MAS LES

dép HERE PER pe

74. Maintenant , il faut différencier l'équation F(4, g) =uF(h, À), en

faisant varier À et X, et regardant @ comme constante, mais non pas 4, parce que lexpression de sin 4 par sin ® contient les quantités & qui dé-

pendent de #, en vertu de l'équation F(k4, &,) — A K. Quant au coefi-

cient w, on peut le mettre sous la forme HE p AlS DOS le laisserons tel

qu'il est, parce que, dans les applications, il est lié aux modules Æ et

, ; Ait à si d, h par des équations algébriques qui donnent aisément la valeur de +

On appliquera d’ailleurs aux fonctions F(k, @), F(k, 4) la formule gé-

nérale de l’article cité, où l’on fait varier seulement le module

dF(c, @) … < sin @ cos? .

Re = 7 (E— D TEE ;

on aura ainsi l’équation différentielle

sin @ cos@

1 LME OT ES L2 Et, P)— TEE; ?) Ra ff 5 sin° @) ar dh __sinŸ cos = + Lit DRE 7 yann

dÿ + TE, Deere EN dk

# , et tirant de cette équation la valeur de

E (4, ®), exprimée par le moyen de E(, 4) et F(k, 4), on aura EEE a L pla à n (64) EG, 9)= EC, J) (eh Re RES JE (Rs NOV,

V étant une quantité algébrique ainsi composée

Substituant la valeur de

ve k sing cos 1 hsindcosŸ de EI: dY VAE nt 9 pe Va —Æ sn) Ÿ VOS) dk

79. Si l’on eût soumis à de semblables opérations la formule du théorème Il, F(4, 4) =u!F(#£, «), on en aurait tiré le résultat E(K, )= ÊE(R, 4) + (D — RCE) FU, VD V'

k? sin w cos © k° sin + cos Ÿ Rk'2 do

VG—Æsina) x” vG—72 sim) VG— #6 sin" 0) ‘ dk

Il suit de ces deux formules, que pE(k, ®)— E(k, w) est égale à la quantité algébrique pV — V'; ce qui est conforme à la nature des fonctions E (n° 35, tome I‘), puisqu'on a, dans le cas présent,

62 FONCTIONS ELLIPTIQUES , pE(Kk, @) — V(k, ©) = 0.

On obtient ainsi une nouvelle vérification assez remarquable des formules de nos deux théorèmes, et l’on voit en même temps que ces deux théorèmes conduisent au même résultat dans le problème de la transformation des fonctions de seconde espèce.

76. Si l’on fait dans la première formule @—=+7 et J =p.;x, ou dans la seconde, w = :7 et d = +7, les quantités algébriques disparaissant, on aura la valeur de la fonction complète , comme il suit :

1 Eat à 1 EYES k° fa des 1 (56) E'(H)=S E 4 + (pk + ph Fe) PA.

Dans cette formule, la fonction E'X est transformée en une autre L' d’un module plus petit. On peut tirer de la même formule la valeur de E'X, exprimée par E'Æ et KF'#Æ; mais cet objet sera mieux rempli par autre formule, où les quantités w/, Æ se déterminent directement en fonctions de k! ou de À, au moyen des auxiliaires 6. On aura donc, pour passer du module au module plus grand X pris dans l’échelle construite pour l'indice p, cette formule

1 17. la f2 2 À | 1 (57) Eh pl + (une — pk + Re TR) EE

77. Il résulte de ces formules que les fonctions elliptiques de seconde espèce sont susceptibles d’être transformées d’autant de manières et dans les mêmes cas que les fonctions de première espèce; mais les formules dé transformation sont compliquées d’une quantité algébrique, qui est en général difficile à déterminer : cette quantité disparaît lorsqu'il s’agit des fonctions complètes, et alors les résultats sont exprimés, comme on l’a vu, par des formules très simples.

