SOUDE: — AAA
(91) k'pe AA COS æp 1 li COS æp 3 Re COS
Les formules (39a) et (398) sont celles qu’on a données ci-dessus sous les n* 8 et o; les formules (39c), (304), (39e), (30g), se tirent des équations (33), (11), (35), (34), en faisant x et y infiniment petits, ce qui donne æ = py ; la formule (30 f) se déduit de l’équation (35), en y substituant les valeurs L—17, 9 —p.ir; enfin, les formules (30h), (39i), se déduisent de l’équation (37), en faisant successivement @ et 7 — @ infiniment petits.
38. Nous remarquerons que les formules de ce premier théorème peuvent s'appliquer à un module # de plus en plus petit, et finalement au module
k = 0 ; alors on aura aussi À — 0, et même L > I — 0. L’équation des fonctions complètes K — pH devant avoir lieu, quelque petits que soient les modules Æ et L, on en tire w =>) parce que dans la limite K—H—}7 Ainsi, l'équation F(£, ®)—=uE (A,4) deviendra 4 =p9, et l’on aura en
même temps &, =. Æ, Dans ce cas, l'équation (32) devient
5 LUN sin? @ sin* @ (40) sin p® —=p sin @ C er re) (x Eos HAE —.
c’est en ellet sous cette forme qu’on peut mettre le sinus d’un multiple
impair de l'arc @. On déduit semblablement des équations (33) et (34) les
deux formules tr igonométriques
sin(45°—;p9)=sin(45 + 0 — PSG). (GE e
sin æ sin #3 sin Æp o
COSDO==COS (5 ae )(1— au où su 2), FORGE LOSS sin? & sin? «3/° °°" sin” &p
34 FONCTIONS ELLIPTIQUES, Enfin, dans le même cas, les équations (394), (3oc), (394), (39e), (308),
HUCnte pour les sections angulaires faites en un nombre impair p de parties ne ces cinq formules nnnles à :
—- = lang à, tang d; Lang æ5... lang 4,.,,
vP 2 2 2 2 — — Grp Et Feu fre ls ere ee C ue L ?
(42) SIM, SiNaæg SIN æÿ5 SIN &p 0 A 2 2 2 — 1 : Sartre oO ei 2 ne sin” ; ar Sin #3 ae sin” «5 Mot sine et
0 = 2sind,—25sina,+25sin @5...2sin, ,"E 1,
O = 2sin°4,—2sin°4,2sin°%3;...=-f25sin D EL.
La troisième donne, en faisant p infini, le résultat connu 7° I I I & — I ST m7 ren nd À Et 8 ar 3 ax 5 np 7 Formules du théorème II.
39. L’équation des fonctions est (43) F(,4)=H F(k, ©)
Dans cette équation , les modules k et Æ, ainsi que le nombre p, sont supposés les mêmes que dans le théorème I°; ils A assujettis à la même loi
A ’ contenue dans l'équation transcendante > —p = de sorte que l'échelle
des modules est la même de part et d’ us
TV le
Quant aux régulateurs ge et pe’, ils satisfont toujours à l’équation uu' = et ils sont toujours compris entre 1 et = car on a en particulier # = TC Poire
Pour former l'équation des amplitudes, il faut préalablement calculer, d’après le module #’, complément de k, les quantités 6,, 6,, ... 6,,, qui
satisfont en général à l'équation F(%,6,) = = E'}' = H'; ensuite fai-
sant sind=—7y, snow, cette équation peut être mise sous les trois formes suivantes :
(44) een. +y'cot, 6,1 14+ycot 6,3 I +y"cote*. PA . ; + 7° cot’6, ' 1+ y’cot'6: .. 1+-y*cot*C; r]
al Y°C0S" Cp à y°cos"6,3 ycos° 6, L À in? 6 TT sin" € DANCE 5 mg) (y pts, MX Les Label Pen D 1 A ab at so (4 Jen ) Gp") 1+ycot*6, 1 + y* cot* és 1+ycot'Cp a? Le cos ‘62 L182 2cos°63 x 2cos Cp a 1 L 2Ç 7 sin’@ sin°C, gr k° 2° (I L° le sin EP * ——1+. .. NorCTS (46) (1 ) ( “D ‘149 cot’€ 17° cot° C3 14 y cot°C s
On aura de plus, pour le même Ne les deux formules trigonométriques
SE UT ads ue
tang 4, — Te - tang Ÿ, tang Ÿ3 = -— (ang J....tangŸ, = —— ner ea ie ang Ÿ 2 Ë PR NT UN rVa)tang(45—24,)...tang(45—14,:), (48) sin de = re Le 7 sin«L, sin WE - a fie Pres eee sin Ÿ. TEA
40. Les quantités €. Es; Ésee. 6, sont EU d’après le module k' complément de k, comme les quantités & le sont d’après le module #; en général, l’analyse par laquelle nous avons déduit le théorème II du théorème [*, nous autorise à déduire les équations entre les constantes du théorème IT, des équations analogues du théorème I”, par le simple changement k, k, 1 h’, æ , U ;, h,W,K,k,6,h.
