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AK, Lo) Er cos A(k', ©) sin A4", K'—4) Toe III. 12

90 FONCTIONS ELLIPTIQUES , Si l’on fait L—17, on aura o—F'#'=K, et £—iK; donc sin À (4, iK') = itangir =.

112. Ce résultat, dû à l’amplitude imaginaire iK/, paraît fort. remar-

quable, mais il n’est qu'un cas particulier de la formule générale

k sing ?

que nous allons démontrer.

Si l’on a les deux fonctions £ = F(#, @), 0—F(k4, «), il résulte des formules connues (art. 18, tom. [*) que le sinus de l’amplitude d’une fonction égale à £ + 8, se détermine ainsi

. ___ sing cosaAa + sin « cosgAg sin À Œ 7 0) ere 1 — À? sin? & sin°® ù Faisant dans cette formule 8—:K”, ce qui donne .. .. °...+ SiNnb —+ cosa—f/(1—sin) —=sine.y/—1, Aa—=y/(1—#k%sin a) —=ksine, y/—7, cosæ Aa ——k sin &, on aura

AAA (EE SR) PAR æ+sinæcosgAP® __ 1:

— À? sin? « sin° @ T7 ksing?

ou sin À (£ + iK/) — LA:

Cette formule est l’expression d'un théorème fondamental d’où se déduisent un grand nombre de propriétés des fonctions elliptiques. On en tire d’abord cos 4(£ + iK') — LE , AA(E) étant mis pour VTi—Æsin®4(£)]; on a ensuite AA(E + 1iK") = icotA(£), cot A(£ +iK') = 1AA(E). 113. Si, dans l’équation (1), l’on met £+:K' à la place de £, on aura

sin A(E + a) = En © Sin 4 (Ë).

Mettant dans celle-ci £ + 2:K”° à la place de £:, où aura de nouveau sin À (£ + 4iK7) = sin À (£ + 2iK/) = sin 4(Ë);

donc, en général, m° étant un nombre entier quelconque, positif ou négatif, on aura

(a) sin A(£ + 9m'ikK') — sin (6).

On ne change donc point le sinus de l'amplitude d’une fonction £ ou

È "in tin:

F(£, ®), quand on ajoute à cette fonction, ou quand on en retranche la

quantité imaginaire 2#'1K', qui est le produit de i ou ÿ/—1 par un multiple pair quelconque de la fonction complète K’ ou F'(4).

114. D'un autre côté, quelle que soit amplitude @ de la fonction

*£E = F(4, @), la fonction £ + 2K ou F(k, @g)HE(4, 7) pourra être re-

présentée par la fonction F(X, +7), dont l’amplitude est @+r, et puisque sin (®+ x) ——sin@, il sensuit qu’on a en général

sin A(£ + 2K)=— sin 4(£);

donc, en mettant £ + 2K à la place de £, on aura aussi

sin À(£ + 4K) = sin A(E).

De là résultent évidemment les deux formules générales

(G) sin 4 [E + (4m + 2) K] — — sin A(£), snA(E +4mK)=snAi(£), m étant un nombre entier quelconque , positif où négatif. Mettons maintenant dans ces deux formules £ + 2m/1K' à la place

de £, et nous aurons, en vertu de l’équation (2), ces deux nouvelles formules

(4 sin À[Ë + (4m + 2)K + om iK°] = — sin À(Ë), ) pes A(E + 4mK + omikK’) = sin Z(£), qui ont lieu quels que soient les nombres entiers m et m', positifs ou négatifs, et qui contiennent ainsi une propriété très générale des fonctions elliptiques de la première espèce.

115. Il est facile de voir quel sera l'usage de ces formules, pour diviser une fonction donnée £ ou F(X, ®) en 7 parties égales. Soit, pour cet

effet, x — sin 4 (£); puisqu’au lieu de £ on peut mettre £+4-{mK-+2mikK,

sans que la quantité donnée sim Æ(£) éprouve aucun changement, il s’ensuit que l'équation qui détermine la racine æ déterminera également toutes les racines comprises dans l’expression

générale

; mK + 9m iK' Gt 6e À (ER AR EEE :

[12 et iqu” isse d ù à m telles valeurs qu’on voudr quoiqu on puisse donner à 72 et à 7 telles vaieurs quon voudra, en nombres entiers positifs ou négatifs, il n’en -résultera cependant qu’un nombre déterminé de racines différentes entre elles. En effet, quels que soient 72 et m', on peut ioujours supposer man + pp, man +, a et &’ étant des entiers pris de manière que g et m’ soient moindres que z,

ce qui donnera la valeur 4 l'or æ = sin 4 (2 + jek + sa! RER), laquelle , en vertu des équations (4), se réduit à Det 41e Br #7) (b) ME sin À (2 + TES:

De là on voit qu'il suffit de donner à m, ainsi qu'à 7”, les valeurs 0, 1, 2, 3...2—1, et la combinaison des z valeurs de l’une avec les n valeurs de l’autre donnera #* valeurs différentes comprises dans l’expression (5).

Donc, si l’on a F(4, €) => #F(#, ®), l'équation qui a pour racine sinê

sera du degré n°, ce qui s'accorde avec ce que nous avons trouvé ci-dessus, pour le cas où z est un nombre impair. On voit, de plus, que l’équation dont il s’agit aura toujours 7 racines réelles, et 7°— 7 imaginaires.

