D’après ce résultat, on a la formule générale
(20) Ax@(x +57) = M(sinx <q sin 3x — q° sin 5x — gf sin 7x + q°° sin 9x +etc.),
dans laquelle mettant x+2# à la place de x, et observant que O(x+ 7) = @x, on trouve cette autre formule A(x+:7)0x=—= M (cosx — q cos 3x — q° cos 5x + q5 cos 7x + q'° cos 9x — etc.). Si on met +æx au lieu de x, dans ces deux formules, et qu’on divise une par l'autre, on aura la première expression de tang ie FAR
‘Tone III.
donnée dans Part. 129. Quant à la seconde expression, elle résulte im- » qe L x F X FT I Un
médiatement des valeurs de A3x © (+2) et A(+T)0x, déve-
loppées en facteurs trinomes, d’après les équations (19). Nous ferons
voir ci-après comment on détermine le coeflicient M qui entre dans
ces formules.
$ IV. De quelques séries dont les sommes peuvent étre déterminées par les fonctions elliptiques.
132. Avant d'aller plus loin, nous allons sommer différentes suites ordonnées suivant les puissances de 9; elles offrent des résultats très remarquables , qui se réuniront à ceux que nous avons déjà obtenus (art. 121 et 124), et à ceux que nous donnerons ci-après, dans le Ç VII.
Si l'on fait x —0o, ou seulement x infiniment petit, dans les équations (13) et (17), on aura les quatre formules suivantes :
KE gi 3q+ + 59 —7g à + ete.
I re. G an 2q9 w 2q'5— etc.
:(É)— GHqi+gi+qi ete.
F) 1 aq + 2qt—2q + 2q 5 — etc.
ne FETE 1 + 2q H2gf+ 2q9 + 2q'$ + etc.
G)= 7 1—2q Core 2q'6 — ete.
où l’on voit six séries différentes dont il faut trouver les sommes séparément.
133. Soit I1(Æ) la fonction inconnue de Æ, par laquelle doit être exprimée la suite 1 + 2q + 29f + 299 H2q + etc.; la troisième des équations (21) donnera 1 — 29 2qt — 24 + etc. =(K} [(Æ), et par conséquent
“ea e
1 + 294 + 299 4 29 + etc. —= [(X) ;
or, en mettant gf au lieu de g, ou A, au lieu de #, dans l'équation supposée 1H 2q + 2g*+ 2q9 + etc. =U(4), on a
1 + 294 295 + q$ etc. = TT(A,).
D'un autre côté, puisqu'on suppose que #, k, h;, sont trois termes con-
sécutifs dans l’échelle dont l'indice est 2, on a, par la propriété de cette
échelle, K=(1+A)H=(1+A)(1+#24,)H, — ; nl:
TN TESTS H;; donc, VE, = TV? v’K; de là et de léquation
(A) = - Eae — [(k), on tire
HUPRR NUE)
H, VK°
<= Sn
Le premier membre est la même fonction de gf que le second de g; donc,
E est une quantité constante. Or, lorsque £=0, on a g9—=0, K=:i7
2K et Rp r ; donc la constante — Pas et par conséquent [(4)— / (=). Donc on a la formule
1 + 29 + 2944 299 + 2q" + etc. = w e)
au moyen de laquelle on en trouve plusieurs autres, telles que les sui-
vantes :
1 — 2 4 298 — 299 + 2q$ — 24% + etc. = VE)
1H 29t H 29" agi hragit etc. = EU DES g+ ++ Het e ve:
in 3qi + 59% — 7g* +etc. (€) GkKY à 1 — 3q° + 5q$f — 7q% + etc. nn :} (ak), s'igti te ge gi +4 De ces deux dernières on déduira, en mettant g° à la place de 9, ou 4, à la place de X, et réduisant, les deux suivantes : 1h 9 PH 9° + ge. =" VC 1 — 3q + 59 — 179$ + 0q° — 119$ etc. = qg (2) KR.
On voit maintenant, par la valeur de la suite 1 9° gfh etc., comment a été trouvé ci-dessus le coefficient A,, d’où l’on déduit le coef-
ficient 1e, Vent /KNSS ter C=i= ) (2kKŸ, le même qui entre dans les valeurs des fonctions @x et Ax développées en
facteurs trinomes (Éq. 19).
134. Pour déterminer le coefficient M dans la valeur de Ax@(x +—2iT),
art. 131,s0tx=27, on aura
en de 2 ME LEA ES ST PA Caunt fourt Men Ho) Hi nt UE Or on a A = 29 C1 + gt) (1 Hg) (1 gi), ete.