Par ce moyen, nous aurons les neuf formules suivantes, analogues aux
des six quantités...
en six autres...
neuf du théorème I‘,
sin’6, sin° 63; sin? 6; sin? Cp x
Gga)e Ho rre:
SOS aa e ° sin 65 Siné, 150) sinre st ?
(496) K —h? sint6, sint6;sint6:...... simf6,., I 2 2 2 2 M Ve ne CE (49c) M Un mé sin 63 sim6s sin 6p ne
Fe = 250 É,—o2siné;H2siné,,.. 2sn6,,—+1,
(494) (49e) Ge — sin 6, —asin €, Lasin’£,, .. asin6,,—2sin"6,,+1,
h cos°6, cos’ 6; cos’Cs cos? 6,, (49.7) bé cos 6,, ° cos€,3° cos 6,5° °° cos 6, ? 2 2 (498) ee RE rt LR NE gene sin*6,, a — 2h" (sin°6, +sin*6,...+ sin* NT
TA 2c0s 6, 2005 64 200561 (49h) RTE sinG,s | sin one EE Ne siné, ?
£ En 25in C0 2sin C 4 2sin 6, (492) PTE cos 6, CO ie 7 COS bp"
41. Il est à remarquer que les équations des amplitudes qui donnent la valeur de sin 4 en fonction rationnelle de sin @, et celle de sin w en fonction rationnelle de sin 4, donneraient également les valeurs de tang À et tang © , l’une exprimée ex fonction rationnelle de tang®, l’autre exprimée en tr rationnelle de tangL. Voici ces nouvélles formules
(5o) tangÿ "52 1—tang” ® COt'ap 1 1 1—tangcot”æ)3 1—tang? @ cot’«s € 1—tang Qcole, . 1—tang'@cotas .. 1—tang’@cot’e,à 2
tang” 4 tang” tang* Ÿ
re RARE [tan
sin’6, sin“ 64 sin” 6}à
‘+ APtang"d sin’C, "14 "tang"sin€, **"14'tang sine,
tangŸ
(5 1) tango— Ft
$ IV. Remarques sur l'ancienne échelle de modules.
42. L'ancienne échelle de modules, qui est censée répondre au nombre premier 2, est liée par des propriétés communes avec les échelles nouvelles construites pour tous les nombres impairs.
Et d’abord on peut poser, pour l’ancienne échelle, la formule
FU, o) = HE(, 4),
semblable à celle que donne le théorème 1° de M. Jacobi; car, puisque dans celle-ci le module 2 est toujours plus petit que Æ, la formule précédente peut s’assimiler à celle que, dans la notation usitée pour la première échelle, nous représentons ainsi :
£° F(, = TT F(E, g).
Il suffit pour cela de faire A= 4°, m— +(1+4%) et d—@. Ainsi la
formule générale s’adaptera au cas de p— 2, qui est celui de l’ancienne échelle, en supposant, 1°. que l’équation entre les modules Æ et X est
aya EAZNIRESTS RE eu Si 3°. que l'équation entre les amplitudes @ et 4 est sin (29— Ÿ)=/sin | ;
ou tang CL x g) = i sin 12@
A+ cos 29 ?
L a Le . 2 ; ee tiers Cette équation , présentée sous quatre
2°, que le régulateur w = (1 + h) ;
7 ang ® — k’tang @, ou tang 4 — ou
enfin sin À —
formes, donne la loi suivant laquelle les amplitudes @ et 4 croissent simultanément ; 1l en résulte que, si & est l’amplitude pour laquelle. ....
I 1+A THE TQ A pondance entre les valeurs de @ et À aura lieu dans les points principaux, comme il suit :
Cette correspondance pour l’indice p = 2 est entièrement semblable à celle qu'offre le théorème I* pour un nombre impair quelconque p. On peut donc , dans l’équation F(4, ®) = F(h, Ad), faire à la fois = 27
et d—#7; ce qui donnera
F(k, «)=:2%F#"%, c'est-à-dire si l’on a sin a —
, la corres-
CRT NS TR tir a I Ti Tietr don CCS, OR TS NET NET PAT Ne 713 0 à CIC.
EYE K j'a are css PEER us y OAENE ANT EN 1H Er
43. Mais si l’on substitue #’ à Æ, et conséquemment #' à A, l’équa-
uon entre £ et L, qu devient k'— En , sera également satisfaite, parce 1—/
qu’on à & — rer Donc les modules k' et 4’ peuvent être substitués
aux modules # et 2 dans la formule générale, et alors léquation.....