Toute échelle de modules dont lindice p est entier ou fractionnaire offre le moyen de transformer la fonction donnée E(k, ®), de manière que son module # soit remplacé successivement par tous les termes de léchelle qui s'étend à l'infini, tant pour parvenir à la limite zéro que pour parvenir à la limite 1; mais on doit distinguer particaliérement l'échelle unique yp, formée de la réunion de deux échelles qui ont pour indice p, et dont nous avons donné la construction. La propriété principale de cette échelle étant que les termes également éloignés du terme moyen sin 45° sont complémens Pun de l’autre, si deux termes de cette sorte sont désignés par #2 et m', on pourra transformer tout-à-la-fois la fonction F(#, @) en F(m', 4), et la fonction Em, @) en Em', 4) et Fm, 4), par des équations de

la forme

Fm, ®) = aF(m', À),

Em, ®) = bE(m', 4) + cm, À) + V, où a, b,c sont des constantes, et V une quantité algébrique qui dépend des amplitudes @ et 4.

Dans le cas des fonctions complètes, on aura simplement F'» = eF'm' et Etn=fE'm + gF'm', e, f,g étant des constantes multiples ou sousmultiples de &, b, c ; d’un autre côté, on a l’équation des fonctions complémentaires E'm£°m + Em Em — Faim = :7. On pourra donc exprimer les fonctions complètes de seconde espèce Em, E'm', par les fonctions complètes de première espèce F'7, F'm”', ou seulement par l’une d’elles.

Nous avons donné plusieurs exemples de ces réductions dans notre Traité des Fonctions elliptiques ; mais ce n’est qu'après avoir découvert Péchelle unique ÿ/p, où p désigne un nombre quelconque entier ou seulement ratiounel, que la proposition générale qui renferme tous les cas particuliers pouvait être établie, comme nous venons de le faire.

78. Les transformations dont les fonctions de première et de seconde espèce sont susceptibles ne s'étendent point aux fonctions de troisième espèce ; car on a déjà vu, dans le chap. XXXI, tome I‘, que pour l’échelle n° 3, qui est la plus simple après l’ancienne échelle, l’application des formules de transformation à une fonction de troisième espèce, donnerait des résultats successifs, dont la complication augmenterait continuellement , et qui ne pourraient être d’aucune utilité. Il n’y a donc que les formules de l’ancienne échelle qui s'appliquent avec succès aux fonctions de troisième espèce, et qui peuvent produire des résultats utiles , surtout pour obtenir des valeurs approchées de ces fonctions.

$S X. De l'équation différentielle qui a lieu entre deux termes consécutifs d'une méme échelle de modules.

>, 3 K H $ 79. Nous avons vu que l'équation transcendante KR =PEF supplée, dans beaucoup de cas, à l’équation algébrique qui existe toujours entre deux termes consécutifs À et À d’une même échelle dont lindice est p, équation dont la recherche est difficile, même pour d’assez petites valeurs du nombre p entier ou fractionnaire. Nous allons voir qu’en faisant dispa-

raître les transcendantes de cette équation, on parvient à une équation

différentielle du troisième ordre, à laquelle devront satisfaire toutes les équations algébriques dont il est question.

On a déjà trouvé, dans le paragraphe précédent, qu’en faisant ...

ILE dh kk°? l LR [1 K = 7x9 et Ze —= 7; 0Ra équation ps = gr. Les agit mainte-

nant de faire disparaître & de cette équation. Pour cela, nous rappellerons que, suivant le n° 46, tome 1°, les quantités H et K satisfont aux équations différentielles du second ordre,

AIRNESS TR RER Ps LEPERRE DERROL NERO

SEE Le A TA HE an \ah Be dh ha La première suppose d* constant ; la seconde devra être adaptée à la

même condition, en considérant À comme fonction de À ; ce qu se fera au moyen des coefficiens suivans, tirés des équations H = Ko et

dh JR UTTSS dH I SRE 0 NORTON 4) dh) 1p ddk | dr dde à | EE pal A+ K)

dq.

