FIN DE LA TABLE DU PREMIER SUPFLÉMENT
Anis m'être occupé pendant un grand nombre d’années de la théorie des fonctions elliptiques, dont l’immortel Euler avait posé les fondemens, j'ai cru devoir rassembler les résultats de ce long travail dans un Traité qui a été rendu public au mois de janvier 1827. Jusque là les géomètres n'avaient pris presque aucune part à ce genre de recherches; mais à peine mon ouvrage avait-il vu le jour, à peine son titre pouvait-il être connu des savans étrangers, que j'appris, avec autant d’étonnement que de satisfaction, que deux jeunes géomètres, MM. J'acobi (C.-G.-J.) de Kæœnigsberg et Abel de Christiania, avaient réussi, par leurs travaux particuliers , à perfectionner considérablement la théorie des fonctions elliptiques dans ses points les plus élevés.
Bientôt les n° 123 et 127 du Journal astronomique de M. le professeur Schumacher, et une lettre particuhère de l’auteur, me firent connaître d’une manière positive en quoi consistaient les découvertes de M. Jacobi. Je recus presque en même temps un cahier du Journal de M. Crelle de Berlin, où se trouve un Mémoire de M. Abel, contenant des découvertes très remarquables dans une autre partie de la théorie, qui a cependant beaucoup d’analogie avec celle dont s’est occupé M. Jacobi, puisque, par un second Mémoire imprimé dans le même Journal, on voit que M. Abel a pu déduire de ses formules l’un des deux théorèmes généraux de M. Jacobi.
Unèé connaissance approfondie des plus belles méthodes de l’analyse et l’heureux emploi de plusieurs idées fort ingénieuses se font remarquer dans les productions de ces deux jeunes géomètres. La science a pris dans leurs mains un tel essor, qu'il est à croire que les résultats qu’ils ont déjà obtenus seront suivis d’un grand nombre d’autres non moins intéressans.
Dans cet état de choses, j’ai pensé que mon ouvrage deviendrait bientôt incomplet , si je ne me hâtais d’y ajouter de nouveaux supplémens, dans lesquels j'exposerais les découvertes récentes avec tous les développemens dont elles sont susceptibles.
Le premier supplément, que je publie aujourd’hui dans cette vue, a pour
objet principal les deux théorèmes généraux découverts par M. Jacobi. Le premier sera démontré par la méthode même de l’auteur, publiée dans le n° 127 du Journal de M. Schumacher; le second sera d’abord déduit du théorème I*, et ensuite démontré d’une manière particulière et directe.
Au moyen de ces deux théorèmes, j'ai pu traiter d’une manière complète tout ce qui concerne l’existence des différentes échelles de modules, exprimées en quantités réelles (*), et par suite tout ce qui concerne les transformations réelles, infiniment mulüipliées, dont est susceptible toute fonction elliptique dns de première espèce.
Lorsque deux fonctions de cette nature peuvent être exprimées Pune par l’autre, on peut supposer qu’elles appartiennent à la même échelle, et alors il existe entre leurs modules une équation trés simple, quoique sous forme transcendante, laquelle tient lieu d’une équation algébrique , qui est en général d’une recherche très difficile. Cette équation transcendante peut être regardée comme l’un des théorèmes les plus beaux et les plus féconds de cette branche d’analyse. J’en ai fait voir l’usage pour trouver avec beaucoup de facilité les différens termes, même les plus éloignés, d’une échelle de modules correspondante à un nombre donné.
Après avoir épuisé tout ce qui a rapport à la transformation des fonctions elliptiques de la première espèce , il était naturel de s'occuper des fonctions de la seconde espèce. Je démontrerai que ces fonctions sont susceptibles de transformations analogues à celles de la première espèce, et en même nombre. Les formules sont plus compliquées, à raison de la quantité algébrique qu’elles contiennent ; mais elles se simplifient beaucoup dans le cas des fonctions complètes, où la quantité algébrique disparaît,
Je n’entrerai point dans d’autres détails sur les recherches assez nombreuses qui composent ce premier supplément ; il sera terminé par l’apphication des deux théorèmes de M. Jacobi aux cas de p=3 et p=5, qui donnent naissance à la première et à la seconde des nouvelles échelles.
Dans le second supplément et les suivans, sil y a lieu, je continuerai d'exposer ce que les découvertes nouvelles offrent de plus remarquable, en y joignant mes propres observations et les développemens convenables.
Paris, le 12 août 1828.
(”) Le mot réelles est placé ici parce qu’il existe analytiquement des transformations imaginaires dont nous n’avons pas fait mention, et qui sont en bien plus grand nombre que les transformations réelles.
PREMIER SUPPLÉMENT. 3 $ I”. Démonstration du théorème 1° de M. Jacobr.
