y) (3 G3) EG, DRE, 9) — AGIT G, J
Pour avoir la quantité algébrique V, il faut commencer par calculer a au moyen de l'équation tang+(]—o)— a tang ® , qui donne immédia-
tement
__ : "NO En pese du RE Ve SE =) tang® @ bp — (1 + pe) (Bu — 1) sin° 9 fe
On trouvera ensuite, après quelques réductions,
Ve QG + ) (Bu— 1) M La R A ASE 0 sin Fe)
Ge ,-G+e) Gr=iy, À be Si l’on fait = 27, ce qui donne L —?7, on aura la fonction complète (74) LA: pps Groe) Get le 24
91. En opérant par les formules du second théorème, on trouverait
semblablement
E(£, ©) = 3u'E(h, 4) — CHA GE D F(4, N)H V!
(75) 1 (tp) (3u'+r) sin Ÿ cos L1/(1— 2° sin? 4) A vrai : QG) G+ 3) :
24 A np CL
et dans le cas des fonctions complètes, (76) ER Sp — CHAT px ; ce qui s’accorde avec les formules du n° 180, tome I. Dans le dernier cas, on aurait pour la transformation inverse,
, : / 3 18 à (77) Et EX + CRE F Hi
Les résultats généraux que nous venons de trouver s'accordent avec ceux que nous avons donnés dans le chap. XXXI de notre Traité, d’après une formule générale qui est la même que celle du théorème IL. Nous y sommes parvenu plus facilement par la nouvelle méthode, parce qu’elle est l’application d’une théorie plus générale. Au reste, nous renvoyons à ce chapitre pour les autres développemens relatifs au calcul des différens termes de l'échelle et des régulateurs correspondans.
6 XII. Application des mêmes théorèmes au cas de p —5.
92. Soit &, l’amplitude qui satisfait à l’équation F(4, «,) PU ,
pour toutes les valeurs m—=1, 2, 3, 4; soient sin @—=x et sin À = y: les formules du théorème [° seront, pour le cas dep =5,
F4, @) = uF(k, À),
y x sin” # sin? #4 D Lis 0 MAN ILOULS 2 4 7 me 1—E&°x'sin"e, 1 — £?x° sin? «,
Le I ——
1 1 eme 2 3 : sin” #; sin? 43 (x — 7°) = ( — X) . — Ne
1— x sine; 1— a sin” 4, . L'i—Æbxsin a, 1— L°x° sin°as GS) ST Une 1— hx° sine 1— °x° sine, On a de plus, entre les constantes du problème, diverses équations, dont 1l suffira de rapporter les six qui suivent :
1 2 2 Hi __ sin #, sin” #3 m— sine, sin #3 Rare sin® «4 Sin? & ?
— = 28in 4,— 2 sing, À = 45 sinf a, sinfæs, 70) MES
= = 14 2sin° &, + 2 sin? ay — 28in° 4, — 25sin° 44,
— = + Le QUE — 24% (sin &, + sin° &;).
sin°æ; sin? #3
Voici l’analyse par laquelle toutes les quantités nécessaires pour la solution du problème peuvent être déterminées en fonctions de l’une d’entre elles.
93. Soit —— — ——c et -———— = D; on aura d’abord les trois sin «, sin «3 sin &, Sin æ3 équations = 1+ = 24, Où H=—= H Fit hi 24 b(1 — m° k = (LH 2a)=i— ERP EE ant - = mm, £ (1 + 2a) F > Où 24 Po en faisant à h kt - —= 2 2 — = ME, Où mb ke.
Ces trois équations entre les cinq quantités #, k, m, a, b, dont une seule k est connue, ne suffisent pas; mais on en aura une quatrième en éliminant sin* 4, et sin° &, de deux des équations (79). Cette quatrième équation est
1 M 2 sin? «& 2 sin? « < :
=i— 4 + A Rs 2 — 24% (sin? «, + sin? 3).
sin? &, Sin” #3
? sin? #, sin” «3
Substituant les valeurs (1424) N me (à 1— 7 Hire S— ab,
on aura AE aus CV ane m, et par conséquent bb 2bHoab—a 7 : ? Ve ques
2b— 2a— a? + Dm = + 2ab— a? —<) mie b+2ab
Cette dernière équation entre & et b se réduit finalement à la forme (80) &— 20(b— 1 — à);
d'où résulte (81) 20=14LaHA, AZ=y[(i+ 24) (1 + a)].
Aünsi l’on voit que dans la quintisection de la fonction complète F4 il y a une équation entre sin &, et sin &,, qui est indépendante du module k,
comme dans la trisection il y en a une entre sin @, et sin &,, savoir, l’équation cos &, —=1 — sin &,, qui est également indépendante de Æ.
