. 4 27 Q AE LE

simple de tous, on ne voit pas quelle serait l’équation algébrique qui pourrait avoir lieu entre deux termes consécutifs de l’échelle : on sait seulement que, pour les termes alternatifs tels que 2 et 7,, 7, et n:, on a

2Vn n Re VRP n, == =:

14 7 1+ fonction inconnue, il faudrait déterminer cette fonction de manière qu’elle satisfit à l’équation

. Si l’on fait donc 7 — 4 (7,), À désignant une

24) ds 2x?

Un second exemple de l’échelle unique se trouve, pour le cas de p=3, dans la réunion des deux échelles données n° 192 et 193 du tome I* ; elles s'accordent avec la forme générale du n° 59, en faisant #4 — sin 75,

À + 5e, / 2 +3 = Sas ee re NV == = re; et l’on a SR tlement pour

deux termes consécutifs m et 7 l'équation de = \/3. EL Cette échelle est

remarquable par ses trois termes moyens, qui sont sin 75°, sin 45°, sin 12°.

Enfin, on peut donner un troisième exemple de l'échelle unique, pour

le cas de p—5, en faisant £ = sin d' et sin 2d = (2sin18)=y5— 2; d’où résultent les valeurs logarithmiques

Diff... 0.34948 5oo21 69 =: log 5.

On a donc, en eflet, = —=ÿ/5. Dans ce même cas, si l’on fait = sin y et sin 27 = (2 sin 18°)"*, on aura les valeurs logarithmiques

h.... 7.1xgiir 88449 17 H.... 0.19612 01388 25 h'.... 9.099999 94764 10 H'.... 0.809509 01431 60 DIF... 9.30102 99956 65=—log(o. 2).

H : ; HUIT SE PAT Donc ;; — Æ ce qui convient, en effet, soit à l’échelle dont l’indice est 5,

pour deux termes consécutifs sin 45° et 2, soit pour les mêmes termes, à deux places de distance, dans l’échelle dont lindice est y5. 61. Si l’on propose de trouver un module 7» tel, que la fonction

complète M, qui lui correspond, soit à son complément M’ dans le rapport de p à 1, ou dans celui de y/p à 1, de sorte qu’on ait.....

M M ARS ’ b ] . .

ww —=P9u;r —=ÿp, p étant un nombre quelconque entier ou ration-

nel, ce double problème se résoudra par les termes moyens de l'échelle construite pour l'indice y/p.

En effet, cette échelle étant ainsi désignée

D ee PA AO RES isa sens (O

on aura Æ—ÿ/p et K. — p: donc, dans le premier cas, on aura m —#,,

et dans le second, m = 4.

$ VIIL Oz prouve que le nombre des échelles et celur des transformations qui résultent des propositions précédentes , peuvent encore être augmentés à l'infini.

62. On a vu que l’échelle ordinaire, ou ce que nous appelons l’arcienne échelle des modules, correspond au nombre p = 2. Les échelles nouvelles peuvent être construites, à l’aide des deux théorèmes de M. Jacobi, pour tout nombre impair donné p ; mais nous considérerons seule-

ment les échelles qui se rapportent aux nombres premiers 3, 5, 7, etc.: et la combinaison de ces échelles avec l'échelle ancienne, dont lindice est 2, va nous fournir des résultats infiniment plus nombreux que tous ceux que nous avons déjà obtenus. Nous allons prouver, en effet, qu’on peut construire une échelle particulière de modules, non -seulement pour tout nombre entier, mais même pour tout nombre rationnel proposé.

63. Supposons , par exemple, qu'on veuille former une échelle pour le nombre 30 = 2.3.5. Prenant toujours Æ pour le module donné, appelons À le module qui suit £ dans l’échelle ancienne ou dans l’échelle n° 2 ; prenons de même, dans l’échelle n° 3, les deux termes consécutifs k et f, et dans l’échelle n° 5 les deux f et g. Ces trois échelles seront indiquées partiellement , pour faire connaître l’ordre des termes, comme il suit :

Échelle n° 2, termes consécutifs. ......... #, h.... SN 00 PRES OS LS CE A PRES RE AN Cl Re te Ce Deere eee es e- TOUS