1. Soit p un nombre impair pris à volonté, F(Æ, @) une fonction elliptique de première espèce, dont le module donné est k, et dont l’amplitude ® peut avoir une valeur quelconque depuis zéro jusqu’à linfini. Appelons 4m la valeur particulière de @ qui, pour un nombre entier quelconque m,
donne F(X, du) = = FE. Au moyen de l’amplitude variable @ et des
angles constans &, , ds, as ,... 4,,, déterminons une seconde amplitude 4 par la formule trigonométrique
(1) tang (45° — 54)
= tang(45°+ 19). tangà (er— 9) tangs (2540) tangs(as—®) tangi(ap te)
a — ee
tangs (4,9) tangi(as—@) tang+ (as) tang > Reco)? où l’on prendra le signe supérieur si p = 41 +1, et l’inférieur si La loi d’accroissement des variables @ et L sera développée ci-après ; il suffit, pour le présent, de remarquer que la valeur de @ étant comprise, comme on peut toujours le supposer, entre &,, et 441, Celle de 4 sera
? F FT » le . .
comprise entre (22 — 1) = et (22 7) 2. Cela posé, voici en quoi consiste le théorème général que nous voulons démontrer :
« D’après la relation entre les amplitudes @ et À donnée par l’équa-
» tion (1), toute fonction donnée F(X, ®) peut être transformée en une » autre F(k, +); de sorte qu’on aura
(2) F(Æ, 6) =mF(k, 4),
» le module À et le régulateur y étant des constantes qu’on pourra
» toujours déterminer en fonctions du module donné Æ et du nombre » donné p. »
On aura , par exemple, pour cette détermination, les formules
—. nt —— se —
nm ; Ds T6 (SOUS . + 24 sin &; sin «3. sin «5 Sin &p 22
hk — 2kpu (sin a, — sin &; + sin &5.... sin æ,, ++).
Et, parce qu’on a en même temps @—2iwet À —p.iz, l'équation (2) donnera dans ce cas F'k — puF'h, où K = pull, en désignant, comme nous le ferons ci-après, par K et H les fonctions complètes F'Æ4 et F'A.
ES
2. Pour parvenir à la démonstration de cette formule générale de transformation qui s’applique à tout nombre impair donné p, il est nécessaire d’établir quelques dénominations nouvelles et quelques lemmes employés par M. Jacobi dans le nouveau genre d’analyse que nous avons à exposer.
Soient en général Fo et FA deux fonctions dont le module commun est k, et telles qu’on ait
Fp+Fd=Fo et Fp—Fl="F8, on aura par les formules connues (n° 18 et 19, tome I)
sin @ cos Ÿ (/(1 — X? sin® {) + sin ÿ cos ç Qv/(1— &* sin° 2) 1 — sin @sin Ÿ
in 9 — MP csYvVG— sin ÿ) — A CA mt sin° 9).
sin OC —
d’où résulte sin ç = sin 0 — 2 sin @ cos 4 /(1 — k* sin? 4) 1— £* sin*@ sin“ 4 , sin? @ — sin? Ÿ
SAN CU SI Or :
1 — £* sin* @ sin° 4
. donc ay R° 2 EL. C4 EE Ds 2 | (1—sino)(1—sin 0) =! Æ&° sin°@ sin°Ÿ+sin°® — sin rs sn tas ÀV/G—k sin d) Désignons par F4 et FA’ deux fonctions dont la somme soit égale à la fonction complète F'#, et soit 4’ le complément du module #, en sorte qu’on ait HA = 1, on aura (n° 18, tome I) les équations « es cos Ÿ” k' sin nyAf0 HU sin = VG—Æ sin)? °% V= vG— sin) ?
k! tang À tang d'= 1, k=—(1— 2% sind) (1—Æ#" sin" d/). Au moyen de ces formules, la valeur du produit précédent devient
(1 into) (1 ein 0) PRICE Rens
1 — À? sin? Ÿ/ et il en résulte l’équation suivante Ge sin @ (3) sin Ÿ (G—sino) LA P Cr — sin eo) 1— À sin° @ sin° À — cos
3. Appelons £ la fonction F (4, @) ou l'intégrale ee Te she) prise
à compter de ® — o. Si l’on fait sn @ = x, il sera utile de considérer la fonction £ sous cette forme
Cr
F dx = frs ve
où l'intégrale est prise à compter de x—0. Et parce que x est le sinus de l’amplitude de la fonction £ , nous le désignerons ainsi: += sin. amp. #, ou plus simplement, x = sin A£. Si l’on a une seconde fonction Fg' ou £’ qui soit le complément de Fo ou £, en sorte qu’on ait Fp+Fo9'=F'X=K, la même variable x, qui est le sinus de l'amplitude de la fonction £, et que nous désignerons par l’expression x — sin AË, sera en même temps le sinus du complément de l’amplitude de la fonction £ ; ce que nous désignerons ainsi : X=—sin co-ampl. £’, ou plus simplement, x — sin CA. £".
Par exemple, soit £—=2K., on aura à la fois x=sinA.£K=sinCA.iK ;
de même, si £ =" K, on aura à la fois 610 À Fe K) == Si CA es K)
Ces dénominations abrégées, qui servent à exprimer les sinus des amplitudes par les fonctions, sont utiles pour donner une nouvelle extension à l'analyse ordinaire qui exprime les fonctions par les amplitudes.
