cos 6, à

par 6, c’est-à-dire faire y, — ie —» et l’on aura la formule suivante qui p—m

devra être ajoutée aux formules du thécrème IT, et qui pourra tenir lieu de l’équation des amplitudes, : RE LES AY 1—y'sinÿ 1—ysinŸ 1—Yp1510 À (28) tang(45°—2)=tang(45—5\). ES RS Eee Enfin, si l’on détermine les angles 4,, 44.....4,,,, de manière qu’on ait

me - : COSCm » no?

en général sin 4 = ym Sin À = Re — sin, la formule précédente pourra Pme

être mise sous cette forme très simple :

(29) tang(45°—o)=tang(45°-1:V)tang(45°—14, )tang®(450—14,)....tang(45—14,,).

32. Nous terminerons ce paragraphe en donnant la démonstration de la

formule dont nous avons fait ci-dessus une application importante. Les # f f . .

quantités &, étant des amplitudes qui, pour toutes les valeurs de 7, sa-

ra g . nn . .

üsfont à l'équation F(#, &,) — = F'k, il s’agit de prouver qu’on a P l'équation tang (45° H ia) (30) —(— 1" SUN &1— SIN 5m sin «3 sin am sin œ— SIN 42m SIN &p—2 € SIN Lim Siné Sin om SIN #3— Sin Gym SIN #3 SIN éom SIN @p 0f SIN om” où les signes ambigus se déterminent en prenant le signe supérieur si p=4i+ 1, et linférieur s p=4i—r.

Pour démontrer cette propriété générale des quantités æ nées de la di-

vision de la fonction complète F'# en p parties égales, nous avons besoin du lemme contenu dans cette formule :

fs

(31) set, sine, __tange, AC) sin ty — sin ns tange, A (a, ) où A(a,) et A(a) représentent ÿ/(1—/Æsin* a) et y/(1 — Æ* sin° a). Cette formule est une conséquence très simple de celles des art. 18 et 19; tome [*, en observant qu’on a

F (æ ut) = Fa, Fa, et )=Fa,—la,

Lu — y)

Faisant l’application de ce lemme à la formule que nous voulons démontang Ce, ,) trer, et désignant, pour abréger, chaque facteur FAC par le symbole

abrégé (7), observant de plus qu’on peut n’avoir aucun égard aux signes des différens facteurs du second membre, parce que le produit de tous doit être positif, équation à démontrer LA

ps : (1— 2m) (3 + 2m) (S- (5— 2m) (1H 2m)... LT PE = 2m), (ins (SE dun) = (Gi 2m) (3— 2m) (5+2m)(7—2m)....(p—2T = 2m) )

et il faudra combiner les deux cas p= fi 1, p—4i— 1, avec les deux m—=2h,m 2h41; ce qui fera quatre cas à considérer. 33: Soit d’abord p = 4i + 1 et m— 2h; la formule sera, dans ce cas, __ (4h) (+40) 4h) (+4)... (4i3— 4h) (Gi—i+4n)

anne eee mt

, o 1 en AN URI 7 Rem :

AGE Mn) 7) 64) GA) he US FAP) Gr) Les nombres qu’on voit dans le numérateur se divisent en deux séries distinctes , savoir :

A... 1— 4h, 5 — 4h, 9 — 4h... 4i— 3 — 4h, .3+4h, 7H 4h, ar + 4h... Ai — ri + 4h La série À se divise ultérieurement en deux autres, l'une des nombres négatifs 1 — 4h, 5 — 4h... — 3, l’autre des nombres positifs 1, 5, 9e... 4i— 3 — Ah. La première, en changeant tous les signes, devient 3,7,11.... 4hk—1, et elle se lie avec la série B, de manière à ne former qu'une seule série 3, 7, 11.... 4h Aix. Ainsi les séries À et B peuvent être remplacées par les He suivantes :

1,5, 9,13... 4i — 4h — 3, 3, 7 11,19... Ai + 4h — 1.

Le dénominateur de notre formule se divise aussi en deux séries, SavOIr :

PREMIER SUPPLÉMENT. 29 OC... 3 — 4h, gs — 4h, 11 — 4h... 4 — 4h — 1, D....1+4h, 5H 4h, 9<+ 4h... 4i+ 4h — 35.

La première G se sous-divise en deux autres, l’une comprenant les termes négatifs 3— 4h, 7 —4h....— 1, l'autre comprenant les termes positifs 3, 7, 11... 4t— 4h— 1. Changeant les signes des termes négatifs, on a la suite 1, 5,9... 4h—3, qui s’ajuste avec la série D, de manière à ne composer qu'une seule suite 1, 5, 9... 4i+ 4h —3; de là on voit que les suites C et D peuvent être remplacées par ces deux autres : 3, 7; 11... Ai— 4h— 1, 1,2, 9.... 4i + 4h — 53.

On aura donc, par cette nouvelle distribution des facteurs,

Lang CAS HE dun) GE). Gi 3.0) D Gn) Gin); ou, en supprimant les facteurs communs aux deux termes,

coronin V—Ui—fh+3)({i—h+ 7)... (fit 4h—i).

tang (45° + 3 &n) = PR PEN RS JE ASO) VIRT PTE Fe

et en remettant les valeurs 4 = p—1, 2h— m, | (p+2— 2m) (p+6—2m)(pH+10— 2m)... (p+2m— 02) CO DO EC ur) 34. Telle est la formule qui nous reste à démontrer pour le cas supposé de p—4ihr et m=—=2h; les trois autres cas conduiraient au même résultat, comme on peut s’en assurer; ainsi toute la difficulté se réduit à prouver que cette dernière équation a lieu pour toutes valeurs des nom-

tang (45° + + din) =

bres 2m et p, lun pair, l’autre impair.

Pour cet effet, nous observerons, 1°. que, dans l'expression précédente, le nombre des facteurs est m2, tant au numérateur qu’au dénominateur ; 2°. que, dans le numérateur, les nombres affectés aux facteurs extrêmes (p+2— 2m), (p— 2+ 2m), font une somme égale à 2p, et qu'il en est de même de deux facteurs quelconques également éloignés des extrêmes ; 3°. que le dénominateur est composé du facteur (p — 2») et de m—1 autres facteurs , tels que les nombres attachés aux facteurs extrêmes ou à deux facteurs également éloignés des extrêmes , font encore la somme 2p.

Supposons, ce qui va être démontré, que le produit de deux facteurs (p—n), (p+n), dont les nombres font une somme 2p, soit égal à la

quantité constante M — Fr

Alors, 1°. st m—2h, la formule à démontrer sera M" M pe + 2) tang (45° ln) — GE an) 2) Gp) Mi (p—2m) GE) () ?

parce qu’on peut supposer M (p — 21m) (p + 2m). 2. Sim 2h 1, le facteur moyen (p), qui était dans le cas précédent au dénominateur , se trouvera dans le numérateur, et l’on aura. ........

à k tang (45° Em) = (2 re = ta ie , valeur qui est la même que Cp + 2m)

PE), car on a M=(p— 27) (p + 2m) = (p) (p)

Ainsi, lorsque nous aurons prouvé que le produit (p — n) (p+n) est une quantité constante, il ne restera plus à démontrer que la seule formule

tang (45° L1a,)=— Ge