EX . A

7; à la place de z, ce qui fera connaître a priori la valeur de P déduite de Z

la valeur connue de Q : on trouvera ainsi P=c(1<+ A7 tane 6,) (1 + hy* tang® 63)... (1 + y? tans? 6,.), c étant une constante dont la valeur = Ze.

La supposition que nous ferions en ce cas sera changée en certitude si nous faisons voir qu’un facteur quelconque de la quantité précédente, savoir 1 hy*tang"6,,n, Où simplement 1+y*cot*6,,, est en même temps

facteur de (DEN) — (1 + 2) N°.

27. Soit donc 7° —=— tang® 6, ou simplement 7° = — tang° 6, ce qui donne — ou & —— sin" 6, si l’on substitue cette valeur dans les formules de l’art. 25, on aura

N = A, + A, sim6 + A; sinf6 + etc., D— 1 + A, sin*6 + A, sinfé + etc.,

ou en exprimant ces es au moyen de la fonction ®,

N= SD siné)— > d(sné),

2 Fe D= :®(—sin6) +} ve 6).

Cela posé, l’équation (DH N}°— (1 H#)N°—0o, qu'il s’agit de vérifier,

deviendra

1 à 1 MmsiCos © DUR Ôo— LC sax +) D(—siné) + Gr) (int) | —-— [D(—sin 6)— (sin 6)}?;

sin? 6

elle se réduit à

dre =)" (— sin E+G— =) (sin 6),

et l’on en tire (”)

() Dans la formule suivante, : désigne le facteur Æ1 introduit par lextraction de la .

racine carrée; cette sorte d’ambiguité ne devant pas être confondue avec celle qui dépend de la forme du nombre impair p.

24 FONCTIONS ELLIPTIQUES , à . d(siné tang (45° E 16) — ES Substituant les valeurs développées en facteurs, de D (sin 6) et D(—sin 6),

et remettant C6, à la place de 6, on aura enfin cette équation de condition qui devra être vérifiée par toutes les valeurs de 2:

ftang(45° +16 jen sinG,—sinGom SinGzHsinésm SinGs—sinCim sin pa 2 Sin 6am tn CON) ES ST TIME

(24) jou

7% — seete ’ sinG,+sinGum Sin63—sin6am SiNCS5+SINSom SiN6p—s = SIN Csm tang (45H Con)

; tag om) tang 2(63+-6om) tangs (RES Gem) l'tang (Gr éam) ‘ RUN STD Ur tanselerer a Mais si dans l’équation (1), nous faisons 0 —«,,, il résulte de la valeur de U donnée dans les équations (7) et de la loi suivant laquelle croissent simultanément les amplitudes A et ® relatives au théorème 1°, qu’on sura en général = mr, et par conséquent tang (45°—2d)=(—1)"; donc si l’on change & en 6, ce qui revient à tie le module 2’ au module #, l’équation { 1) sera identiquement la même que la précédente en prenant

28. Il est démontré maintenant que de l’équation (22) on déduit un résultat tout-à-fait semblable à l'équation (19), savoir :

AL (+ cot*6,) (1 + y*cot°6,).....(1 y cot Cri) (es) Mer DH yrent 6) G +yœote Gpa)e.e. (1 + 7° cot’6,)"

. . . » \ I e Quant au coeflicient C, il doit être égal à —,, comme on le trouve, en faiee

sant À infiniment petit dans l’équation (19), et la même supposition faite dans l'équation (22) donnera

I 2 2 2 SE ni ee en he cle ler Æ 1.

we siné, sinés sin és sin Maintenant il reste à prouver que la valeur précédente de z satisfait à l’é- : Pre à dy uation F(A =" F(k, ©) ou à sa différentielle ——— q ( he l ( > ) Vi). Vi —2° 3)

TS F5 Mais au lieu de substituer réellement dans le

second membre la valeur de z en fonction de y, on peut faire usage du principe de la double substitution, et l’on trouvera que l’équation dont il s’agit est satisfaite au moyen d’une condition qui servira à déterminer le module 4 en fonction de À : cette condition est

(26) Le

6 tang’ 63 tang? 6 s £ tang” 6,, tang° 6,5

ee tang* 6,

On a ainsi une seconde démonstration du théorème IT, plus directe que la première, mais qui dépend encore en partie de la démonstration du théorème [°", puisque l'équation (24) a été déduite de l’équation (1) du théorème Î°, en supposant, d’après une autre formule du même théorème, qu’on peut faire à la fois o — a, et d = m7.