K ; H’ ; : ; 1h H deviendra 1 + 4! — Ces deux équations ont donc lieu
K°”° simultanément ; et puisqu'on a (1 + À) (1 + k) = 2, il en résulte KH” 2 —= TK > ou ir A0 pe K —— 2 T°
Cette équation entre deux modules consécutifs # et À est la même que nous avons donnée n° 85, tome [°'; elle s'accorde, pour la valeur p = 2, avec
lé e r 4 K H L . , 4 l’équation générale K —=Pi qua lieu, dans le théorème [°', pour un nombre impair quelconque p.
Il reste à voir si le théorème II de M. Jacobi a son analogue dans l’ancienne échelle, qu’on peut maintenant appeler l'échelle n° 2 ou l’échelle dont l'indice est 2.
44. Pour parvenir au moins indirectement à notre but, nous remarquerons que, dans les deux théorèmes généraux, les deux équations F(k,®)—= pl (A, À), F(h,L)=wE(k, ©), conduisent à la formule de multiplication F(4, ©) = pl(k, @). Ainsi, on peut regarder l'équation du
second théorème F(k, 4) = w'F(k, w) comme une combinaison des deux équations F(4,®)=u#F(k, 4) et F(k, œ)=pF(k, ®). Dans le cas de p—2, nous aurons à combiner les deux équations FX, p)=i(1+4)F (4,4), F(k, w)= 2F (4, @); d'où résulte l’équa- I I 1+A 1+2?
et par conséquent uu'=— 1, conformément à la loi générale puu'=1. Pour avoir une équation entre les amplitudes © et 4, il faut éliminer @ des deux équations de cette sorte qui répondent aux deux formules... F(k, @=<(1+)F(A, À), F(k, w) = 2F(k, @); ces deux équations sont 1 + #) sin @ cos sin À — TE £
tion du second théorème, F(2, d)= F(k, ©) : elle donne m'=—
tang +o = tang ®y/(1 — * sin ®),
et l’on en déduit, par Pélimimation de ®, l’équation cherchée
(+ A) sin Ÿ
(82) MUR TES pu
résultat qui s’accorde avec celui que nous avons trouvé art. 68, tome 1®.
45. Nous remarquerons enfin que dans la formule du premier théorème (1 + À’) tang ?
1 — k’ tang® nellement par tang @; de même, tang®® s'exprime rationnellement par tang 9° : donc, dans la suite des amplitudes 9 , @°, @°°, @°*, etc., qui correspondent aux modules décroissans Æ, 4°, £*®, etc., ou, dans nos nouvelles dénominations, k#, k, A , R,, etc., la tangente d’une amplitude affectée à un terme quelconque s’exprime toujours rationnellement par la tangente de l'amplitude du premier terme, c’est-à-dire par tang ®. Mais sin @° ne s’exprime pas rationnellement par sin ®.
Dans la formule du second théorème, F(4, J)=wF(#, «), qui se lie * avec d’autres formules semblables F (4, ©) = p/,F (4, &,), F(k,, ©) =, F(X,, w,), etc., on voit que sin & s'exprime rationnellement par sin 4, et qu’ainsi, dans la suite des amplitudes L, ©, ©, , &,, qui répondent aux modules croïssans 2, k, k,, k,, etc., le sinus d’un terme quelconque s’exprimera rationnellement par le sinus du premier terme +, comme cela a lieu dans l’échelle construite pour tout nombre impair.
on à tang 4 ou tang @, —
. Ainsi, tang @. s'exprime ration-
$ V. Usage des deux théorèmes pour les transformations d'une même fonchon.
46. Il s’agit d’abord de construire, d’après le module donné 4, une échelle qui réponde au nombre impair donné p, et que nous représentons ainsi :
à D LCA ks, ka; J'ae k, k, Ye ny. OS (o
Pour former cette échelle, qui est commune aux deux théorèmes, nous suivrons les formules du théorème 1°; elles supposent qu'on a calculé d'avance, d’après le module Æ, les amplitudes &,, @,,.... @, ;, qui sa-
üsfont à l'équation F(4, «,) = + F'X. Ces amplitudes peuvent se trouver,
soit par les formules données dans le chap. VI, tome I° de notre Traité, soit par les méthodes d’approximation données dans le tome IL. Dans tous les cas, il sufira de connaître le premier terme «,, duquel tous les autres peuvent être déduits par de simples formules trigonométriques.