7 ga CT +5 “e K).

Substituant ces valeurs dans la seconde équation, et mettant, au lieu de ddK . , °\ 4 = rs » Sa valeur tirée de la première équation, on aura

__ dk 20 1— 3° ot ATEN LRT — À until er hh'°? ) De — | dd . de 1— 32° gdc I ra +K (TE — dé cdk hh* ‘cdk oi k? h°7

: PES dK Fa en ANT Dans cette équation, le multiplicateur de = se réduit à zéro, en vertu de

l'équation ps = gr, qui donne

24c PRE = TE

2do 1 3F 3h? —1

Pr dk — = + HS DE à

celle-ci étant différenciée de nouveau, on trouve

ddq 34°—1 dy

addr 2d# Une Re Ah® ‘dE dk dE — .(1+ 3h! 1+ 34 7 * Cire br Æ°k'+ ne)

Substituant enfin les valeurs de ie et dans le coeflicient de K qui dk es ?

doit se réduire à zéro, on aura

2qddg 3dgq° Q+z) à (Gi +ky

pées-croh, à SR 70e CUS 2 PisT dk dk? 24 q &2£'+ q ?

d/, ou, en remettant la valeur 9 = TE (y

dh d'h ddl 1H 22 /dh 1 43 /dh\2

68) 02% 50e) + (en) Gr) — Ga) (x

80. Cette équation difiérentielle du 3° ordre, entre les deux modules # et k, a lieu pour toute valeur de p, non-seulement entière ou rationnelle, comme l’exigent les échelles qu’on peut construire algébriquement, mais même irrationnelle ; elle doit donc être satisfaite par toutes les équations algébriques qui ont lieu pour une valeur déterminée de p, entière ou rationnelle, entre deux modules consécutifs, qui se substituent l’un à l’autre dans la transformation de toute fonction elliptique de première espèce.

AT Vs y [ 2VA Ainsi, elle sera satisfaite, dans le cas de p=—2, par l'équation 4 = AE

14/7 dans le cas de p=3, par l’équation (GR ER Ÿ =; dans le cas de p=5, nur) = té 1

etc.

ar l’équation P d (Es 12 EU + A?

Et, parce que ces équations deviennent de plus en plus compliquées , à mesure que p augmente, et qu'il paraît comme impossible d’en trouver l’expression générale pour toute valeur de p, on conçoit qu'il n’est guère probable qu'on puisse intégrer complètement léquation différentielle à laquelle nous sommes parvenus. Dès lors, on doit regarder comme un résultat digne de remarque que nous connaissions au moins une intégrale H

LE 5 : K particulière de cette équation sous la forme transcendante = p ;5 ;

(*) Cette équation différentielle et son intégrale complète, qu’on verra ci- après, ont été données sans démonstration par M. Jacobi, dans le tome III du Journal de M. Crelle, page 194.

mais on peut parvenir à un résultat beaucoup plus général en observant que le calcul qui a été fait pour éliminer K et H de léquation......

à kk® dl ; GORCNES , ; = A D: suppose K et H déterminés chacun par léquation

différentielle qui lui est propre. Or, d’après ce que nous avons démontré (n° 47, tome [*), on peut mettre aK Æ &/K' à la place de K, et CH + C'EV à la place de H, sans que les équations différentielles dont il s’agit cessent d’avoir lieu; donc notre équation différentielle du troisième ordre est satisfaite par l’équation transcendante beaucoup plus générale

ë K mH+mH

(59) KT 2H + rH° En effet, par cette équation, on aurait d’abord

HAN — Ha da 46° (mH+mH}.