En effet, parmi les formules de la quintisection (art. 23, tome [‘'), on trouve les deux suivantes :
Ê 1 cot « tang (45 +0 + A (æ,), l 1 I tang (2 a, + £ as) d’où résulte, entre «&, et &;, équation
tang &, tang (45° + 2) = tang à, lang (a, + &s),
cot &3 k°
tang æ, A(a,) — A (@,) ;
ou 2Sin &, Sin d3(1 — Sin &, sin as) = (sin a3 — sin @,) (sin &, + sin° &,); ce qui s'accorde avec l'équation (80).
94. Maintenant, xl est facile de voir qu’on aura léquation entre les
modules # et À si l’on en trouve une entre les quantités à et #. Pour cela , 1l suffit d'éliminer à des deux équations déjà trouvées ,....,.....
__2b —2a — & ___b(1— m°) ; : ve ÿ er GE ne REP et l’on obtient l’équation ; — hm$b=(1—m)(1+ Gm4m).
>. C4 °\ h É Il restera à substituer, dans cette dernière, les valeurs m— / 2: ns =
Mais, pour que le résultat prenne une forme rationnelle, nous ferons 4 v? u° Det k=uf et k=vt; ce qui donnera m=; et b—=—: nous aurons ainsi
l'équation cherchée
Qu? — 0%) (uf + Gu?o? + 04) = Auv (1 — utot),
ou | (82) U°— 9 + Sup (n° — v2) — Auv(r — utvf).
C'est sous cette forme que M. Jacobi a donné l'équation des modules dans
le Journal de Crerre , tome III, page 192.
On peut lui donner une autre forme, qui semble plus commode, en l’écrivant ainsi :
ut Guy pt 1 — uApt uv) Tu et ?
puis, déduisant de cette dernière,
Ce Cr):
ou, en remettant les valeurs de z et de »,
1 4 BH D er 1h
A0 D Au Et
Cette formule, pour le cas de p=5, a une analogie assez remarquable avec celles qui ont été trouvées n° 85, pour le cas de p = 3.
95. L’équation (82) étant du sixième degré, par rapport aux deux quantités w et », on voit qu’il faudra résoudre une équation de ce degré pour déduire AE mer le module À du module donné Æ, ou, réciproquement , Æ de A; mais j’observe qu’en continuant le calcul pour avoir les autres termes de l'échelle, soit dans l’ordre croissant, soit dans l’ordre décroissant, on n’aura jamais qu’une équation du cinquième degré à résoudre pour passer d’un terme au terme suivant. En effet, si de la va-
leur u—yk = f on a déduit la valeur v=yh=g, et qu'ensuite, 4 ; , 7 .
de la valeur u = yh = g on veuille déduire la valeur suivante, ...
= h, = 8, , l'équation en » sera satisfaite en posant 9 = — fa de sorte qu’en la divisant par » + f, elle sera réduite au cinquième degré. Cette propriété résulte de ce que, dans l'équation générale 5 — 06 up? (ut — 9°) — Auv(r —utot) —o, on peut changer à la fois 4 en » et » en — 4. La même réduction aura lieu lorsqu'on voudra prolonger léchelle dans le sens des modules croissans £, Æ,, À, , etc.
96. Les formules précédentes donnent le moyen d’exprimer en fonctions de a toutes les quantités constantes qui entrent dans les équations (78).
A » I » . F Nous avons déjà trouve TT SEE la valeur de 42 se déduira de l’é-
quation = mb*, qui donne (83) -2k —i=(i+a—a) /(EE de sorte que si l’on fait k= sin y, on aura
cos 27 = (a° —a—1) VE é
ou plus simplement encore 5 6 8 Sins op = (84) Pr pracie
Soit a’ une seconde auxiliaire tellement liée avec 4, qu'on ail
Die TOR
(æ+2a)(+28)=5, où a — Fee
Supposant # connu par le moyen de 4, on aurait le module suivant X par la
on aura Sin 2y =
formule 4= Fe et parce que = ne , On aura a+ 2a+2—2A 1—+ a = FL ( 1 + 2a a =%[: —1/( + =) ) |:
De là résulte À I— 114 — 4° 1 + = (85) 2h — 1 = ETLTEMES CA VE + 7) de sorte que si l’on fait À=cosd", on aura cos 2d'— Dane (+ < se =) et enfin +1}: be en 1 À se £ (86) sin 2d= a (? ER ) aa'°
Telles sont les formules très simples par lesquelles les deux modules # et h peuvent se déduire de la seule donnée 4.