OP =C (149) (1495) (149), ete., 7 = 3% 5 2 Cap.
de QE 7 C:6'; donc — 2ëg i CE es NE Mere + 99 + etc. 2 C s) Er
135. Pour trouver d’autres formules, nous réunirons d’abord ici quelques-unes des principales valeurs des fonctions x et Ax:
00=4/(%), Ao=o, OCTO CIEENON =) =); à quoi il faut ajouter qu’en supposant + infiniment petit, on a OC ces valeurs se déduisent facilement des formules déjà démontrées.
Cela posé, si l’on fait x=o dans les équations (19) et (20), on en
déduira UK FU AE 1 59 — 59° — 79° + 99% “+ 119 — etc. — 29 (=) (GkY ,
Re LU gp + go + gg — geo. = g (SE) (AK)
Si dans ces deux dernières formules on met g* au lieu de g, et À au lieu de k, on en déduira
1439 — 59 — 7q + 0 x 19% — etc. = 9 rene sy UE
136. Nous joignons ici le tableau des diverses formules que nous venons de trouver, et de quelques autres qu’on peut aisément en déduire par le procédé indiqué art. 123.
— g— qg° + q'+ q— g—etc. LS GE oO)
110 FONCTIONS ELLIPTIQUES, 1 +2 + 2g{ +29 + aq ete. = 7):
1—2q + 2q8 —2q5 aq" — etc. = (À):
Lt 007 27h29" +ete. = EU /(E > g Hg + g5 + 9% ac UT / =), 1+ 29° + 2q° + 2q + 2g° + etc. = EL +#) |,
1 — 29 2q9— 2q8 eq = etc. = VE VX),
1— 2q4 + aq" — 2486 + 268 — etc, — VE , (= V#), EME PEU er += 4/5), + + 9 + g" += 4/2),
RE ERP +ei.= 14/1560 —#)], (IQ 1+g + a+ + ge +ete.=g /(E VE),
PE 7 ARTE ete i/( VE),
Lg — gg ge —ete =g, do) VC v#),
1 — 3g + 59 — 79 + gg — etc. — qi (EN EVE,
1—5g +99 — 79" + 97" — etc. = HO) :
1 — 3q + 5 7 q%8 + 9gf° — ete. = 97 1E) VEBVE),
QUE ÉSONERNN TEEN AE Eve, = ) a+ a WT,
14 3q —5q 7 + 9q HE r11q$— ete. = 29 rATÉES (4! Ÿ,, 1439 —5q— qe og 1 1q%°— etc. = g à (1 HE) CE vK), | etc., etc.
Nota. La différentiation de ces formules en produirait une infinité
d’autres l D a ee ANNEE 1 , par la substitution Tk TREK
DEUXIÈME SUPPLÉMENT. tir
$ V. Usage de ces formules pour diverses sortes d’approximations.
137. Si l’on connaît le rappo:t des deux fonctions complètes K' et K, et qu'on appelle « ce rapport = ;—> on connaîtra immédiatement la cons-
tante g9—=e*, dont le log. hyp. = — «7. Cela posé, 1l sera facile de calculer, avec tel degré d’approximation qu’on voudra , la fonction K au moyen de la formule
K —7 (1 + 2q + 2qf + 2q9 + 295 + etc. }" ;
elle sera toujours très convergente si l’on désigne par 4 le plus petit des deux modules complémentaires Æ et #’, ou par K la plus petite des deux fonctions complètes K, K', qui répondent à ces deux modules. Par ce moyen, la quantité g sera plus petite que -:, et la série précédente, bornée
x . . FT à ses quatre premiers termes, savoir K == (1+29 + 2g* + 249), suflira
pour donner la valeur de K, exacte jusqu’à 20 décimales au moins. Connaissant K, on connaîtra en même temps K'= 2K.
138. Dans le même cas où g est donné immédiatement , on trouvera les modules Æ et £' par les formules suivantes, qu’on choisira à volonté,
VE — 1— 29 + 2q— 299 + 2g% — etc.
T1 + 2g + 2gt + 2q9 + 2q 6 +etc.'!
He ga + +9 +g" + get.) 2 TT 1 + 2g + 2qt + 2q9 + 2q"° + etc. ?
(24) VE 2.3 1— 24% + 29 —2q'8 + 2q% — ete.
1 + 2g + 2q4 + 2q9 + 2q'$ + etc.
V1: We 1— gi gg +9 — q0 — gt Hetc.
DORE ER gl te”
as 2 6 12 20 tC.
pre pr Ua et Mau Var HA Mae VGVA)= 9 1 + q + q° + 9° + q° Het.
La comparaison des valeurs de + y/Æet V/14ÿ/# donne cette propriété générale, qui mérite d’être remarquée :
G+g+ +98 +9" ete. ) = (149 +949 +9 etc.) (14+2g4-2gf 4299 + ete.).
