 28^) et ses différences comme il suit :
«TA
er»A
— aa
Joignant à ces données la valeur a: = o . 26oo3 885 , on a par la formule d'interpolation
F(c, tJ) = 0.4981 1.87852 d'un autre côté , F(è, a>) = 0,27956 62404
donc M^'^ = 0.77768 5o236«
Nous ayons déjà trouvé
M'>{.a =s 2.49101 71946; de là résulte
La constante du second membre diffère très peu de la constante connue
La différence n'est en effet que de 48 unités décimales du dixième ordre, ^ce qui fait à peine 5 unités décimales du neuvième ordre. Or, l'interpolation de la table IX , pour des modules aussi grands que sin 60^, introduit nécessairement des erreurs dans la neuvième décimale, qui est le dernier chiffre de la fonction , et il n'est pas étonnant que ces erreurs montent à 5 unités sur trois interpolations; on devra donc avoir exac*'
tement
M(4f 4. 4a — 4'Ç) = Fl'c 4- F'6.
Au reste on peut, suivant la remarque déjà faite, partager cette équation
xr
en deux autres relatives aux modules c et b pris séparément; on a en effet
Y(c, (p) + F(c, — F(c, cê') = 1.68575 o3538, F(4, (p) + F(6, Ç) — F(é, ûi) = a.i565i 56437.
Or, la constante de la première équation ne diffère de la constante F'c^ 1.68575 03548 que de 10 unités décimales du dixième ordre , et celle de la seconde équatic^n ne diffère de F'b = 2. i565i 56475 que de 38 unités décimales du dixième ordre , ce qui s'accorde très bien avec la nature des choses ; enfin, comme on a les valeurs exactes de cos ^^ cos ^^ cos €ù f cos ùà'f il serait facile de vérifier, par la théorie des fonctions el> liptiques, l'exactitude rigoureuse des équations
Exemple III.
328. Supposant de nouveau A:=7, ce qui donne cz=, sin i S"" et 6 = sin 75*', soit ^ = — • 3 , les formules de Part. 3^4 donneront p^=^^, q^=i^,et Ton aura l'équation à résoudre
Cette équation ayant ses racines imaginaires, nous les représenterons , à l'ordinaire, par x = r(cos 8 d= v/— i sîn 6) , ce qui donnera
Comme la valeur r= v^(5.4o) = 3.223... appartient à la seconde forme %[/'jc, dans laquelle x doit être compris entre 1 et i= 3, il faut regarder l'une de nos fonctions imaginaires comme représentée par la formule
t , r x"^dx
Soit alors ;r* — i = p* (cos 2 A + v^ — ^ sin 2 A) , il faudra supposer A constant et p seule variable : cette variable est censée croître depuis p = o jusqu'à p = a , limite qui devra s'accorder avec celle de x : c'est pourquoi il faudra satisfaire à l'équation
r*(cos 28 +V^— I sin 26) — i = a* (cos 2A +|/— • i sin 2A) , d'où résulte
a = 2ï/'(i.92), cos2A = — gpj, sin2A= f^.
35o FONCTKMïS ULTRA-ELLIPTIQUES,
Mainteittiit^ pnisqu'cm a x^ =s fd|p (oos iX*f-v/~-t sin âA)^ ThMégitile '^'jc s'exprimera ainsi, en fonction de p et de X,
4'a: c=/4* (cos A +»/— I sîn A) (i 4^p» côs aA + p* sin aAv/ — i)"* ,
(*^*— *y cos iA — Af p^sîn aA i/— I )" ^ Soie
1 H- f • cos aA H- p* âin aA|/— i as: P (cos m +/— i sin 6»),
*'• — Âfp*cos aA—- it*p* sin aA^/— - ï c=s Q(co6 (p — |/— . i sin ^),
on aura
P* s=ï 1 *|- ap* cos aA + p*,
Q* s= t'* — ■ aAr'Ary cos aA + AV, tang m := — i— r ^
tA cr A *— . *V gin aA ^ f * sîn aA ^^ ^ ^'•—^•^•«waA 8— p«oo6aA^
et enfin
4'x=/T-^Q-^€/f [cos(A — ^ai + ^^)4- /— I sîn(A — 1« + i <p)]^
Ajoutant l'intégrale semblable, qui ne diffère de cellencri qtte par ie signe de v/-— I y la somme des deux sera l'intégrale réelle
4'jr=3/aP"*Q^-4)cos(A — |«4-T*)-
Cest donc cette intégrale qui , étant prise entre les limites f = o, f^^a, représentera la somme des deux intégrales imaginaires proposées.
n reste à calculer la valeur de cette intégrale par la méthode des quadratures; mais d'abord il fiiut chercher celle de la £9tiction 4'^ V^^ ^' pcmd à la valeur supposée ^ =s •« a.
Calcul de 4^3- Sag. Les formules dans lesquelles il faut £ure x = a sont
co6€»»-r7- T\f owai'«=-r7 rr-
On aura donc immédiatement cos û) = (, +"1^^ j/ ' ^ ==^ ^^ —\/(^^) '
et — cos «' ou cos ('TT — oT) = J^ = v v^Ty ' ^^^^ ^" * exactement û> = i5® et ^ — û>' =5 75% ce qui donne
M4'a = ¥(b, i5*^) + aF'c — F(c, 75^).