Connaissant les amplitudes &, on pourra calculer le module Z et le régulateur pe par les formules (39a) et (36b) , ou par celles des autres formules de cette sorte qu’on voudra choisir ; on aura ainsi l'équation F(Æ4, o)=uF(2,L), qui sert à transformer la fonction donnée F(4, @) en une autre semblable, dont le module À sera toujours plus petit que £, comme le fait voir l’équation (39b). Quant à l’amplitude 4 , elle se déduit de Pamplitude donnée ® par la formule (32), ou, .s1 l’on aime mieux, par lune des formules (36) et (35); mais, pour qu'il n’y ait pas d’ambiguité dans cette détermination , il faut se rappeler que les amplitudes 4 et @ croissent inégalement, à compter de zéro, suivant une loi manifestée par les équations (32) et (33). En vertu de cette loi,
TESTVAIERES MANS ARRET P—=0O, ir, æ, Ugo Lo TR) correspondent aux valeurs.. L—0o,2ix, 7, 2x ,... p.27. Ainsi, lorsque @ tombe entre #,, et &,,,, la valeur de doit tomber entre F 7 . . . #7 , , m. et (m1); ce qui ne laisse aucune ambiguité dans la déterminaüon de l’angle 4 par son sinus. Il en est de même pour des amplitudes plus grandes; car si une amplitude @ << 57 correspond à l’amplitude À < p.57, il est visible que les amplitudes 25.17 9 et 2.474
se correspondent également, à étant un nombre entier quelconque.
4o FONCTIONS ELLIPTIQUES,
Maintenant que la fonction F(#, @) est transformée en une autre fonction F(A, 4), dont le module est plus petit que £, on pourra faire une suite de semblables transformations, dans lesquelles le module X sera remplacé par un module plus petit 2, , celui-ci par un module plus petit ,, et ainsi à l'infini ; ce qui formera la partie décroissante de léchelle £, k, h,, À, , etc. : et les transformées correspondantes de la fonction F(#£, @) seront données par les formules
F(£,@)=uE(k, 4), FA, L=mE(, 4), Fu, 3) =ml(; vs); etc. Il est inutile d’ajouter que l’amplitude 4, se déduira de l’amplitude 4, suivant la même loi que 4 se déduit de ®; qu'il en sera de même de N,, par rapport à 4,, et ainsi à linfini.
En considérant donc la partie de l’échelle dans laquelle les modules forment une suite décroissante, le calcul des amplitudes qui accompagnent ces modules n’est sujet à aucune difliculté, et s’exécute par des formules rationnelles de même forme ; mais le passage d’un module à autre, par exemple, du module À au module z,, exige qu’on calcule, pour le module }, des auxiliaires analogues aux quantités «,, «,, æ3, etc., calculées pour le module #.
47. Voyons maintenant quels sont les moyens d’effectuer de semblables transformations dans l’ordre inverse, c’est-à-dire dans lautre partie de échelle. Si l’on regarde F(X2, 4) comme la fonction donnée, il faudra d’abord déduire le module £ du module plus petit À. Pour cela, le meilleur moyen serait de recourir à l’équation algébrique qui existe toujours entre deux modules consécutifs # et 2; car cette équation, qui servira à déduire le module 4 du module plus petit 2, servirait semblablement à déduire le module #, du module plus petit #, puis #, de 4, , et ainsi de suite. Mais l'équation dont nous parlons, qui est déjà assez compliquée pour le cas de p = 5, le serait bien davantage pour de plus grandes valeurs de p. En attendant que la théorie fournisse les moyens de parvenir plus aisément à cette équation, on pourrait y suppléer par les formules (49a) et (49b) du théorème IT, qui servent à calculer #/ et w’ par le moyen des quantités 6,, qui, elles-mêmes, sont calculées d’après la valeur connue de k!. Or, con-
naissant #' et w', on connaît # complément de #’ et um — Re Ainsi les formules citées serviront à déterminer Æ et w par le moyen de À, et \ » : I
à former l'équation F(4, 4) — = F(&, @) = »F(&, ®); elles peuvent,
par conséquent, aussi servir à déterminer #, par le moyen de # : en sorte
qu'on ait l'équation F(4, @) = »,F(4,, ®,); et l’on continuera cette suite à volonté. Au reste, le problème de déterminer # par le moyen de À ou %, par le moyen de À peut se résoudre beaucoup plus simplement , si l’on ne veut que des approximations, par le secours de l’équation trans-
cendante nn es comme nous le ferons voir ci-après K' —Px > pres.