A d 4 On trouvera de même, par la comparaison des valeurs de 4/4! et y/#/, cette
équation,
(1—2q° +299 —2qŸ + ete.) = (1 — 29+2gf— 299 + etc.) (1 + 29 + agf+ 2g8etc.). 130. Supposons maintenant qu’on veuille calculer les valeurs de q par
le moyen du module donné # et de son complément #; nous prendrons pour cet effet, dans le tableau général, l'équation
2q (1 +g+ qq H etc.) CEE VE 1 + 2gt + 2q 6H 2g$—Letc. 1 + 1+VE
Adoptant pour un moment la notation usitée de la première échelle, VE 1—VE8.
ee nr vz ARE TE NT
mais VP y ERA = V (=) parce que b° — Le
nous substituerons c à X et b à K’, ce qui donnera
en ba 1+b+2Vb 1+0 Donc 2q (1+ 9° + g“#+ etc.) 1 —b° À 1 + 2qt + aq + ag + etc. — Ars - )— Ve.
Mettant 9° à la place de g, il faudra mettre c°* à la place de c°°, parce won avance ainsi d’un rang dans l'échelle €, c°, €. etc. : on aura donc q 2 2 2 ?
2g (Qæ+g" + af etc.) = yo 1 + 2q° 1 + 299 + 29% Hg + ACC, à
Avancant encore d’un rang, on aura
2G+g"+etc) VA or 1 + 2q% + 9q4 H etc. N
Cela posé, on aura, aux quantités près de l’ordre g#, g—=3xVc*; et plus exactement, g—(1+2gt): 4/00. On aura de même, aux quantités près de l’ordre gf, g=+ Ve; et plus exactement, g=(1+g) Vice, On aura encore, aux quantités près de l’ordre g*f, Ne mel si:
gf=3 ve, et plus exactement, g9—(1+#1ig'f) Viy/c%, ainsi de suite, Donc enfin, g est égal au dernier terme de la suite 1 00 1 000 à T7 20000 Pr 05 ser, VE, Vie, VE1/05%5, etc.
Et parce que la suite c°°, ce, çoce etc,, est telle, qu’au bout d’un très petit
nombre de termes, on aura (5 æ#)*= “+1, on voit que Vive ch sera égal
MA/E 1ÿ/c-+1, On voit aussi que la valeur désignée par 9 = Vive V'c#, avant
que c# ait atteint la limite , sera en erreur d’une quantité que l’on corrigera
par la formule POUR ei PRET g=(i+is )v (ve) La formule rigoureuse est
m étant 2“?
Lt a nca RAL RE MAI 1 + agi 27 6m 26m etc. 2 ;
c“ désignant le m"° terme de la suite Co LE rene
Nous supposons toujours, pour la facilité des calculs d’approximation, que le module # ou € est plus petit que son complément Æ’ ou b, c’est-àdire qu'il est plus petit que sin 45°. Alors la suite des modules c°, c*, c%, etc., calculée d’après les préceptes donnés dans le tome II, conduira promptement au terme c“ qu'il est inutile de dépasser. On obtiendra donc ainsi la valeur dé g avec tel degré d’approximation qu’on voudra.
140. La quantité g est exprimée, suivant les dénominations de l’ancienne Rae échelle, pare É'e; changeant à la fois c en b et b en c, et appelant r la ARS nouvelle valeur de g, savoir r=—e EÈ, ce qui donne log= log - == %*, on
aura semblablement 7 + 79 D 75" L'etc. TL" b" 1+ ar" + 270" + 2rotn etc. PAS V U
en désignant par Ÿ’ le » ‘°° terme de la suite décroissante #/, b", 6", etc., et supposant n= 2".
Et puisque dans la limite fixée, on peut supposer
g= VV) etr= Vip") où Mg" et b'= fr,
.on aura o) DA 2 F
ce qui s'accorde avec l’équation de Part. 80, tome I,
141. Si l’on désigne de nouveau par Æ°, °°, 4°%, etc., la suite des mo- Tome III. 15
dules décroissans qui se déduisent du module donné Æ, suivant la loi propre à la première échelle, nous supposerons, pour fixer les idées, que k° tient lieu de la limite, en sorte qu’on ait, d’une manière suffisamment
È < 4 {4000 approchée ;9= (Tr) Ve ). \ Cela posé, si À et À sont deux termes consécutifs d’une échelle dont l'indice est 7, on aura semblablement, ou même à plus forte raison ,....
