Soit — b!, on aura, entre

(92) = 20 (bmx — à);

d’où résulte

od'=1+ a+ A, (93) 4 1 Ami l A'= TG + 20) (+ 4°) ].

ll serait inutile d'employer les auxiliaires à la recherche de l'équation entre les modules Æ et 2, parce qu’on trouverait le même résultat qu'ont fourni les formules du théorème I°'; mais il est nécessaire de calculer en fonctions de a’ et b' les coefliciens de l’équation des amplitudes.

I na I On a d’abord irait 24” ; d’un autre côté, on a NES 1 24 et 5uw—1;

donc (1 24) (1H 24) = 5. Ainsi l’auxiliaire 4° est la même que nous avons employée dans Part. 06.

Au moyen des valeurs de a! et L', on trouve immédiatement

sin* ns ES C3 cot® 6, + cot* 6; —= a+ ob, cot® 6, cot6s— 1 — 20 HD — y.

I faut ensuite avoir les valeurs semblablement exprimées de cot* 6,<+ cot*6, et de cot* 6, cot°6,.

sin° 6, sin? 63 I ——— donnera ee LD sin° 6, sin° 64 sin‘ 6, sin° 64 FC

Et d’abord l’équation w'=

: ; L k' 2H ensuite, l'équation Fe = 1 + 2 sin 6, — 2 sin 6, = 1 — 7 élant com-

: : k 2 k + , 27 “situ : . . x binée avec l’équation CD 1 25m 6,2 2sin°6;—2sin6,— 2sin°6,, on en tire successivement ; d 20H ox b— à?

sint6,+sin 6, = 15 ,

— ! ( 07 /DUEN/'a RieL + — H' (28° aa’ 4%) ; cot® 6, + be (ab! + 24 D! — d — 2 — fa’), cot? 6, cot* 6, p'(1 — 20" + Da gl D og — ab").

104. Au moyen de ces valeurs, l’équation entre z et y sera ainsi exprimée :

14 20 + (20 + 20 b— a 2 — ha) + (1 —2b +84 a+od — 24b b)yt r° 1+ (a+ 20 — 2) y + (1 — 20 + ba à?) y

On voit qu’elle n’est pas de la même forme que l'équation (87) donnée par le théorème 1%; mais il suflit d’un léger changement pour rendre ces équations entièrement semblables. Appelons 2" la seconde racine de

l'équation a = 20" (D! — 1 — a), en regardant b' comme l'inconnue. Cette seconde racine P/, qui est toujours négative, sera donnée par la formule 20 = 1 + a — À; de sorte qu’on aura b'+ b=1+ a". Il ne s’agit plus que de substituer dans l'équation précédente la valeur &'= 1 + a — 0", et l’on aura 1 + 24° a2— 24 b" — 2b") y? + D" y4

OÙ sr Er équation entièrement semblable à l'équation (87). On voit, en effet, que les coefliciens de la nouvelle équation sont exprimés en 4’ et L”, comme ceux de l'équation (87) le sont en a et D; et si l’on voulait exprimer ces coefficiens par la seule donnée & pour le théorème 1”, ou par la seule donnée # pour le théorème IE, il faudrait, dans le premier cas, faire

Re 9 em met AU eut A mA

et dans le second, k

ie) iv + 20) (+ 1]:

d’où l’on voit que les deux expressions sont des fonctions semblables de a et de 4/, avec la seule différence que le radical change de signe d’une expression à l’autre.

105. Voici, au reste, comment on peut expliquer ce singulier résultat. Quand on passe de l'équation F (4%, ®) = mF(h, À) à l’équation...... F(A, 4) = wF(X, ©), ce qui se fait en substituant aux quantités x, ÿ, a les quantités T3 3; a!, respectivement, il faut que les valeurs de #* et #*, dans la première nie soient remplacées par les valeurs de z* et es. respectivement, dans la seconde. Or, dans la première, on a

1 E Li 1 1 — — À D CES NN ee CRAN S9nT:

M étant mis pour VE. Substituant dans celles- c1 a’ à la place 1 + 2a

+ a 1—+a* ,, ï 1+2a 1+2a? A? de . I Ad —ra— a? fa = ——— << — = — - — à vient = —> CRT, M, et * devient = = (1 + a’ )M. Donc, en effet, 4° se changera en * et k° en °, PAR que M, qui est la même

de a, et observant que M reste le même, parce que

AE de change en —M/, qui est la même chose que sus 1 + 24 , 1-24

done, avec la condition que A se change en — A, la substitution qui rend I11T.e

chose que

; ; ' dx dy identique 1 équation Vie) Vie U. Va— y). VO y) y) ? ren dy dz

dra identique aussi l’équation Va) vT= ST a Vu). Var)? par le changement de x, J,aen#,z; a’, respectivement.

Cette propriété est particulière au nombre à pris pour p, comme une propriété analogue (n° 87) est particulière au nombre 3. D’autres nombres premiers pourront présenter des propriétés semblables ou modifiées, selon le nombre des lettres nécessaires pour exprimer rationnellement tous les coefliciens de l'équation des amplitudes.

106. Une autre propriété non moins remarquable pour le cas de p=5 est celle qui permet de déduire aisément les auxiliaires 6,, des auxiliaires æ,,, et réciproquement ; c’est-à-dire que si À et À sont deux termes consécutifs dans l’échelle dont l’indice est 5, la division de la fonction complète F'# en cinq parties égales étant connue par les quantités &,, &,, etc., on connaîtra immédiatement les quantités 6,, 6, , etc., provenant d’une division semblable de la fonction complète F'Z/, et réciproquement.