Il restera ensuite à déterminer l'amplitude @, par le moyen de l’ampli-
tude donnée ®. Ce problème se résoudra comme celui où l’on voudrait déterminer sin ® par sin 4 ; ce qui peut se faire par la résolution de l’équation (32), qui est du degré p. On obtiendra donc de cette maniere les formules successives de transformation dans l’ordre des modules croissans, comme il suit :
F(, d)=1F (4, ®), F(#, ) PS P:) , F(#;, D) VERS, Pa) etc. Et parce que, dans l’équation F(4, 4) —»F(#%, @), on peut faire à la fois P—:7 et d=p.ir, on aura » —#?; on aurait semblablement. .... =, =, etc. Ces équations peuvent servir à déterminer analytiquement le rapport entre deux termes quelconques de la suite H, K, K, , K, , etc.; car les réculateurs », »,, »,, etc., se déduisent analytiquement des modules correspondans k, 4, k,, etc.
On voit, par ces détails, que le théorème I‘ suffit seul pour transformer la fonction donnée F(#, ®) en une infinité d’autres, qui auront pour modules les différens termes d’une même échelle, calculée pour le nombre impair p, d’après le module donné #. Les échelles sont différentes, et les calculs pour obtenir les formules de transformation deviennent de plus en plus compliqués, à mesure que le nombre p devient plus grand ; mais toutes les déterminations peuvent se faire algébriquement. Il y a donc, d’après le théorème I, une infinité d’échelles de modules dans chacune desquelles la fonction proposée F(£, @) prendra une infinité de formes, sans cesser d’être semblable à elle-même.
48. Venons maintenant aux usages du théorème Il. La premiere formule de transformation F(, d)=wF(#,&), et celle qui détermine sin © par une fonction rationnelle de sin L, nous montrent que lapplication la plus immédiate du théorème IL est de transformer la fonction donnée F(2, 4), de manière que le module À soit remplacé successivement par les modules croissans #, #,, #,, etc., dont la limite est 1. L’échelle des modules est la même que celle du théorème [° ; mais la
détermination des termes de cette échelle, et celle des régulateurs w/, s’établit sur des données différentes.
Nous avons vu que c’est d’après le module k', complément du module donné k, que l’on doit calculer les quantités 6,, 6,, 63, etc., qui satisfont,
en général, à l’équation F(Z', 6,) = PE 5 H'. Au moyen de ces
quantités et du nombre donné p, les formules du théorème IT offrent différens moyens de calculer le module # et le régulateur p' ; alors tout devient connu dans la formule qui détermine sin æ par le moyen de sin A} : on voit d’ailleurs que les variables & et croissent dans une proportion assez rapprochée de l'égalité, puisqu'elles parviennent’ simultanément de la valeur o à la valeur +, et à toute valeur multiple de 57; de sorte qu’elles appartiennent toujours au même quadrant, et que leurs sinus sont toujours de même signe. On obtient donc ainsi la transformation F(h, d)=uE(k, ©), dans laquelle le module donné k est remplacé par un module plus grand #. On répétera les mêmes opérations pour remplacer le module # par le module plus grand #,, celui-ci par un module encore plus grand 4,; et ainsi à l'infini. Ces modules occupent dans l'échelle correspondante au nombre p, la partie croissante X, &, k#,, k,, etc., dont la limite est l’unité, et les transformées successives de la fonction F(, À), seront données par les formules
F(k, À) = uF(k, 0), F(£, ©) = u'F(#,, «,), E(£ise)= 4 ,F (0 e.) tete,
49. Supposons ensuite qu’on veuille faire, dans un ordre inverse, les transformations de la fonction F(k, £), de manière que son module k soit remplacé successivement par les différens termes de la série décroissante h, h,, h,, etc., on rencontrera la même difficulté que le changement de direction a fait naître dans l’usage du théorème I*. Les formules directes qui s’appliquent à Vordre des modules croissans donnent k et g' en fonctions de #’ complément de À ; elles donnent en même temps sin © exprimé par une fonction rationnelle de sin 4. Dans la marche inverse , il faut déduire k et x’ de £, ce qui ne peut se faire que par des procédés semblables à ceux que nous avons indiqués : et, d’un autre côté, on ne peut déduire sin 4 de sin © que par la résolution d’une équation du degré p. C’est ainsi qu’on aura la première formule de transformation
F(#, o)= 5 F(4, 4), ou F(£, ©) = vF(A, À). Par de semblables
opérations , on trouve
PREMIER SUPPLÉMENT. 43 F(X, À) = 1,F(2,, di), FA; À) = »,F (A, 4), etc.,
de sorte que le module donné X sera successivement remplacé par les différens termes de la série décroissante k, h,, h,, ete.
On voit par là que le théorème IT fournit une seconde solution du problème dans lequel il s’agit de transformer une fonction donnée F (4, 4) en une infinité d’autres qui aient pour modules les différens termes de la même échelle déjà construite pour le module #, et correspondante au nombre impair donné p. La transformation se fait immédiatement par les formules du théorème IE, pour passer du module 2 aux modules croissans k, k,, k,, etc.; elle se fait avec moins de facilité, et en exigeant pour chaque amplitude la résolution d’une équation du degré p, lorsqu'il s’agit de passer du module Z aux modules décroissans h, , 2,, etc. Mais, dans tous les cas, la solution peut toujours se faire algébriquement, c’est - à -dire par la résolution d’un certain nombre d’équations algébriques d’un degré déterminé.
