FE ON 0.38767 81903 SEE

Diff.... o.17609 12600 = log à.

F ; S ' KR = Sp La valeur de f appartient à l’une des deux échelles

= qui composent l'échelle unique y/£.

K Donc on a = —

67. Pour avoir l’autre échelle, soit k= f”, et, par conséquent, 4 = f;

équation à résoudre sera V4 ES + \/ ES = I ROUE

= on aura Æ Vax—1; d'où yx— . y) T—=2—/3 CR — re RS : c’est le module qui satisfait à l’équation transcendante = — 5. On trouve log £ — 9.092584 76645 ; ce qui s’accorde avec la

solution que nous avons donnée du même cas (n° 197, tome 1°). D’après ces deux déterminations, les cinq termes moyens de l'échelle ÿ/£ seront f”, 4, = = !

D L 4 4 ’ . . qe 12 68. Soit proposé de former l'échelle qui a pour indice Fr =. On

prendra dans l’échelle n° 2, les trois termes consécutifs 4, 2, k,; dans

l’échelle n° 5, les deux 4,, f, et dans l'échelle n° 5 , les deux g, /, comme on le voit ici :

Échelle n° 2, termes consécutifs. . . 4, A, h,.... (o fer eee (O OR NE MR Re eS f etes eee cn (O

et, par la propriété de ces échelles, on aura

Ro HR U HV Gt ti ER RE ares en at rer ee mm ne re Ainsi, # et g seront les deux modules consécutifs dans Péchelle 2. L’é-

quation entre £ et g se trouvera par la combinaison de l’équation entre ket h,, dans l'échelle n° 2, de l’équation entre k, et f, dans l'échelle n° 3, et de l’équation entre g et f, dans l'échelle n° 5. Si, en même temps, on détermine Æ de manière qu'on ait £ = g°, k = 9, on aura

rw —=V+, et l'échelle qui en résultera sera l’une des deux qui compo-

sent l'échelle unique pour le cas de p = +, c’est-à-dire l'échelle dont Vie 4 Le : M N

deux termes consécutifs 31, n satisfont à l’équation Nr a Per

69. En général, quel que soit le nombre p, entier ou fractionnaire, on pourra toujours construire, d’après le module donné £, une échelle qui réponde au nombre p, et obtenir une équation algébrique entre deux termes consécutifs X et À de cette échelle.

De cette équation on pourra toujours déduire deux échelles particulières, l’une pour le module = sin 45°, l’autre, en déterminant # et À d’après la condition £= h! ou k'—. Ces deux échelles, réunies par une sorte d’intercalation , formeront une échelle unique qui aura pour indice

V’P, et qui, pour deux termes consécutifs » et 7, satisfera, en général, à l'équation ne mn pi Cette échelle aura la propriété que deux termes quelconques également éloignés du terme moyen sin 45° seront complémens l’un de l’autre; de sorte que toute fonction dont le module 72 sera compris dans l’échelle unique, pourra être transformée en une autre dont le module sera #', complément de m.

Nous avons, dans un autre temps, avancé que les exemples d’une foncüon dont le module peut être changé en module complémentaire , étaient trés rares; maintenant que la théorie des fonctions elliptiques a reçu de

grands accroissemens, on voit que cette propriété a lieu pour tous les mo-

dules compris dans l’échelle qui a pour indice V/p, p étant un nombre

quelconque, entier ou fractionnaire ; et les exemples connus viennent se ranger, comme cas particuliers, dans cette classification infiniment étendue.

70. Si l’on considère enfin que, pour former l’équation entre les sinus des amplitudes ou entre leurs tangentes, on a la faculté, pour chaque facteur premier dont le nombre p est composé, soit multiplicateur , soit diviseur , de choisir entre les deux équations des amplitudes fournies par les deux théorèmes, et qu’ainsi le nombre des combinaisons qui produisent le résultat final est en général 2", m étant le nombre des facteurs premiers inégaux qui sont multiplicateurs ou diviseurs du nombre p, on devra en conclure que le nombre des transformations dont une même fonction de première espèce est susceptible, s'agrandit sous tant de rapports, qu'il surpasse tout ce qu’on peut imaginer, et se place dans les infinis de l’ordre le plus élevé. C’est donc à juste titre que cette fonction a été qualifiée de protée analytique; l’analyse n’a jamais montré autant de fécondité que dans lobjet particulier qui concerne la multiplicité de toutes ces formes.

Au reste, parmi les 2" combinaisons dont nous avons dit qu’est susceptible l'équation des amplitudes, il n’y en a qu’une seule dans laquelle la formule finale de réduction F(k, g)=AT(c, «) soit telle, qu’on puisse exprimer rationnellement sin © par sin @, ou tang & par tang @.

