DR T
etc.
ELEC:
10 ? etc. 5]
DEUXIÈME SUPPLÉMENT. 95 Outre ces deux valeurs de B et de D , que donne la supposition de 9=—0 et 4 —=0o, on en trouve deux autres par la AP RPOANRE de p—2+i7 et
cos ® __ de sin @ sin ® HU dpAée y Lo 2K& cosL — d\ sin 4 mn” Arr vG—Æsn)=
À =27, qui donne
Ces valeurs sont :
D HER ec | 1—q 1—Q 1—9Q La . 4 Comparant les deux valeurs de D, on en déduit D= y, et par conséquent , s5 1 — 1—qS 1— 6 k' — 7 e a T . lier # etc.
( ) | V I Eu géyt + I 1+9 110. On voit que ces formules contiennent diverses fonctions de g, exprimées par une infinité de facteurs binomes, dont il importe de déterminer les valeurs; ces fonctions, au nombre de quatre, sont
d—œi1—g .1—q.1—qgetc., 6 — 14 .1+q°.1 + gÿ.etc., d—1—qgi—qgti—qgetc., = 1+#q9 1 gt Hg$.etc.
On trouve d’abord qu’elles satisfont à l’équation &'— ax/66', ou 1 = «66, car on a immédiatement
au —1—q.1—q1—q1—gtetc.,
CE = 14 q 1 gr Hg er + gfete.;
done, au CC — 1 — gr —qgfer — gr — qgetc. = &/, ou 1—&66'. De cette équation on déduirait = 66', ou I a Eee) me CET) CE 7 gAistee ce qui est conforme au théorème connu dans la partition des nombres.
( Voyez Zntrod, in Anal., page 272.)
Maintenant, les équations que nous avons trouvées pour déterminer les coefliciens A, B, D, peuvent s’écrire ainsi :
a r\6 mur 2K it tel 2Kk'\: 6 a 2 Ho el 77 prix.
Les deux premières donnant le même résultat que la troisième, savoir,
œ A ’ , , ! , £ = V#, nous n'avons réellement, pour déterminer nos quatre quan-
tités, que les trois équations
=), L— a ŒY, aff =1,
et il reste à trouver une quatrième équation.
. — . V—V— 120. Pour cela, soit 7" ou e*—V, on aura sin4 = — , V2 + V— à cos 2% — ————, Cette dernière valeur permettra de partager chaque
facteur trinome de l'expression de sin ®, en deux facteurs binomes; on obtiendra ainsi :
1—q V3 1 —qgtVe 1 — giV? ... etc.
V—V—! { — PV giV 1 —giV?... etc.
ai fig Ve 1 —qéVr 1 — PV? :.. etc.
{ —qN—.1—QNV.1—q V2... etc.
À K sin ® — — A: ;
Mais on a = F(k£, @), ou FE, ®); donc @ est l’amplitude de la fonction ee » Ce que nous exprimons ainsi: ® —4 (2 ) et sin® —= sin / (=).
Mettons ai 1K” à la place de AV; alors sing se changera en
sin 4 + iK') ou u — 2 Ad devient À + Le. et D 7rK'
è me) L l ; .e* ou V devient e 2 ou V5; d’où l’on voit qu’on peut mettre dans
r Pr I . :
la formule précédente Han e eu lieu de sin®, pourvu qu’on mette en
même temps Vg* à la place de V. Par cette double substitution, la formule devient , fi—qiVs 1 q V2 «1 —g NV? ... etc.
1 —?2K y: Va — Ming'a (e —q NV.1—q V1 —q V2... etc. ksin® 7 ‘ 2i pi QU ci — qe 1 — qi Ve ... etc. | Vi V2.1—qV.1—qgt V2... etc.
Multiphiant ces deux formules membre à membré, et réduisant, on trouvera I T NOÉ a\° à,-2 == (À NA -—7, d'où résulte A=(7 g'k *.
nd ie ti
DEUXIÈME SUPPLÉMENT. 07 121. Connaissant /Z, on aura d’abord les quatre quantités æ, x’, 6, 6’, au moyen des LAS
a —2qk#", Es — oq\(4K) |
G) | 7 lee Opion, ein J
L SE rh 3 4 21422 Ensuite on aura B — de (Tr) et D—(#")*. Ainsi tous nos coefticiens sont déterminés, et de plus, la valeur des produits &, æ&', 6, 6, est
connue en fonctions des quantités 4, k', K, qui peuvent être déduites zK’
de la quantité donnée 9 —e $.
122, Cela posé, les fonctions trigonométriques de amplitude 9 = 4 (# F
seront ainsi exprimées :
Er
2K4\ 2q* . 1—2q° cos 24) + qgf 1—2q{cos2Ÿ +48 1—2q$cos2Ÿ + q'° sin (> mdrr dre nn NICE Da) ete. ; £ 1— 24 COS 29 +q® 1—2qcos24+4q$ 1—2q°cos2Ÿ + q'°
£ a 1H2q°cos2d+qgf 1+-2g{cos2d +8 1+2q6cos2d +9"? 8 NS (OËE NE es Son ( ) cos À ( 24 es rene cos2Ÿ + q* Tr TR SALE 1—2q 1—2qgécos2ÿ + ge" 10 Rp 2 40 1+-2q cos2Ÿ + qg® 1 + 29° cos 2Ÿ + as 1+-2qcos24 + q'° | ( sm ) ‘1 — 2q cos2ÿ + q° 1 — 29 cos 29 + Q$ 1—2q$cos2ÿ ge © ©
La quantité g, qui entre dans ces formules, est exprimée par l’expo- 7K' ,
nentielle e K, de sorte que son logarithme hyperbolique est +, et
qu'il se détermine ainsi par le rapport des deux fonctions complètes K ct K', qui répondent aux modules # et #’. Pour rendre plus facile le calcul des formules très nombreuses dans lesquelles entre la quantité 9, il serait bon de dresser une table des valeurs de cette fonction ou de son logarithme, pour tous les dixièmes de degré de l’angle du module, ou le
() On sait que le produit (1—g)(1—g")(1—g°)(1 —gf)etc., continué à Pinfini, donne, par son développement, la suite 1 — g — q° + q° + q7 — Lex bne etc. 3m En
dans laquelle les exposans de g sont de la forme TT Cette suite, qui est ex-
primée par ax, a donc pour somme E Y'eur ke *g **, quantité qu'on peut cal-
culer d’une manière fort approchée par les tables elliptiques, mais qui n’en est pas moins une transcendante fort composée.
