La formule de réduction est en général PF, o)=mE(, à

Nous supposerons, pour fixer les idées , que la fonction F(Æ, ®) est donnée, c’est-à-dire qu'on connaît son module # et son amplitude ®, prise à volonté; on veut de plus que les modules £ et À appartiennent à une même échelle qui aura pour indice le nombre impair p. D’après ces données, il faut déterminer les constantes k et w et l’amplitude 4.

Soit pour cet eflet sn @=x, sin d =7y, et soit &, une amplitude qui, pour chaque nombre donné m, moindre que p, satisfasse à l'équation...

DU el — = UE = K.. On doit regarder les quantités «, comme des fonc-

tions de £ qui peuvent toujours être déterminées, soil par approximation, soit par la résolution des équations algébriques qui ont lieu dans la division de la fonction complète K en p parties égales. Cela posé, l’équation entre les amplitudes @ et pourra être présentée sous ces quatre formes :

x? va x? Lu

% sin”? æ, sin* &, SIN? &6 sin* &,;

1 — ri ER

ne, ee Rom UNS re ) 4 me 1— kan, 1 — Rxtsin’ os 1 — k°x° sin’ 1x sine, 4 6

Cm) G+ Gare ep) Ge)

1—kasin® note ‘1—lexsin® dp 3 1 1—/xsin a) Sin’æ,s 1—kx°sin’e,

sin? #, sin? a : Sin ° æp.

ir ie. 1 Rat sine; 1—kx'sin'æ)s

1— Lx? sin, 1— x sine, 3" 1—kx" sine,

— xt sin’ api À— Rx? sin? # 3 Ur Lx sin ait

Les signes ambigus qu’on voit dans la seconde équation se déterminent en 5 SH | prenant le signe supérieur si p=4i+ 7x, et l’inférieur si p= 41— 1. On aura de plus, pour le même objet, les deux formules trigonométriques tang (a —@) tangi(es +0) tangs (as —9) ; tangi( + @) tangs(as—@) tang+ (as + @) (36) tang (45°— 24) — Hu HS (es ar A0 0 (49 2 Q).

tang ; (æp: + @) k = 9 + 2@a + 2Pre..e. nan

COS &» cos æ

lang @, tang ®, —

(37) oo SIN &p 2 = LAND PEN int COS &)

sin &

sin ae 4

tang 1 — F— tang ®.

37. Venons MES aux formules qui servent à déterminer w et À par le moyen du module donné #, et qui serviraient semblablement à déterminer g et # par le moyen du module L. Les plus simples et les plus faciles à calculer par approximation, quoique sous forme transcendante , sont

(38) D =p = Rp

Les formules algébriques qu’on peut employer pour le même objet sont assez nombreuses, parce qu'il existe beaucoup de relations entre les quantités &,, 4,, @3.... @, qui ne dépendent que des deux données # et p. Voici les principales, au nombre de neuf,

(304) frise sin? , sin? «3 sin? «5 SIN° 4) Tisin®e#, sin #3 sin PR AL AT me 0

(390) k— F sinf a, sinf a, sint as ..... sinfæ,,,

I 2 (39c) NS = 75h ; ONCE = 16

sin &, sin @s sin 45 SIN &p 0 ?

k : 3 : ; (39d) ——2sna, —2sna;+2sines .....asina,æÆi,

k° tes é 3 $ (39e) ps = 2 Sin @, — 2sin° a, + 2 sin? ad; — 2 Sin @y .....

é LEA + 2sin@,,—2sma, ,+#1,

(30 f) LA cos æ, COS 43 COS” #5 COS? #p à . À . .….

‘ k' COS pr COS" #p 3 COS? &p 5 Cos® æ&, ?

2 2 I “@hi à RATER ES LE RTE L 1 . TT ET (398) # — a sin” «, Fi sin? a 3 TUE sin? &5 sui SIN 4p a — 24% sin? &, — 24° sin 4, .....—2#*sma,,, 1 2 COS æ 2 cos a 2 COS &

30h = 1 —— + 1,,... + ——— ( 9 ) F Sin &p + Sin &p 4 sin 4,

AS j 4 2 sin & 2 sin & 2 sin &