50. Indépendamment de ces deux grands moyens de transformation qui s’appliquent à tout nombre impair donné p, il en est un troisième qui participe des deux, et qui n’emprunte de chaque théorème que la partie la plus facile, où il n’y a pas d’équation à résoudre pour passer de lamphtude de la fonction donnée à l'amplitude de la fonction transformée.
En effet, supposons que, par un procédé dont nous donnerons bientôt les détails, on ait formé, d’après le module donné #, et dans telle étendue qu’on voudra, l'échelle des modules |
DT A AA AA AA) Bi... (0
qui répond au nombre impair donné p. On pourra, par les formules du théorème 1, transformer la fonction, en la faisant passer du module # aux modules décroissans , h,, h,, etc.; et, par les formules du théorème II, les transformations pourront être dirigées pour passer, avec Îa même facilité, du module £ aux modules croissans F1 ka, El ete,
Dans ces deux séries de transformations, l’amplitude de chaque fonction se déduira de l'amplitude de la fonction précédente, au moyen d’une formule (32) ou (44), dans laquelle le sinus inconnu s’exprime rationnellement par le sinus connu. A l'égard des régulateurs qui servent à former les équations F(£, ®)— ul (h, À), F(R, J)—4ur (h,, d;), etc., ils se déterminent, soit par les formules propres au théorème Ier, soit par les formules
1 K HN VE e plus simples MO ES res etc. On aura de même,
de
pour les équations F(#£, @) = ul (4,, @,), F(4,, @,) = m',F(A,, @.);, K
relatives à la partie croissarite de l’échelle, les formules uw, = +,
LR : > etc:
51. Il ne sera pas inutile de joindre ici un petit tableau où l’on verra d’un coup d’œil la laison des formules que chacun des théorèmes fournit pour la transformation dé la fonction proposée, tant dans l’ordre croissant que dans l’ordre décroissant.
Echelle générale des modules pour le nombre impair p,
LI RS SN ee a SNS ls 0 Formules du théorème I*.
en F(4, @) —=mF(4, 4), F(k, d)=ur(h, 1) Ordre décroissant , : HAUTE ? TAPANT E F(h,)=448 (a Va), etc.
FR, 4) =vF(4,0), F4, 9) =nE(k, 0), F(4, ? P) =, E (A, P:)3 ELC.
Ordre croissant ,
—# PA CHARS CRC ETES Valeurs des Hp Monte Est NRC, régulateurs,
Formules du théorème II.
F(A, À) =uF(k, ©), F(£,0)—=uT(E,, &,)
F(£, ©,)—=uSF(#,, «,), etc.
f FC, ©) = F (4,4), F(Asd)= EC, d,),
Ù FA, dd )=v',E(A,, 4.), etc.
Ordre croissant ,
Ordre décroissant ,
Se Valeurs des HS Go TE 0 He TERRA régulateurs, ns H
H., Vs NP tt y Me NEC HO AH AS
Rapports entre les régulateurs des deux théorèmes,
pan, (atle Le y E LL ! ; V—= Ph, = Phi, VV, = PU,, elc., pins es (he Ee
V= Ph, Vi Phi, VV, — Plus, eic.
$ VI. Usage des mêmes théorèmes dans la multiplication et la division des fonctions de première espèce.
52. Nous avons déjà remarqué que les formules données par les deux théorèmes, savoir, F(4, ©) = mF(k, À), F(4, À) = WE(£, w), con-
duisent immédiatement à léquation FC, à) = pF(k, 9),
qui servira également à la multiplication des fonctions et à leur division par le nombre impair p.
On voit d’abord qu’étant donnée amplitude @ de la fonction simple F(£, ©), il faudra chercher l'amplitude 4 de la fonction auxiliaire F(k, 4), au moyen de la formule (32) du théorème I‘, laquelle donne la valeur de sin , exprimée par une fonction rationnelle de sin @ ; ensuite, on fera usage de la formule (44) du théorème IT, qui donne semblablement l’expression de sin w en fonction de sin 4. D'ailleurs, on connaît la loi que suivent , dans leurs accroïissemens , les amplitudes $ et À, ainsi que celle qui a lieu dans les accroissemens des amplitudes 4 et w. Ainsi la détermination de sin © par sin @ fera connaître, sans ambiguité, la valeur de w déduite de celle de @.
