o590 8 cosA 9.81355 t85o

sin A 9.88120 04409 5

y 0.21 c 16 55ooo

Continuant ces cakals jusqu'à p := loe, on aura pour résultat les deux séries d'ordonnées comprises dans le tableau suivant :

P* 9«99<>io 45257 2

p-"' o.oo494 78571 4

64 — i6p*cos2A = 64*3048

p^ = o..oo5o7 2

8iQ» = 64.20787 2

i.toai7 880

loe

Maintenant , si l'on considère l'aire à laquelle appartiennent les ordonnées ^> comme étant formée de dix trapèees paraboliques déterminés par vingt--une ordonnées équidiStantes^ la somme de tous ces trapèzes sera

exprimée approximativement par la formule g ( S +• 4S' + ^S") , dans laquelle S désigne la somme des ordonnées extrêmes , S' la somme des

ordonnées de rang pair, et S'' la somme des ordonnées de rang im-* pair, les deux extrêmes exceptées. Appliquant donc cette fiormule à la série des ordonnées^, on aura Faire cherchée ^é/p = e( 12. 47^57 i3i3); multipliant cette quantité par M, et désignant par 4'^ + '4''^ 1^ somme des deux fonctions imaginaires qu'on veut déterminer , on aum l'équation

M(4'a + 4'^) = Me(ia. 47257 i3i5) s= 4.79607 7875. Le second membre est une valeur approchée de

et Ton ne peut guère attendre une approximation plus grande de la méthode des quadratures que nous avons employée : ainsi nous regarderons comme exacte l'équation

Il s'ensuit que , dans ce cas , l'équation ( 3 ) ne pourrait être que de la forme

mais alors le second membre ne serait plus une constante indépendante du premier membre , c'est-à-dire uniquement formée des fbnctûms F'c et ¥*b, comme on l'a vu dans les exemples I et U. Ainsi nous avons trouvé la valeur exacte de la somme des fonctions imaginaires 4'flt + 4'^# ™^^ ^^^^ valeur ne satisfait pas à la loi que suit constamment l'équation (3), lorsque le premier membre n'est composé que de fonctions réelles.

Venons maintenant au résultat qu'offre la série des ordonnées y. En appliquant la même formule à cette série, on trouve pour Texpression de l'aire 0(5.80726 758), et, en multipliant par M, on aura l'équation

M(4'a + 4'C) = Me (5.80726 758) = 2.23260 3oi25. D'un autre côté, nous avons trouvé l'équation

M4'2 = 2F V — 1.06269 37405, qui, étant ajoutée avec la précédente, donne

M(4'« -♦- +'€ + 4'3) =s= aF«t? + 1. 16990 gi'jx^.

Or, je remarque que le nombre compris dans le second membre s'approche beaucoup de la constante F'6 — ¥*c, car on a

et l'on voit que la différence de ces deux nombres n'est que d'une unité décimale du cinquième rang, qui est le sixième chiffre significatif. On peut donc regarder comme rigoureusement exacte l'équation

dont le se€X)nd membre s'accorde avec la loi générale observée dans l'équation (5). Ainsi nous avons un second exemple fort remarquable du calcul ides fonctions imaginaires, où la loi de l'équation (3) est observée, comme dans le cas où le premier membre ne contient que des fonctions réelles.

Puisque nous connaissons deux valeurs de la quantité M (-^'a -|- 4^0 > savoir,

M(4'rt + 4'^) = Pi — F'c + F(c, 75^) ~ F (6, i5-),

ces deux valeurs étant nommées Z et Z', nous avons démontré ci-dessus qu'on en connaîtra deux autres, savoir :

^ (Z + Z')^^ et (Z-Z')v/^.

On pourra encore admettre pour la quantité M (4'^ + 4^0 ^^^ quatre mêmes va^mrs, précédées de signes différens ; mais de ces huit valeurs il n'y a en qutuie exprimée , comme on l'a vu, par F'c+F*6— M4'2=Z', qui satisfasâë à la loi généralement observée dans l'équation (3).

Il nous reste enfin à faire voir comment on peut vérifier, de la manière la plus satisfaisante, les résultats obtenus dans l'exemple III. Nous nous proposerods, pour cet effet, de vérifier par un calcul rigoureux l'équation

qui s'accorde avec la loi générale de l'équation (3); il faut donc faire voir que les fonctions imaginaires 4'^ "^ '^'^ sont telles qu'on a exactement

M(4'rt rf. 4'C) = F'6 — F(i, i50 — F'c + F(c, 76^).