D’apres les propriétés des fonctions complètes correspondantes, on aura Las he CU mme 2 LÉ: don

l’échelle n° 30, en cette sorte

F F G CAE ere TEE

À P K de : : :

il en résulte &=307. Amsi, g sera le module qu doit suivre £ dans

Échelle n° 30, termes consécutifs. ....... #, g.... (o

Dans l’échelle n° 2, on connaît l’équation entre les modules £ et 2; cette

équation est #£ = a. Dans l’échelle n° 3, l'équation entre les modules k, f et leurs complémens #', f' est ÿ/(hf) + y (hf)= 1; dans Péchelle n° 5, on connaît l’équation entre f et g, que nous donnerons ci-après. Au moyen de ces trois équations, on pourra former l'équation entre #

et g; ce sera l’équation des modules qui répond à léquation transcen-

K G Q Q \ 0 4 4 dante = =30%, et qui servira à calculer algébriquement tous les termes

de l'échelle dont l'indice est 30.

On formera semblablement l’équation entre les sinus des amplitudes par la combinaison des trois équations analogues qui ont lieu dans chacune des échelles 2, 3, 5: c’est ce qu'il serait inutile d'expliquer ici avec détail; car on voit bien qu’il s’agit de possibilités, ét non de calculs effectts.

64. Lorsque le nombre donné pour indice de l’échelle aura des facteurs égaux, on prendra, dans les échelles correspondantes , des termes non contigus, mais qui se suivent à la distance convenable. Soit proposé, par exemple, le nombre p — 360 — 2°. 3°. 5, on prendra, dans les échelles n° 2, 3 et 5, les termes k,, fi, g, comme il est ici indiqué :

Échelle n° 2, termes successifs. . . . . LAN VOS CA OT RESTE AEAE LR ICONE Tan A A TO AS) EST PRE ERER (o LD D AU PR A EP PR Er LU LARMES en (o

D’après la disposition de ces termes dans leurs échelles respectives, on aura

KYeRUTl Her EF: Fe. Cr KT? KE, nm = > =;

à K G MS kr ce qui donne 3 — 2.8.5 &. Donc k et g sont deux termes consécutifs

dans l'échelle n° 360.

Quant à l’équation entre les modules # et g, qui permettra de calculer tous les termes de cette échelle, on la déduira des équations connues dans les échelles particulières entre Æ et h,, entre À, et f, enfin, entre jf, et g; et l’on observera que l’équation entre et k, doit être formée par la combinaison des trois équations qui ont lieu entre X et L, entre L et À,, enfin, entre X, et ,; que, de même, l’équation entre #, et f, résulte des équations entre , et f, puis entre fet f.. On formera semblablement les équations des amplitudes. Toutes ces opérations deviennent très compliquées, à mesure que les nombres augmentent ; maïs elles peuvent s’exécuter algébriquement dans tous les cas. D'ailleurs, si l’on ne veut que des approximations, les modules sont toujours faciles à calculer par l'équation trans-

K H à cendante KR =? jy quelque grand que soit le nombre p.

65. On doit voir maintenant qu'il est facile de former une échelle qui réponde à tout nombre rationnel proposé.

Soit, par exemple, p = 5 ; on considérera , dans l'échelle n° 3, les

deux termes consécutifs Æ et k, et dans l'échelle n° 2, les deux f et , comme 1l suit :

Echelle n° 3) termes /consécutifs. . ..° "X, ko

n°21" OISE RO M TAR 8 LORS AN AE = Sn

: ' , ; K H F H K F il f ss e QUE à er pus — —19—<"° — — LA SAR = en résulte les FHpations Fe N° F2: donc Fe 1 donc

k et f sont deux termes consécutifs dans l'échelle dont l'indice est 3, en cette sorte

; Ë VAPEUR Echelle £%?termes consécutifs #26"... . 44,7. "(0

Quant à l’équation entre Æ et f, elle se formera de l'équation entre 4

et À, laquelle est y/(4h) sa ki RS — 1, et de l'équation entre f et k, ; Pa t/z RS : —f" US ee.

savoir, f—= T5 ou fi : d'où 4=- Fr et A— CE On aura

donc pour l’équation cherchée

V7 Ver 66. Soit k= k'=y2; si l’on fait A=sine, l'équation \V/sin € + \/cos & (72 donnera sin 2€ =— 9 —— Vi tennis tai 1° 701660000, e— 2° 3! 30",94969, f—> = — tang* (45° — +e) — sin 68°,53606729, f = sin 21°,46393271. D’après ces valeurs de f et de f’, on trouve pour les fonctions complètes F et F les valeurs logarithmiques