On peut supposer que la valeur de sin 4 en sin ®, donnée par le théorème [®, est substituée dans la formule (44) du théorème IT, et alors on aura immédiatement l’expression de sin w, laquelle sera donnée par une fonction rationnelle de sin @, dont le numérateur est un polynome du degré p°, avec tous les exposans impairs, et le dénominateur un polynome du degré p — 1, avec tous les exposans pairs. Cette substitution peut être censée satisfaire au problème que nous nous étions proposé n° 22, tome [°, et qui consiste à trouver l’expression générale de sin ®, et cos®,, en fonction de sin @ et cos ®.
Nous remarquerons cependant que la solution qui vient d’être indiquée suppose connues les quantités «4, et ps pour toute valeur de 7. Ces quantités peuvent se déterminer par les équations algébriques dont elles dépendent , ou par les méthodes d’approximation ; mais elles sont en quelque sorte étrangères au problème dont il s’agit , et elles doivent disparaître dans le résultat final, qui ne peut contenir, tant au numérateur qu'au dénominateur , que des coefficiens exprimés en fonctions rationnelles du module £. Ainsi, le problème de la multiplication des fonctions n’est en-
46 TONCTIONS ELLIPTIQUES,
core résolu que d’une manière incomplète , et qui laisse beaucoup à désirer.
Il en est de même, à plus forte raison, du problème de la division des fonctions ; cependant, comme ce problème présente, en général, une équation à résoudre du degré p*, il faut avouer que lapplication de nos deux théorèmes sert à diminuer beaucoup la difficulté. Il faut, pour l’usage de ces formules, calculer préalablement les quantités &,, et 6, , qui servent à diviser les fonctions complètes F'# et F'#! en p parties égales. Ces quantités étant connues, la division de la fonction F(Æ, «) en p parties égales, c’est-à-dire la détermination de l'amplitude @ qui satisfait à l’équation
F(4, => F(£, w), se réduira à résoudre deux équations du degré p,
savoir, l’équation (44), pour déterminer sin 4 par le moyen de sin ©, et l'équation (32), pour déterminer sin@ par le moyen de sin 4. On voit, par conséquent , que sin sert d’auxilaire pour décomposer l’équation du degré p* en deux équations du degré p.
Les choses se simplifient ultérieurement dans les cas particuliers, ainsi qu’on le verra ci-après dans le développement des cas de p=3 et p —=5.
$S VII. Usages de l'équation transcendante a. = p De
53. Nous remarquerons d’abord que le théorème contenu dans cette équation s'accorde avec ceux que nous avons trouvés sous une autre forme n° 85 et n° 190 du tome E° ; le premier, pour le cas de p—2, qui est celui de l’échelle ancienne, et le second, pour le cas de p=3, qui est celui de la seconde échelle dont nous avons traité dans le chapitre XXXI. Cest donc un résultat général qui s'applique non-seulement à tous les nombres impairs sans exception, mais même au cas de p=—2, qui se rapporte à l’ancienne échelle. | à
La formule Kw —P;r représente, sous la forme transcendante, l'équation
algébrique qui existe toujours entre -deux modules consécutifs # et X, pris dans l'échelle dont l’indice est p, # étant le plus grand des deux. On aura
# . H semblablement, entre les modules 2 et X,, l'équation Le P TÉ entre 2, et
r . H HS - k,, l'équation = pr » etc. ; donc
inéral, = pti nm, Cest la relation qui existe entre le mo-
et, en général, &=p""" jp. Cest la relation qui existe entre 10 dule # et le module X,, qui occupe le rang mæ+4- 1, après #, dans la suite décroissante k, k, h,, k,, etc. On aura donc semblablement, entre les mo-
! s UK, K dules #, et Æ, Péquation = == p" KR; cr le module # est placé au rang
m, après #, , dans la série RE UNE hs VA RTS ER HI AUS AC même équation , sous la forme K TRUKE,
ru En 7 TU contient une relation directe entre le module 4 et le module #,,, qui occupe le rang », après £, dans la série croissante £, #,, k,.... kn.
Les transformées successives de la fonction F(Æ, @), suivant les formules du théorème 1°", et dans l’ordre des modules décroissans, sont données par les formules
F(4, g)=uF(h,d), EG, dE, À), FO, LP, d.), ete. )
où l’on a — 0 he it HAE QU PSE:
DtH? s eLC.
HS le
Il en résulte les valeurs successives F(G,9)= 4F(, Ÿ) = 1.5 RF@, 4), F(k,9)= puF(k,, À, )= > ne FC di), FE, o)= map l(la, d)= 25 2 pr F (ln, du), etc.
Donc on peut passer immédiatement du module # au module k,, pris dans la série décroissante, par la formule
K FE, = unie pe Fm Vi)
On passera de même du module # au module #,, pris dans la série croissante, par la formule
K F(E, @)= pe F (En, Qu).