Jet VC ; donc
(26) n és}
Telle est l'équation algébrique très simple qui suppléera, au moins approximativement, à l’équation des modules pour l'indice 2. En effet, si, du module donné k, on veut déduire le module suivant À, on calculera d’abord k°*, ce qui se fera par de simples extractions de racines quarrées. £°°% étant
#900 nm
connu, on aura A°% par l’équation k°° = 4 à Ensuite on trouvera le module cherché À par les équations successives joe = 2 (nor Do DV Le PALRS 1 po ? Tips” Tara
on connait d’ailleurs les moyens les plus simples d'appliquer à ces formules le calcul logarithmique, pour obtenir plus promptement les résultats.
I en serait de même si l’on voulait calculer le module #, qui précède k, ce qui se ferait comme si l'on voulait déterminer # par A; et le degré d’exactitude de ces solutions pourra toujours être fixé à volonté, puisque
si la formule 9 = y k n'avait pas la précision suffisante, on pourrait
, 8 0000 16 00900 prendre lune des suivantes, 9 — (= ), HER re ( Z + etc., par les-
quelles l’erreur est bientôt réduite au-dessous de toute limite donnée. 142. On pourrait faire usage des formules (23) pour déduire du module donné Æ, ou de son complément #’, la valeur de la fonction complète K, jusqu’à un degré de précision déterminé, sans connaître préalablement la valeur de g. On trouverait, par exemple, en négligeant les quantités de Pordre g°, AEOT PA 10e Vi GHEVET
et en négligeant seulement les quantités de l’ordre g'°,
Tests" nee 3. sant nt
Es
OR
UE LRU 2 MUR LUE VOS +4 ]V [orne |
Mais plus ces formules acquièrent de précision, plus elles se rapprochent de la formule la plus simple de toutes, qui, dans les termes de l’ancienne échelle, est
AURAS 75260100 Fo ? y (opomise….),
de sorte qu’il devient inutile de pousser plus loin la recherche des formules d’approximation. Nous saisirons seulement cette occasion de faire voir que la valeur de la fonction complète E’c, telle que nous l'avons donnée page 114 du tome I, est facile à déduire de celle de F'c. En eflet, si l’on prend la différentielle logarithmique de la formule pré-
cédente, on aura
dE" 1/10 db db° db°° db°9°
Fe Der RCD DAC PA ANT
ne 2 EL RER | mais l’équation b ce donne nd 3 Dj) de même on a.....
db°° co°db° db à ; 3e — Le de — OC dde? etc. Le second membre de notre équation devient donc
db ER. PR SPACE I 00 1 h900 h000 4 a (I Te Cie a + OU ie à Ci CM eLC")>
t par PEns déduit EL parce qUE — PT SL , On en GEQUi
E'c c°° EN es 2 A ONE NT (01 ANA en D SUR SE 0 Pa nl d +c(i—ic = cc —etc.)=1 3 c°C (: —+ à —-
OP ele.
Cette quantité est ce que nous avons nommé L; ainsi l’on aura E'c=LF"'c.
B FONCTIONS ELLIPTIQUES, $ VI. Diverses propriétés des fonctions @(q, x) et A(q, x).
143. Ces fonctions, qu’on peut considérer en elles-mêmes et sans aucun rapport aux fonctions elliptiques, ont été considérées jusqu'ici comme se rattachant, par leurs deux élémens g et x, à la fonction de première
A Li 4 LÉ , espèce F(4, @). La constante q est une fonction du module k, déterminée K'’ J
par la formule g=e Æ,ou log q =", K et K' étant les fonctions
complètes relatives aux modules complémentaires # et #'; la variable x est la même chose que l’arc circulaire désigné par ® dans Part. 69, tom. 1; car, suivant cet article, la fonction F(#£, @) est exprimée par la formule
K 7 d=— d;et d'autre part, nous avons supposé, dans les
calculs précédens, F(&, @) = 2%.
Pour développer les propriétés principales de ces deux fonctions, nous allons d’abord les considérer comme représentant les deux séries suivantes :
Ox = 1— 2q cos 2x + 2gf cos 4x — 29° cosGx + 29" cos 8x — etc., RE 2e, 35.
Ax = 2q* sin x — 2q* sin 3x + 2q* sin bx —elc., où l’on voit que les exposans de g sont, d’une part, les quarrés des nombres
naturels, et d'autre part, les quarrés des nombres impairs divisés par 2. L’inspection de ces suites suflit pour établir les propriétés suivantes :
Ox —=O(— x), Ax = — A(— x), LS O(7— x) —=Ox, A(rm—x)=—= Ax, 7 O(r+x) —Ox, A+ x)=— Âx,
ŒiT7+x)=O(i7— x), AG r+x)= A(ir— x),
et nous rappellerons ici les valeurs que prennent ces fonctions, dans les trois Cas X=0, L=ET, X=iT :