97- Pour former semblablement l'équation des amplitudes , il faudra deéduire des formules précédentes les valeurs des coefliciens, exprimées en fonctions de a et de b; ces valeurs sont :
+ —= (20 + 2ab — à°),
sin? æ, sin” «,
— ub?,
sin’ CA sin° #4 k°(sin° &, + sin° &,) = 20 — 2a— 4, kf sin* @&, sin° &, —= b (b — 2a).
Ainsi l’équation des amplitudes sera
1+# 2a + (a° — 2ab— 20) x° + b’xt
(87) Anti 1+ (a+: 24 — 20) x° + (b—2ab) xt C'est sous cette forme que M. Jacobi a présenté l’équation des amplitudes dans le n° 123 du Journal de M. Schumacher, d’Altona ; sur quoi il faut observer que les lettres &æ et 6 de M. Jacobi désignent la même chose que les lettres à et — à de la formule précédente. Il est probable que M. Jacobi, dans le commencement de ses recherches, était parvenu à cette formule par la méthode des coefliciens indéterminés , en faisant... x (+ ga + xt)
rer A déterminant les coefliciens de manière que cette
AE TE Ur
dx De dy Mais l’expression que donne la formule générale du même auteur, où il n'entre que les données # et &,, est beaucoup plus élégante, et nous n'avons cité l'équation (87) que parce qu’elle a une analogie très remarquable avec celle que nous déduirons ci-après du théorème IL.
98. Revenons aux équations sin° 2y = aÿa/, sin° 2d = aa, qui supposent £= ny, À = sin d'et (1+ 24) (1 + 24!) = 5 ; elles offrent un moyen très simple de suppléer à l'équation des modules, ou même de la reproduire sous une autre forme : car, si l’on fait sin2y = 24 = x, Sin ad) — 2hh1— "y; le équauons Tr "44", y Var donneront
valeur satisfît à l’équation différentielle
6) a PL a= 2, et l'équation des modules sera
CRC ONE ONE
équation d’une forme très différente de celles que nous avons trouvées n° 05, et dont la solution ne devient plus facile qu’au moyen de lauxiliaire à. |
Il est essentiel de remarquer qu’aussitôt que a est déterminé par la résolution de l’équation du sixième degré, que nous avons rapportée, toutes les quantités , k, sin &,, sin &,, etc., deviennent connues, de sorte qu'il ne reste rien à désirer pour lapplication des formules du théorème I‘, par lesquelles la fonction donnée F (4, @) est transformée en une autre d’un module plus petit 2.
La méthode générale conduit aux mêmes résultats par le calcul préalable des quantités «,,«,, 43, &,, qui servent à déterminer tous les coefliciens ; mais le degré de l’équation à résoudre pour déterminer &,, qui est
: 25 — 1 ( à ; fixé à rer ANT Ie) dans le cas de p=—5, paraît susceptible de réduc-
üon : il faut, en effet, qu’on puisse éviter la résolution de celte équation du douzième degré, puisque toute la difficulté est réduite à l’équation en a, qui n’est que du sixième degré.
99- Il reste maintenant à faire von comment l’opération doit être continuée, par ces nouvelles formules, pour prolonger à volonté l’échelle décroissante Æ, k, k,, k,, etc., et obtenir les transformations correspondantes de la fonction F(k, ®).
Pour cela, appelons æ et x! les quantités qui, pour le module 4, sont analogues aux quantités a et a! pour le module Æ, puisque.....
hk = sin d', si nous faisons sin° 2d — (24#)ÿ = C, nous aurons à ré-
soudre l'équation x (2— x)
Or, si l’on observe que dans la solution précédente on avait C = aa°=—
EG
a’ (= ) , on en conclura que cette équation serait satisfaite en faisant a
æ— 4; de sorte qu’en la dégageant du facteur x — 4", elle se réduira à l'équation du Ho degré
(89) — (2 — a) (xt + aa ax + ax + à FE ur a),
Cette équation n’a qu’une racine positive entre 2 et 2 — a”; ainsi, il ne faudra que quelques essais pour trouver la valeur de x, au moyen de laquelle on aura sin*2d\, = xx" et k,— sin d,. Les mêmes opérations devront être répétées pour trouver les autres termes de l’échelle, et chacune d’elles n’exigera que la résolution d’une équation du cinquième degré, semblable à l’équation (89). On est ainsi dispensé de calculer, pour les modules successifs 2, },, k,, etc., les quantités analogues à &,, «,, etc., lesquelles semblent dépendre d'équations d’un degré au-dessus du cinquième.
Par de semblables procédés, on pourra prolonger à volonté l'échelle des modules dans l’ordre croissant, et il n’y aura jamais qu’une équation du cinquième degré à résoudre pour passer d’un terme au terme suivant.
