PESTE

3) A (= (: or: agicosxagicos3x2q à à cos5x ag + ca cos7x+ete. 1—2q COS 2x + 2x + 2qh cos 4x — 2q9cos6x + etc. AA (= — (4) 1—+-2q cos 2x + 2q{ cos {x + 2q° cos 6x + etc.

1 — 2q cos 2x + 2q+c0s 4x — 2q9 cos6x + etc.”

Aïnsi nos trois fonctions trigonométriques de l’amplitude sont exprimées par des suites régulières, dans lesquelles les exposans de g sont, d’une part, les quarrés des nombres naturels ; d'autre part, les quarrés des nombres impairs divisés par 2.

128. La forme de ces expressions très remarquables nous conduit à considérer deux nouvelles transcendantes © (g, x), A(g, x), ou simplement ©x, Ax, dont les valeurs développées en séries sont :

Ox = 1 — ROSE COS 4X — 2q9 cos Gxrr € Fcos 8x —etc., (4) F Ax = 2q* + sinæ— 2qsin 3xb2q® à sin 5x — 2q cs sinrX + etc.; et comme, en mettant x+i7, au lieu de x, on obtient | O(x +iT) = 1 + 2q cos 2x + 2qf cos AT + 2q° cosOXHelc., Gas) A(XTH37) = 2q*c0s XL 2q*cos 3x 29% cos5x-2g* cos7æete., il s'ensuit que les trois formules précédentes pourront être présentées sous

cette forme très simple :

sin 4 +) = — (4)? ÿs jar (16) cos À ) =() ps Fe ) A À eo ie (KY dép 7)

129. Outre les formules des deux articles précédens, on doit encore à M. Jacobi la formule suivante :

sin ste Le qg° sin de + q'°sin Het.

2Kx 2 2 2 2

ant 4C5)= x 3x 5e 7x 9x

(17) cos 2 MAS AE d COS TE Q 1008 eq} COS etc. __ sin za(r + 2q cosx + q°)(1 — 2q° cos x + qf)(r + Ro cos x + g°) etc. 7 cos x(1 — 29 cos x + q°)(1 + 2q° cos x + qt)( 1 — 29° cos x + 9°) etc.?

que nous allons démontrer.

Supposons F4, ®)—=F(#, ©), nous aurons, par les formules

de la duplication des fonctions, tang +9 —A5 tango; en même temps, si lon met 5x à la place de x, dans les formules de l’art. 127, on aura

| cos! x + g° cos à x + qf cos ? x + q'? sin Z x + etc. ? A5 = (KŸ 1 + 2q 005 æ + ag cos 27 + 298 cos 3x + ete.

‘1—2q cos x + 2qt cos 2x — 2q9 cos 3x + etc.’

1 | En). sin x — q° sin ÿ x + qf sin 5x — q'? sin 2 x + etc.

Multipliant ces deux équations, on aura la valeur de tangoAc, ou celle de tang+4 (+); mais le produit ainsi trouvé n’est pas réduit à la forme la plus simple dont il est susceptible.

Par les formules de l’art. 128, on a

AA (PS) tan gA(2 2Kx\ __Ax@(x +; z+37r)

T— @xA(x + 7) 1a)

Mettant 2x à la place de x, le su membre deviendra Actango ou lang +9 ; on aura donc

a5e(2+7 (18) tang (2) — —— . TL.

Ce)

130. Maintenant, 1l faut faire voir qu’on peut mettre sous une forme

plus simple le produit désigné par Ax@(x+ 27). Or, en combinant les formules de Part. 128 avec celles de l’art. 127, et faisant

: PA CN Aës te — A fic 6 C=x=g (©) (4), on a ces quatre nouvelles expressions :

Ex = C(1—29co82x4q°)(1—2qcos2x+-q6)(1—2qcos2x+ q°etc.,

Ar 2qéCsinx(1—2q"c0s2xqi)(1—2gicos2x--q) 1—2q$cos2x+q'*)etc., (19) O(x+ 17) —=C G +2qcos2x+q")(1+2qcos2x+q5)(1+#2q$cos2x+ q'°)ete.,

Afx+ 357) = 2q1 Ccosx(1 +-2q°cos2x+q#)(1 + 2q{cos2x4-gf)(1+2q$cos2x+q'*)ete. Faisant donc de nouveau ei = V, pour décomposer les facteurs trinomes,

chacun en deux facteurs binomes, on aura

AxO(x +27) — 2q° C*. en ;

ZN)=(V —V)| En A den PAIN co re à NN qi -1+g°V? etc. Lg Vip IN gi 1 V etc

Mettons, dans cette dernière équation, Vy/(—4) à la place de V, nous aurons

—— VIH SV NTI cg VS 1 qi Vs 15 Ve etc.

ZVV—7)=—(% reT)| 1 Ver VV 1 + SV etc

Donc, {V)=— V'y(—9) .Z(NWV — q). Supposons que la valeur développée de Z(V) soit Z(N) = a(V'—V) + EVE) VINS) + etc. ,

on aura

LIVE = — à (ÈS) + E(LÈONS) — (ORDEE) d

Multipliant de part et d’autre par — Vy/(—9), on aura cette seconde expression de Z(V)

aV + aqV3 — Ga + TAN — etc.

AND — ÉVS HV ÊVS E VTT — ot

Comparant les deux valeurs de os on aura, par les puissances positives de V, comme par les puissances négatives, les mêmes équations de condition, savoir, É—aq, y=—ag, d'=—ag, = ag", (= ag", etc.,

et par conséquent

PV) = NV OV VS) VV) og VV) qe (VV) -pete.].

Dans cette expression, les puissances de 9 ont pour exposans la suite des nombres triangulaires, ét ces puissances offrent alternativement deux termes

positifs et deux négatifs.