Ces fanclioos sont données îmnediatement et sans interpolation par la table IX, et il en résulte
Calcul de Caire fjrdp.
53o. Nous devons observer, avant tout, que Taire que nous cherchons doit avoir huit valeurs égales deux à deux et de signes différens. En effet ,
dans Fexpresshhi de l'ordonnée jr = 2P* * Q' ^cosA, où A=x — |a) + i9f les quantités P et Q représentent des modules de quantités imaginaires , lesquels sont toujours supposa positifs et réels. Il en est de même de
leurs racines quatrièmes ou deuxièmes, telles que P^, Q*; car^ dans ce cas, la multiplicité des racines n'influe que sur le facteur angulaire, tel quecos é»+ j/— I sin^ ou cos9 — v^— -i sin 9, qui accompagne le module : ainsi
le facteur P'^Q"^ sera toujours considéré comme réel et positif. Mais il £iut examiner ce que devient l'angle A = A — i^'hiVi comme l'angle ç est déterminé par sa tangente fonction de f, lorsqu'il sera attrilmé une valeur particulière à p, la valeur de ^, ainsi que celle de â^, pomrant être augmentées on dimimiées, à volonté, de 180'', 36o% 54o% etc. , de sorte qu a raison de 7 ^ l'angle A pourra être changé en A db 90% A db 180% et qu'à raison de |â> il pourra être changé en Azb 1 35*, Adb45'', etc. : donc, au lieu de cos A, ou pourra mettre dans l'expression de l'ordonnée celle qu'on voudra des valeurs
cos (A =b 90*), cos (A ± 1 80**), cos (A =b 1 35*) , cos (A d:: 45°).
Il ne résulte de toutes ces formes, quand même on prolongerait la série encore plus loin, que les huit valeurs différentes
cos A , sin A , (cos A + sin A) sin 45**, (cos A — sin A) si n 45°, — cos A , —sin A, — (cos A + sin A) sin 45"*, —(cos 4 — sin A) sin 45*».
Il n'y aura donc que huit valeurs de l'intégrale fjdf , lesquelles seront
égales deux à deux et de signes contraires.
On voit de plus qu'il suffit de calculer deux de ces valeurs, par exemple,
celles qui répondent aux ordonnées ^= 2P""*Q"*cosA,^=2P"^Q"»sinA;
car en appelant Y et Y' ces deux intégrales, on en connaîtra immédiatement deux autres, (Y + Y') sin 45** et (Y — Y') sin 45% et ces quatre intégrales, jointes à quatre autres qui n'en diffèrent que par le signe, seront les huit intégrales cherchées.
cos 2X = — T-TT^. sîn 2\ =5 xZ-^p
53 1. Venons maintenant au calcul effectif des deux aires désignées par Y et Y\ Voici d'abord les données du problème :
r = \/(5.4o), cos fl = ^, sin 6 = ^(^), a = 2v/(i.92), log a = 0.37185 53o28 3986,
2A = io3*»2i' 8"734o5, ^
Four avoir une valeur approchée de Faire /j'dp, nous partagerons la base a en dix parties égales, et chaque partie étant appelée e, on aura
e = 0.23543 64765 i, log e = 9.37185 55028 4-
H faudra donc faire successivement p =s o, e, 2e, 5e,.. • loe, et calculer les ordonnées correspondantes par la formule
7 = 2P"^Q"^ cos A, A = X — . 1^ + ^Ç;
mais, pour plus d'exactitude, nous calculerons en même temps les ordonnées intermédiaires qui répondent aux valeurs p = 76yfe,fe, etc. Nous joignons ici, pour exemple, le calcul des trois premières ordonnées , tant de la série 7" que de la série ^.
SoUy 1^. p =s o.
Si Ton prend, dans ce cas, les valeurs les plus simples des angles 9 et ev,
on aura
a)=o, ^=0, P=:i,Q=i, A:=A, ^= (4.5)* COS A, j^s=s(4.5)»sin A.
cos A 9.79246 5o836 sin A 9.89460 34654
jr = i.5i544 090> y = 1.66421 610.
Soit, 2**. p ss ^e.
e*sin2A 8.73180 91485 4 e*cos2A s= — 0.0128
4 o.6o2o5 99915 2 fiTcos^ = — o.ooSa
fsioaA 8.1397491570 a i+p'cosaX= » 0.9968
i + p'co8aX. 9.9986080395 8-p«cosaA= S.ooîa
tangt» 8.i3ii4 11377
X = 5i''4o'54"36702 5 p^sinaA 8.12974 giSyo
i^ a. 53,73216 8 — p*cos2X... 0.9032636701
^ 51.43.28,09918 tang^ 7.2264854869
A = 5i. 8.35,90955 1+ 2p*cos 2A= 0.9936
, P*= o.oooiq 2 P'* o.ooioi 41888 ^—
rri-1 P 9-99864 77482