Pour simplifier le second membre^ soit F'6 — F(ft, i5®) = F(i, X) et F'c — F (c , 75*) =: F (c , ft) ; les angles A et ft seront détermines

par les équations tang A tang 1 5* = - , tang fi tang 75* = t , d*oii

résulte

langA 3^3^§, cos A— ^^g— , tang^ jp^-^-g, cos ^ — ^g—,

et, par ce moyen , le second membre se réduit à F (i , A) — F (c, /*).

J'observe maintenant que , pour calculer Faire jydp égale à la somme des deux fonctions imaginaires, nous avons cru devoir rapporter ces fonctions à la seconde forme représentée par i\^'ai et 4'^> ^^^^ d^i^s le cas des racines imaginaires, qui ont plus d'étendue que les racines réelles, la distinction des formes qui conviennent aux racines réelles devient inutile , et il est plus simple d'employer directement les deux valeurs de a:

données par l'équation x* — ^ x + y = o ; de sorte qu'ep appelant ces valeurs oc et x', on aura

Tout se réduit donc à trouver la valeur de 4^ûc + %j/x', comme si la fonction 4*^ appartenait à la première forme des fonctions %{/. Dans ce cas, on aurait pour toute valeur réelle de jc la formule'

on aura donc semblablement , pour nos deux valeurs imaginaires , l'équation

Maintenant, puisqu'il s'agit de vérifier l'équation

on doit présumer que cette équation se divisera en deux autres relatives k chacun des deux modules, c'est-à-dire qu'on devra avoir les deux équations

La difficulté étant réduite k ce point , on va voir ^'elle sera promptemeot résolue, car k vérificatioD de l'une de ces équations entraîne celle de l'autre, puisque celle-ci se déduit de la première, en changeant simplement le signe de \/S.

D'après la formule donnée tome I", page ig, on voit que l'équation transcendante F(c, ?) + F(c, ?'J=s=tF(c, ft) est représentée par l'équation algébrique

(A) sin'jK^cos'^H-cos'^'-f- c'sin"/«sia'^sin*ç' — 3cosjucos<p cosip'.

Or, on «

de là

■ Ci + X) (3 + X) sin* Ç BÏn' *' ^

Bjxjf

[1 +X + X' + XX') (q + 3x + 3f + j Substituant" les valeurs x-t-a/= -g-, xx* s^ V-, on anra

. , 3 sio» 9 sio' <p = -.

On a en même temp

. ti:

' il+x)(3+x)■

et par conséquent

cos" (p cos* (p' :

. cos* ffl == 3

(i—x — x' + xx') (g — Zx — Zx' + xx') i

(i+x + x' + xx-) {g + ir + ax+xar-) " 75'

Substituant ces valeurs dans l'équation (A), ainsi que celles de cos ju = — — ^ et sin' /» ^ ~s » *"" trouve que cette équation est identique , en pre-

nant , comme on en est bien le maître , cos (p cos ^' = -

■PTB-

L'équation pour le module c élant ainsi vérifiée , l'équation pour le module b le sera également , puisque l'une se déduit de l'autre , en changeant simplement, dans toutes les valeurs, le signe de \/5. On doit donc regarder comme rigoureusement démontrés les résultats obtenus dans Tczemple lU.

Nous terminerons ici les additions que nous nous étions proposé de faire k notre ouvrage, ea profitant des dëcoavertes récentes de MM. Âbel et Jacobi dans la théorie des fonctions elliptiques. On remarquera que la pins importante de ces additions consiste dans la nouvelle branche d'analyse que nous avons déduite du théorème de M. Âbel , et qui était restée jusqu'ici tout-à-fait inconnue aux géomètres. Cette branche d'analyse, à laquelle nous avons donné le nom de théorie iles Jonctions tdtra^Uiptiques, est infiniment plus étendue que celle des foncti<m8 elliptiques, avec laquelle elle a des rapports très intimes; elle se compose d'un nombre indéfini de classes , qui se divisent chacune en trois espèces , comme les fonctions elliptiques, et qui ont d'ailleurs un grand nombre de propriétés. Nous n'avons pu qu'effleurer cette matière ; mais on peut croire qu'elle s'enrichira progressivement par les travaux des géomètres, et qu'elle finira par former une des plus belles parties de Tanalyse des transcendantes.

ParU, le 4 mars i83a.