Tome II
ment de degré en degré, ce qui se ferait très facilement, au moyen de la table des fonctions complètes, que nous avons donnée sous le n° I, dans le tome Il. |
La fonction qg se rapportant au module #, si l’on appelle r la fonction semblable qui se rapporte au module complémentaire #', on aura
sk rK L log g = np UR lon — “7 Par conséquent
(9) log g X logr = 7.
Ce produit serait m°7*, m étant pris pour 0,43429..., si les deux logarithmes devenaient des logarithmes vulgaires.
Ainsi, l’on voit que logg et log r se déduisent facilement l’un de l’autre, et puisque 7 est le logarithme hyperbolique de 23,14 à peu près, il y aura toujours un des deux nombres g et r qui sera plus petit que +
123. Si l’on considère deux termes consécutifs Æ et À de l'échelle des modules dont l’in@ice est 7, la quantité g qui se rapporte au module Æ de- TALES g" pour le module suivant 2; et, par la même raison, elle serait
g” pour le module X, qui précède &.
En effet, puisqu'on a, par la propriété générale de l'échelle des mo-
pr la quantité g., qui se rapporte au module X, aura ses ] ta d ee RES l é pour valeur e ; on a donc g,—=g"; par la même raison, la quan ETES tILEQE, qu se rapporte au module #,, ayant HO valeur e K:, on aura
Connaissant donc, en fonction du module Æ et des quantités dépendantes de #, telles que #’, K, K’, la somme d’une série quelconque, dont les termes procèdent suivant les puissances de 9, comme sont les produits d’une infinité de facteurs, désignés ci-dessus par &, «!, 6, 6, on connaîtra, par une fonction semblable du module 2, la somme de la même série, dans laquelle on mettrait g” au lieu de g; et par une fonction semblable du module 4,, la somme de la même série, dans laquelle on
K dules, 5 —=2
mettrait g" au lieu de g.
On peut multiplier ainsi, d’une manière indéfinie, les formules telles que celles qui expriment les sommes des suites æ, «, 6, 6’, et une infinité d’autres.
Lorsqu'on fait l’application de l’ancienne échelle, dont l’indice est 2,
il faut, en mettant g* au lieu de 4, remplacer en même temps k, #!, K , K’, par k, k', H, H'; ensuite on pourra mettre pour ces Ne
quantités leur valeur en fonctions des premières, savoir, pie
Par CE ar k’ el h mÉru H—=——K, H'=(14#)K'. Par ce moyen, la seconde formule sera exprimée en fonction de #, et l’on pourra de nouveau subsüituer g* au lieu de g, ce qui donnera une troisième formule relative au module X,, qui suit À. On verra ci-après des exemples de ces opérations, qui peuvent être faites, soit dans le sens des modules décroissans, comme on vient de l'indiquer, soit dans le sens inverse.
124 Nous avons trouvé ci-dessus la formule
4 3 5 D Pme V9 force PS lt , PETER INT laquelle s'applique au module donné #; si on l’applique au module suivant X, dans l'échelle dont l’indice est 2, on aura
"Etc,
4 Fe Ar EU ee (ro) Arme ren ras - ele.
Cette formule peut servir à calculer, par approximation, le module k, au moyen du module donné £, dans l'échelle dont l’indice est 7, ce qu dispenserait d’avoir recours à l’équation des modules. On aura semblablement la formule L 3 5 (11) A Era Em RL nt DSP VE 1+q" 1+q" 1+q"
qui servira à calculer le terme Æ, de la même échelle, qui précède le module donné #. Ainsi, par ces deux formules, on peut connaître successivement tous les termes d’une même échelle dont l'indice est #2, tant dans l’ordre croissant que dans l’ordre décroissant, et l’on peut même supposer que z est un nombre rationnel quelconque.
De plus, comme l’on peut, au lieu de g’, mettre eq”, e étant une racine imaginaire de l’équation = 1, on voit que 7 étant un nombre impair quelconque, la seconde formule donnera z valeurs différentes de V K,, et par conséquent 2 valeurs du module k,, qui précède Æ. Donc, on aura de cette manière 21 transformations du module L, et par conséquent n— 1 transformations de la fonction donnée F(X, @), ce qui s’accorde, tant avec les deux exemples connus pour les cas de 7=3 et n=5,
EL
qu'avec une règle générale annoncée par MM. Abel et Jacobi. Au reste, de ces n+ 1 transformations, il n’y en a, comme on voit, que deux de réelles, les z— 1 autres étant imaginaires; et puisque le nombre qui est # en passant du module Æ au module #,, devient »*, n°, nf, elc., en passant du module k# aux modules suivans 4,, ks, 4,, etc., on voit que le nombre des transformations imaginaires augmente d’une manière prodigieuse, à mesure qu’on passe du module donné à un module de plus en plus éloigné dans l’ordre croissant.
$ IT. Auire sorte de développement des mémes fonctions trigonométriques de l'amplitude.
129. Revenons à l’expression de sin @ de l’art. 120, et appelant @ le produit des facteurs binomes,
il — QU 198 NV 1 — 6 V? etc VV 1 ü q g q m7
( ) 1— Nr 1 — SV etc., supposons que ce produit, continué à l'infini, soit égal à la suite
A (VV) + A (VV) AV S—V 5) H etc., A,, À,, A3, eic., étant des coefficiens indépendans de V. Si, dans les deux expressions de @, on met gV à la place de V, on devra avoir équation :
Me Net g eg Vi jeta (CA Ro PA NÉ OS A te ANS ee Ven ON ES EME EAN gENT Pete.
Or, en retranchant les facteurs égaux dans les premiers membres de ces deux
équations , ils se réduisent, le premier, à (V—V=")(1 — g°V?); le second , à Ur I Y—). Celui-ci est égal au précédent, mulliplié par
donc, si l’on multiplie le second membre de la première équa-
Dev ; tion par gV°, et qu’à ce produit on ajoute le second membre de la seconde, la somme devra être zéro; on aura donc l’équation identique
0 = À,V + A,V5 + A;V5+ A,V7 — etc.
— À,V HA ,G VS + A gt V5 + Ag V7 etc.
— AV — A VS — AVS — A V7 — etc.
— A, GUN A SGA VS — A 5q V7 etc.
Par les puissances positives de V, on obtiendra les équations de condition A,+HA,g"—=0o, A;+A,gf=o, A,+A:3q7=0, etc.; et comme les puissances négatives donnent les mêmes équations , on en déduira les détermmations suivantes :
A,—=—A,g", As=—=—A,9" = À,g°, A, = — A; = A,gq", As—=—A,qgf = — A,g", etc;
donc enfin on a @ ou
102 FONCTIONS ELLIPTIQUES, — PV? 1—qgfVe 1 —q$V? etc.
v—v—) 17 q 7 À ( ) Û — PNG 1 — GS V— etc.
= A [VV AVES) GANTS) — qe (VV 7) etc.], formule dans laquelle les exposans de g résultent de l’addition. des termes de la progression 2, 4, 6, 8, etc., et sont par conséquent les nombres triangulaires multipliés par 2.
Dans cette formule, le coeflicient A, étant indépendant de V, peut être déterminé en donnant à V telle valeur qu’on voudra. Soit V—y/—1, ou V°=——1, on aura
A — GHiYG+ ag Ga) ete.
CR + q° + gf + q'° +g* + etc.
Le numérateur de cette fraction est égal à 6”*; quant au dénominateur,
sa valeur sera donnée ci-après, et il en résulte