K'aK — KaK' dk hh° (mn—mn)K:?

et en comparant ce résultat à celui que nous avons trouvé par la simple sup-

PA K H à position K PE» Savorr,

dh RK H d'AanTPK?

nous. voyons que, comme on peut faire abstraction des facteurs constans qui disparaissent dans le résultat, la seule différence que peut présenter l’élinination de H, K, H', K”, dans les deux hypothèses, consiste à substituer dans le calcul que nous avons fait 72H + 77'H' à H. Or, l'équation différentielle du second ordre qui ere EH étant telle qu’elle reste la même en substituant 72H 7H à EE, il est évident qu’on aura pour résultat la même équation différentielle du troisième ordre que nous avons trouvée entre # et k; donc cette équation a généralement pour intégrale léqua-

tion transcendante K mH + m'H°

K' r7H+rH ?

PL MUTUEL QT r où il y à trois constantes arbitraires — , —, —, et qui en est par consemn mr Int quent lintégrale complète.

En cela nous trouvons un nouvel exemple de l’utilité des ‘fonctions ellipuques pour faire découvrir, en certains cas, des intégrales qui seraient tout-a-fait inaccessibles aux méthodes RE.

81. Nous remarquerons, en finissant, que les termes Æ et À, que nous

avons supposés se suivre immédiatement dans l’échelle dont lindice est p, pourraient représenter deux termes quelconques de cette échelle, pourvu que p fût remplacé par p", m positif exprimant le rang de #, après #, dans l'échelle p, suivant l’ordre décroissant , et » négatif désignant de même le

rang de X, avant #, dans l’ordre croïssant ; car, dans le premier cas, on a K

= P“Ee et dans le second, = ENT - : et si l’on considère les choses d’une autre manière, le terme k, qui est placé à 2 termes de distance du terme # dans l'échelle p, suivrait immédiatement # dans l’échelle dont lindice est p". Cest ainsi que l'échelle dont lindice est p peut être censée composée de deux échelles dont l'indice est p°, de trois dont l'indice est p°, etc.; el c’est aussi par cette raison qu’on a vu que l’échelle unique, dont l'indice est V/p, se compose de deux échelles dont l'indice est p.

S XI Application des deux théorèmes généraux au cas END 0:

82. Soient &, et «, les amplitudes qui, pour le module donné #, satisfont aux équations F(k, «,)—23F"#k, F(k4, à,)=5F'#; amplitudes qui se trouvent assez facilement par les formules du n° 24, tome I®. Soient sn@=x et sind = y, les formules du théorème I*, pour le cas de p=3, seront

F(4, ®) = LE (k, 4),

Le rare x sin?

"4 1 x? sin? #, ?

(Go) :

Pa : 5 sin? æ Gp = 9,

(hp = (as) ÈS sine

1— k°x° sin° &,°

On aura ensuite, entre les constantes k, h, u, «,, «,, diverses équations, dont les principales sont :

sin? # 1 2 :

=, -=- — 1, h=ksmta,, (61) Sin %: 122 Sin &:; ; R° 2 cos

— —=2SNE,—I, — —= ku - 2 Ku COS? #3

Celles-ci suffisent pour faire connaître les valeurs de k*, 4", 4°, A", etc., ex-

primées en fonctions de w, comme il suit :

A Lo 2 CS 2 Ge) Gei) 24e ME OR AU k3 — (ie) (Br La pre — GC (3u +1} PUR Die 10g° Die rec te 14 1 C7 ; FANS 4;

De ces équations on déduit encore 3u = 1 + 2 Ve et—-—°2 d’où il suit que l’équation entre les modules # et } peut se mettre sous

la forme 3= (142 vit fi)

et si l’on fait A= ut, h=vt, elle ne

(63) auv (1 — u°9°) = uf — vf,

83. Aw moyen des valeurs précédentes de #, sin &, et cos «,, les équations des amplitudes pourront être exprimées par la seule donnée ke,

comme 1l suit :

eu fu—(i+p) x TR ET (+7 Ge 1)»

ASE TT RS Ne fe (ri +) x x” nine ei +) Be — 1) x?