116. Si » est un nombre impair, la valeur de sing s’exprimera ration-

è : : P nellement par sin ou x, de manière qu’on aura snp=X.S; P et Q étant des fonctions paires de x du degré 7° — 1. Si n est pair, on pourra supposer 2=—=24p, p étant un nombre impair ou

l’unité. Alors la division dela fonction F(k4, @) en 7 parties égales exigera deux opérations : l’une pour trouver l'amplitude 8 telle que F(4, ÿ)=— F(£, ®), ce qui se fera par les formules de la bissection, répétées autant de fois que a contient d’unités; l’autre pour satisfaire à l’équation F(4, ©) =; F(k, 6),

c’est-à-dire pour diviser la fonction F(k, 8) en un nombre impair p de parties égales, ce qui se fera par la résolution d’une équation algébrique du degré p°, ou plutôt par l’application des théorèmes I et II du premier Supplément, qui réduit la résolution de cette équation à celle de deux équations du degré p.

Et lorsque p sera un nombre composé, la résolution algébrique dont nous parlons se simplifiera encore en l’appliquant successivement aux différens facteurs du nombre p. Mais, dans tous les cas, il faut, de plus, supposer connues les fonclions trigonométriques qui se rapportent à la division des fonctions complètes K et K' en un nombre impair de parties égales. Beaucoup de recherches ont été faites sur ce point trés difficile de la théorie ; nous en donnerons le résultat avec tous les développemens nécessaires , dans une autre occasion.

$ IT. Développement des fonctions trigonométriques de l’amplitude en séries composées d’une infinité de facteurs.

117. Dans le Traité précédent, et surtout dans la partie qui concerne les approximations, nous nous sommes attaché à déterminer les fonctions par leurs amplitudes ; nous allons maintenant nous occuper du problème inverse, qui consiste à déterminer les amplitudes par les fonctions.

D’après les formules générales du théorème IT (art. 39, I Suppl.), l'équation des fonctions F(2, 4) = L'F(#, @) est satisfaite par l'équation des amplitudes

y 1+y"cot 6, 1+ycot*6, 1 + y? cot? 6e

TN dr Nr e .

FAT + y° cot° ART + y cot* 63° 1 ARS ELU T C5 ”

etc.,

où l’on suppose y = sind, z= sin, et l'(4', 6.) — SFh=E 15

Cette valeur de z, qui se rapporte à un nombre impair donné p et à un module donné #, ne contient en général qu’un nombre déterminé de facteurs; mais lorsque p est infini, ce qui est le cas que nous voulons examiner, la série de ces facteurs s’étend à linfini, tant dans le numérateur que dans le dénominateur. Alors, quelle que soit la valeur du module donné #, le module transformé X sera infiniment petit, comme le fait

voir l’équation h = 4? sinfa, sinfas sinfa, etc.

On pourra donc supposer la fonction complète H=:#, et son complé-

deviendra infini. Mais, par les formules de

Æ H,, HE HR VANTeR 75 DARNEE TT R UN 2E ?

/ RE 4 ment H”, exprimé par log>,

: : H æ 2 ’ ! A fn en Dry EL, Sr l'article cité, on aw=pr=r@tp=pr U m #K et — Hi, =, P ai Tant que m» est un nombre fin, on peut supposer # —=7:1, et + sin 6 K' Le (LI Lil, 1+sinés m 7 . “HR F(k’, En) = à log Er = > Soit donc 9 =e , On aura L q"

LEA COL CR ES GR 1— 29" cos 244 + g°" 1 + y* cot’ m1 = (

1+sinCm __

— 7", sn6, —= 1— sin 6 LANTE ÿ:

2 2 "Re 6: = Me 5 cot? En

1— g" ; I — 2971 cos 24 + Fi el

Au moyen de cette dernière formule, la valeur de z ou sing pourra ST ainsi :

(1—2gcos2Ÿ + gt 1—2gtcos24+9$ 1—296c0s21 +9 1 — 2g cos 2 +g%" 1—2g"cos24+9$" 1—2gŸcos2 | 4-9 1—qg 1—Q "agi gii—g

sin® = — À Atsin. etc:

, - ELC.

Et puisque la supposition p—, qui rend le module X infiniment peüt, donne F(4, d)=4 =uF(k, ®) = LT, @), on voit que la formule précédente détermine l'amplitude @ par la fonction F(#4, @); car

F(k, connaissant F(X, ®), on connaît l’angle Ne Fes

Si @ est infiniment petit, on aura Je = P, etsi®—=3:7, on aura

. . A aussi d — 217. Dans le premier cas, on trouve par la formule la même valeur de A en fonction de g, que nous avons rapportée; dans le second cas, on aura cette seconde valeur

(EN +9 149 1+9 A=(%) $ 1+g1+gt" L. a 118. Appliquons maintenant de semblables réductions aux deux formules (45) et (46) de Particle cité.

2 . -. LA (1— y)", sin6,,, sin6,,, etc., permet d'écrire ces deux formules de la manière suivante :

1—3"cos 6, 1— y cos’ 64 1—y* cos’ 66 CO£ ® == cos ———— — g cos} . 1+ y cot €, ‘a+ y'cott 6° 1 + y: cot' C5 1— cos 6, 1— y? cos C3 1— y? cos? 6s A(X, pi—= — . = J° - re LE + y° cot® € 1 + y* cot* 63 * 1 + y* cot* 6s

e etc. 2

. elc.

Mettant sin L ou tp 24) à la place de 7°, et substituant les valeurs connues de cos 6, et coté, on aura

cos ® — B* cos . ani LE a : ee me . FAO

En cos2 + 1—2q°cos 24 +95" 1—2q°cos2Ÿ+q'°

DB — TM Un I Ve dé

1+g 1+ gt 1496

A(E Te AU 1+2q*cos 24 + 95 1 + 29° cos 24 + g'° OPA D ES pm on LR 0 On ee PEU TO

1 — 2 COS 24 + g*" 1—2q° cos 24 + 6" 1 — 2q5cos2d +