En effet, nous avons vu, dans le cas de p—5, que & étant connu, on a immédiatement les valeurs de sin &,, sin &,, sin &, et sin &, ; si l’on donnait ces dernières quantités, ou seulement sin @&, et sin «&,, on en déduirait la va-

2 mare A ?

a OU étant connu, on en tire aussitôt les valeurs de sin 6, , sin 6;, sin 6,, sin 6.. Ainsi, il y a une liaison intime entre la quintisection de la fonction complète F'Æ et celle de la fonction complète F'#’; une semblable liaison n’existe pas entre les divisions relatives aux modules # et À.

sin &, sin «43

leur de a, savoir, a = , ensuite celle de a! —

107. Pour diviser généralement toute fonction donnée F(#, w) en cinq parties égales, c’est-a-dire pour déterminer @ d’après l’équation F(X, ) — 5F (4, ®), il faudra faire usage des formules suivantes , données par nos deux théorèmes,

sin* @ sin? @ . in° sin? æ F(X = UF (A D, 22" Re ( » ?) se, ( à Ÿ), F # we 1—Æ#*sin?@ sin’, 1 — 4? sin sin* «; ?

FA, dL) 1 F(k , ©) no = sinŸ 1 + sin? Ÿ cot° C4 1 + sin? Ÿ cot? aù == x 7 7 cot* 6,

1 + sin? À cot* 6, 1 + sin? 4 cot° 63° Au moyen du module donné k, on déterminera a par la résolution de l’é-

quation du 6° degré, 4k(1 — k) — aï,

connaîtra 4’, D’, b', m, ml et toutes les quantités ue en æ et 6 dans

a élant connu , on

Me 0 net ÉR

DS ee

les deux équations des amplitudes : on pourra aussi, au lieu de ces équations, prendre celles qui sont exprimées, l’une par les données a et b, Vautre par les données a/ et 8”. On aura ensuite à résoudre une équation du 5° degré pour déduire sin 4 de sin w, puis une du même degré pour déduire sin @ de sin 4. D'ailleurs, connaissant la loi d’accroissement des variables A et w , ainsi que celles des variables @ et +, il n’y aura jamais d’ambiguité dans la détermination de l’angle @ par son sinus, puisqu’on sait d'avance dans quel quadrant doit se trouver l’angle @. Aïnsi le problème de la quintisection, qui dépend en général d’une équation du 25° degré, se réduira toujours à la résolution d’une équation du 6° degré et de deux du 5°. |

108. Venons enfin à la transformation de la fonction de seconde es-

pèce E(Æ, ®). Si l’on veut appliquer la formule générale du n° 75, qui

se rapporte au théorème IF, 1l faudra avoir la valeur de DE ; or, l'équation

TD NO 4k (ik) = a! ( F =) , donne, par sa différentielle logarithmique ,

G—4E)dé 7 5 10 2(1— 114 — à*)

CA Are VAE tee tre 1420 a'(2—a)(1 Had) )

9 PE I— 110 — 04 . , à on a d’ailleurs 1 — 24 = RU LS M, en faisant, pour abréger,... NE donc

MA ARS ON ER 20 mer kKkK2° da a'(2—a) ac On trouverait semblablement EL dh AVE ‘dé aa Gi +2 (1 + 2a°)° ?

de là résulte kk” dh Lis CARRE — by?

HRSSTPUE (T2 A Ra ce qui s'accorde avec l'équation générale po®= gr, trouvée n° 73. Maintenant, si dans la formule générale

EG, @)=pul(, + (pute EE (Ed) HV,

on fait les substitutions p—=5, Z=i24/, . += ke TE —=—2a4 M, ji EN ma M. pi SR

d’où résulte

86 : FONCTIONS ELLIPTIQUES, HEAR 2 PAT Us QE E + M. De on aura enfin la formule cherchée

E(k, 0) =5pE (A, 4) (2 — # — 2M)F(, 4) + V°

dans laquelle il ne reste plus qu’à déterminer la quantité algébrique V. 109. Pour cela, nous avons la formule Ve £° sin © cos « La Ca sin -L cos .i EPA de V(i—Æ sin? ») BR VG—Æsin4) y(i—Æ sin») ‘ dk?

| j do dans laquelle il faut substituer la valeur de Te Cette valeur se calculera fa-

cilement au moyen de la formule

En L 1 mn 24, ze 213 , où l’on suppose tang = - e, tan8 tang = g, tang Ÿ.

, L Soit. pour un moment: f—"> et 2", on aura > P 4 s. simé, ] sin C3 ?

f—g=d et fg—=b'=}(1+a + A); d'où résulte I d I

dé Var) Var e) PT 2?

dg I ÿ I Layer) eV Cao eue

Te la valeur Es &@ par rapport à a’, et faisant, pour abréger,

enr + — rie GE on aura GORE PL (A1) sin + cos Ÿ (Ar),

dé — 1+ocot° €, sin er 1+- cot*63 sin° Ÿ

da aa M

et parce que A Te » On aura

&k"? de aa MsinŸ cos} 1 + A” LL Se, 1 — A VG—Æ sin à) * dE VG— Æ sine) * \i+cot6, ‘sin 1 + cot*Cssin* | dj?

ce qui donne, en termes purement alsébriques,

Ve £* sin» cos pr PUR sin Y cos à TT y(i—Æ sin») &æ V(i— sin? ÿ) aa’ M sin + cos L 1+ A” 1— A" r VC — k* sin*o) \1+ cot*6, Esin Ko 1 - cot* 63 sin’ ua)

quantité qui se réduirait sans doute à une forme plus simple si l’on y substituait les valeurs de sin æ cos ® et y/(1 — A? sin° ©), exprimées en fonctions de sin .

RÉ

110. Si l’on fait à la fois d = ireto—= ++, la quantité V’disparaitra, et l’on aura pour la transformation de la fonction complète cette formule