54. Dans le premier cas, amplitude 4,, se déduit de l’amplitude précédente ,,,, suivant la même loi que L se déduit de @, c’est-à-dire par une équation qui exprime rationnellement sin «| en fonction de sin @, et semblablement sin ,, en fonction de sin VE
Dans le second cas, qui s'applique aux modules croissans, l'amplitude ®, se déduira de la précédente @,-,, en résolvant une équation du degré p. Il y aurait donc autant d'équations de cette sorte à résoudre que d’unités dans »; et, en outre, il faudrait à chaque opération calculer la série entière des quantités analogues à &,. Mais il s’agit ici de simples possibilités, et non de l’exécution effective de tant de calculs qui deviendraient bientôt impraticables, même pour d’assez petites valeurs de p et de m; on a au moins lavantage de pouvoir former a priori, et par des calculs rendus faciles par des transcendantes bien connues, l'équation qui fait passer directement du module # au module plus petit #,, ou au module plus grand #,. Quant aux amplitudes 4, ou @,, il sera toujours possible de les trouver par approximation, en supposant F(£, ®) connu, puisque k, devenant bientôt très petit, ou même négligeable, F(4,, 4) se réduit à Va ; et que, d'autre part, #, pouvant bientôt être confondu avec l'unité, F(ÆAn; mn) se réduira à log-tang (45° + + Qu).
Les mêmes calculs que nous venons d’indiquer s’appliquent aux formules du théorème IL, ainsi qu’on peut le voir par le tableau de Part. 5r.
. à 4 K H r , 55. Revenons maintenant à l'équation = —p;;, ou, plus généralement , aux équations
Ac As F2 K 1m Re
an RE SAT men eu qui servent à passer, l’une du module # au module À,, dans l’ordre décroissant, l’autre du module # au module 4, , dans l’ordre croissant. Supposons qu’étant denné #, on veuille calculer par ces formules les différens termes de léchelle qui répond au nombre impair donné p.
Par la table des fonctions complètes (table 1°, tome 11), on connaîtra à la fois les logarithmes de K et de K’ calculés avec douze décimales; on
N K | dt connaîtra donc le logarithme de K> ct par suite celui de nm. Lorsque m
h, ne sera pas trop petit, on pourra trouver dans la table une valeur de
ka, qui corresponde : ss au logarithme de
m> QUI Corresponde à peu pres au logarithme de > alors on trouvera aim
sément, par interpolation , une valeur fort approchée du module demandé A...
Il en sera de même des cas où l’on pourrait trouver dans la table un loga -
É 7 : K, : so rithme peu différent de celui de KR >; mais le plus souvent les limites de la
table ne permettront pas de faire ces interpolations, et le calcul pour déter-
miner #, ou #, n’en deviendra que plus facile. En effet , la série X, h,, h, , etc., décroissant d’une manière très rapide, on pourra bientôt supposer
Hi = rie — lo - ; de sorte qu’on déterminera immédiatement le es module À, par l’équation
4 K DE mes | ie né min log.5- = 2: 7p Le (o.43429...), dont le premier membre représente un logarithme vulgaire. De même, à cause de la convergence très rapide de la suite #, 4,, #3,... vers la limite 1, on aura bientôt, avec une exactitude suflisante,
K,=:2:7 et K,= log. hyp. À ;
ce qui donnera
log = 17p" . m7 (0.43429...), équation qui détermine le module #,,, très peu différent de l’unité, par son complément 4’.
Cest ainsi qu'on pourra calculer, dans toute l'étendue qu'en voudra, l'échelle des modules qui résulte du module donné # et du nombre impair donné p; et il ne sera pas plus difficile de calculer le dixième ou le centième terme ; avant ou après le module donné #, que tout autre terme voisin de #.
56. Si, après avoir formé l'échelle qui convient au module donné # et au nombre impair p, on forme une seconde échelle avec les complémens des termes de la première, placés au même rang , comme on le voit ic:
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cette seconde suite sera l’échelle des modules qui, pour le même indice p, répondra au module #/, complément de #; elle sera seulement disposée dans un ordre inverse, c’est-à-dire qu’elle sera croissante dans le sens où la première est décroissante, et réciproquement. Ainsi, l'échelle construite pour le module # fait connaître immédiatement l'échelle qui répond à son complément #', l’indice p étant le même dans les deux cas. Nous avions déjà fait mention de cette propriété au n° 76, tome I‘, pour l’ancienne échelle qui répond à p —2, et au n° 189, 1bid., pour l’échelle qui répond à p = 3; mais on voit que cette propriété est générale pour toutes les échelles qui répondent à un nombre impair quelconque. En effet, de l’é-
[ex
à K H A UR En EUTNE LS quaon = P jp» Qui a lieu pour le module # , on déduit immédiatement