Cependant si l’on réfléchit que l'équation dont il s’agit exprime une propriété des amplitudes & qui servent à diviser la fonction complète F'# en p parties égales, propriété que les formules du théorème 1° aident à démontrer, mais qui doit être tout-à-fait indépendante de ces formules, on se convaincra aisément que l’équation (24) doit pouvoir se démontrer par les seuls principes de la division des fonctions. C’est aussi ce que nous avons mis hors de doute, dans la démonstration directe que nous donnerons ciaprès, et par ce moyen, la seconde démonstration du théorème II devient tout-à-fait indépendante de celle du théorème I.

29. Si nous avions voulu simplement démontrer l’équation (22) , comme présentant un moyen facile de calculer l'amplitude « au moyen de l’am-

plitude donnée À, nous y serions parvenu facilement en intégrant la vad£ (1 — 86 sin? »)

leur de do tirée de l'équation de = =. =", savoir : él é V(i— sin)?

À __sin* À cos’6, « __sin Ÿ cos’ 6; ELA sin? + cos’ 6,: PRE d\ k sin°6,, sin*6,3 sin? 6,

TOR 1 Hs cott6 © 1H sin ooë 6° "7" "1 sind co 6, En effet, cette différentielle, traitée par les méthodes connues, conduit à la formule Loi dia use, où les angles 4,, 4, etc., sont déterminés par les mêmes formules que dans l'art. 24.

30. Pour donner un exemple de ces calculs qui nous conduira à une formule nouvelle, nous nous proposerons de déterminer l’amplitude 4 en fonction de @ par les formules du théorème I‘; il faudra pour cet effet intégrer la formule

di d® 1 —k°sin°@sin’e, 1 —k?sin°@sin" #3 1 — k°sin’@ sine à me es es

ue 1—Æksin*@sinæ,, 1 —4#*sin‘gsin‘e,3 1 — £°sin’@sin*æ,

ms 070 e

Par le développement du second membre, on aura d’abord le terme

d@ sin’a;sin?æ3.....Ssin?æ j :

PS4 PR ME cé 7 , ou simplement d?; ensuite les autres termes au-

w sin’, sin’ ajie-te. + Sin pi . f 72 Mado We ront pour expression générale ————; , m ayant successivement 1 — Ésin*“@sin en ‘

toutes les valeurs 2, 4, 6...p— 1. Or, on trouve par les méthodes connues ( re sin’ «, :) (: ç4 sin? =) É sin” Jets "e pa sin? #=) HAL Sin? 4» sin° # Sin” Œh ue SIN” &m / (— ee )(i— sin°æ; eye. JE ML ns) (1— sin . 4e sin ou) sin°%» SIN» sin? 4» SIN» Siné

Cette quantité est composée de facteurs qui se trouvent dans les valeurs de

QQ" 1 — 6 sine» sin 4; m aisément de la comparaison de ces quantités

Q, Q, Q" (art. 14), et comme on a ,on tirera

1M — 1 — £°sin°? dm Sin? pa 1—#*sin°@4,sin«,3; 1— sin, sin’, ..

1— L°sin 4, sin®a, ‘ 1—/#*sin’«,, sin? «3

V/G — k sin n°@) VU — F sin)

suppose P— a; mais alors À —7n. ce donc, puisque #2 est toujours pair,

FÉTRSRE F BAM TER ICT GE 0 1 — £° sin? «4, Sin° &à

Cette valeur est celle de développée en facteurs, lorsqu'on

on aura M= 2 y/(1 — k*sin°a,).

Cela posé, la fraction —— nie

7 ——,, peut être mise sous la forme — R? sin? #,, sin°@

2V/( —Ksinam) . d cos @ + (1 — £°sin° «,,) sin? @?

et son intégrale est 29, en faisant tang®,==(1 — A’sin*a,)tang @..... COS dm

(27) À = D + 20, + 20, + 296 ..... 20, Cette nouvelle équation entre les amplitudes 4 et @ pourra tenir lieu de LR | PU FRE |. TS la formule algébrique sin L = sin ?. v dans lesapplications du théorème 1°.

31. Nous remarquerons encore que la formule (27) peut servir à en trouver une semblable qui s’appliquera au théorème IL. En effet, soit, comme à Vart. 19, sin® = itangc et sin —itangT; on aura tang d —isinr,

tan ®=isinc tano — } 1 fai bréc + south à 89 —1Sn0, lang 17ymSINT, en laissant pour abrèger Ya sine, L

= (1 — sin? &,). De là résulte

1e de (CEE + V—1tang À log =)

Eu à V — itangd O 1 + sinr/?

LAN 7e CE DER QUNT + sin

I—" since

I 1 — "sin = À bg ( 1 TS

1+y,sinc/ ?

Donc l'équation (27) deviendra

1 L ( — sin 7\° (1 — sin 2) I— Sins I1—/jSinc 1—"yp-1sine Se RL EURE Fake SR LEE he fe