, r I . \ y On peut toujours supposer p> 1, car l’échelle 7 revient à l'échelle p prise dans un ordre inverse.

; : 2p° 3 É S Cela posé, 1°. si p est de la forme ZT p'et p” étant impairs, on pourra

exprimer rationnellement tang & par tang @.

2°. Si p est de la forme LE , On pourra exprimer rationnellement sin

par sin ®.

3°. Enfin, si 2 n'entre ni comme multiplicateur ni comme diviseur dans le nombre p entier ou fractionnaire, on pourra exprimer tout-à-lafois sin & par sin @, et tang & par tang @; c’est ce qui résulte immédiatement des n° 41 et 45.

7. Nous remarquerons encore que, quoique chaque échelle de modules soit composée d’une infinité de termes, algébriquement déterminables entre les limites zéro et 1, cependant, si l'indice p, entier ou fractionnaire, surpasse le nombre 3, il n’y aura jamais à considérer qu’un très petit nombre de termes de Péchelle, quatre ou cinq au plus, qui peuvent donner lieu aux transformations de la fonction donnée, les autres termes

échappant en quelque sorte au domaine des calculs usuels par leur extrème petitesse ou leur extrême proximité de la limite 1. En eflet, il résulte de la

H fe A 4 AW formule D P jr> que lorsque le terme k peut déjà être considéré comme

très petit, auquel cas le terme suivant À est beaucoup plus petit, celui-ci se détermine par l'équation

= p.-— 5} — (n° 48, tome [*);

d’où lon tire ; == oO! (+ Je). Cette formule fait voir que, lorsque p

surpasse 3, le décroissement des termes de léchelle sera extrêmement rapide, puisqu'on a, par exemple, pour le cas de p=5,

: = G) (: ou 7 ke)

Dans le sens contraire, les termes ne s’approchent pas moins rapidement de la limite 1 ; car si À est un terme déjà très peu différent de r , en sorte que son complément A! soit très petit, le terme suivant À, dans l'ordre croissant, aura un complément beaucoup plus petit k!, qu’on déterminera semblablement par la formule

F CY ( Pt =() (2x), f 4 4 Les mêmes formules font voir qu’il n’en serait pas de même si lindice p était peu différent de l’unité, si l’on avait, par exemple, p=? ou p=#; alors l'échelle des modules aurait une marche beaucoup plus lente, et l’on

pourrait obtenir un grand nombre de transformations, sans trop s’approcher des limites de l’échelle.

S IX. De la transformation des fonctions elliptiques de la seconde espèce.

72. Toute fonction donnée de seconde espèce E(X, @) peut être transformée dans les mêmes cas, et d’une manière aussi générale, que la fonction de première espèce F(k4, ®), et la formule de transformation pour passer du module £ au module plus petit 2 sera, en général, comme dans les deux premières échelles, de la forme

æet 6 étant des coefliciens constans, et V une quantité purement algé-

brique. On doit prévoir que le calcul de la quantité V deviendra de plus en plus compliqué, à mesure que le nombre p sera plus grand; mais cette quantité disparaît lorsqu'il s’agit de la fonction complète, et alors la transformation de la fonction E’4 peut être faite généralement par une formule trés simple.

Pour parvenir à ce résultat, il serait naturel de chercher directement la valeur de l'intégrale fd\Ÿ /(1— k° sin° 4), en y substituant la valeur de sin +}, en fonction de sin ®, donnée par la formule du théorème I® ; alors on aurait à intégrer la différentielle 1— £°? sin°@ sin? =. ee &? sin° @ sin =) (ÈS @sin” Re)

1—£*sin@sin"e; 1—/L’sin@sin"«;3

de MA AT ia (aan 1— £*sin°@ sin°« Mais cette intégration peut présenter des difficultés, au moins par la prolixité des calculs, et il y a un aoyen beaucoup plus mu de parvenir au résultat ; ce moyen consiste à différencier l’équation....... F (4 = EF (A ar rapport à Æ, en regardant @ comme cons- ) A ) DE PP ) £ tante.

: dh Da 73. 1l faut d’abord , pour cet objet, trouver le rapport zx en difiéren- K

; ” , as 13 ciant l’équation des modules RP

Par la formule du n° 46, tome I*, appliquée aux quantités K = F'# et

kdk K'=F'#!, on a, en observant que dk = — >,

dK — na E Œ%x — K°F'X) :

dK'=— = E CEUX REX):

donc KR — KAK'= PE (ERA 2 EURE — FAPK) = TT.

Par la même raison,