4. Ayant fait sin ® = x, si l’on fait de même sind = y, l'équation F(X, ®)= uF(h, d) sera ainsi exprimée
ay DCS A nl 2 nt ACT EN Cet E et nous aurons occasion de remarquer qu'il y a des avantages particuliers attachés à cette forme.
Maintenant, il s’agit de démontrer que l’équation (2) est généralement satisfaite par l'équation (r), en déterminant convenablement les constantes m et h, au moyen du module donné # et du nombre impair donné p. Pour cela, nous ferons un léger changement à la question , en supposant quil s’agit de démontrer l’équation suivante, où les signes ambigus se déterminent en prenant le signe supérieur lorsque p=4i+ 1, et l’inférieur
lorsque p—4i—i:
LES ba 5 ra à a ; F4 ARE 5 ( ie) ( ARS fe PE CO (ir) 2 Ne PUR,
© 1 lé sin' CA. sain CA, ni CA
ce produit devant avoir pour dernier facteur
(: D CAN ERP RNTES sm A(PÈx) 204 + NN PANNE AT
v — kôx sin CA. NS K
En eflet, si dans cette équation on change à la fois le signe de x et celui de y, on aura une seconde équation , et la division de l’une par l'autre donnera
smA. ÉERr smÂA. Sn AT + à \ M:
Pet Au CC Le a IHX e + + IH sinÀ. Re). Mr dE es sin À. NVETE Et
Or, on a K 5K me MA: cote ... Mn A. = Ke (0) 1 È a 0 1 y = tang (45°— 4), = tangt (45H 2 9).
Cette dernière équation revient donc à l’équation (1 ); qui sera ainsi démontrée si l’on démontre l’équaon (4).
5. Dans cette vue, faisons l’application du lemme contenu dans lé-
quation (3), où nous supposerons sing—x, 4/ =A.T Ne CA. (7)
+ PK); ce qui donne Fo FO HF E=Ë+ EEK, FO = Fo — F4 — Are ; sin sin A.(£+ÈTK), sin 9 — sin A. ER).
On aura donc, en vertu de ce lemme, la formule suivante, qui s’applique à toute valeur du nombre entier 72 :
(ES) peus re ea (ee)
1— tx? sin°CA. RP POTELLSET cos OA P P
Au moyen de cette formule, dans laque on fera successivement M1, 3,5....p—2, l'équation (4) se réduira à la forme
PREMIER SUPPLÉMENT. , 1 y = (1 sin AË).6 , où P désignera le produit des p — 1 facteurs suivans : 1 Æ sin A (£ +SE); 1 Æ sin A (£ ss 2K), 1 = sin A (£ + ik), 1 = sin A(E — ik), &) | 1 æ sin A(E + 2K), 1 sin A(E — 5K),
à LUI A (£ nee E): ons A (& — TK),
et où Q aura la valeur
K 3K 5K — 2 Q— cos® CA .—.cos® CA.—.cos CA... . cos" CA. ? K , P P "à P e] » . 0 e , x 4 !
qu’on peut écrire ainsi, d’après la valeur générale de &,, , Q = cos x, cos" &, COS &5.... COS" &,
Si l’on examine ultérieurement les p — 1 facteurs qui composent la valeur de P, on trouvera qu’en leur appliquant les formules
sn À.£=— sin À (€ — 2K) — — sin A (6 + 2K) = sin À (Ç + 4K), qui ont le même fondement que les simples formules trigonométriques , sin ê —=—sin (c— 2.2) = — sin ( + 2.)= Sin (£+4.2) : ces p — 1 facteurs, joints au facteur isolé 1 = sin AË, forment la suite
continue I RSID A2. rs À (+, Lin A(E+T), 1 = sin À (E+ eee à pin À (EEK).
Et leur produit sera le numérateur de la valeur de 1 — y; de sorte qu'on aura
COS” &n COS” #4 COS” ge « « « COS Ep
6. {l faut maintenant remarquer que cette formule reste la même lorsque
£ augmente de 7 3 Car alors chaque facteur prend la place du facteur sui-
vant , et le dernier, qui devient 1 & sin À (£ + 4K), se réduit au premier
in à la place
de £, m étant un entier quelconque, sans rien changer à la valeur de I — y.
Nous remarquerons encore qu’en faisant £ — 0, le second membre de l'équation (6) se réduit à 1; de sorte qu’on a en même temps y = 0. C’est ce qu'on verra aisément en faisant £ — 0 dans le développement (n° 5) des facteurs de P; car, dans ce cas, le produit de tous ces facteurs donne
P — cos’ A.” K.cos° A HR cos AK cos" À UK ; P P P Fe
1 = sin A.£. On peut donc mettre, en général, £ +
ce qui est la valeur de Q.
Il résulte donc aussi de l'équation (6), qu’en faisant £ — E K, m étant
un entier pris dans la suite 1, 2, 3... p — 1, le second membre se réduit
encore à l’unité. En effet, puisque, sans changer le numérateur de cette for- K A! LI . .
mule, on peut mettre £ + re à la place de £ , 1l s’ensuit que la supposi-
K À ? st frk Gonnera le même résultat que la supposition £ —=0o, et
tion À — qu’ainsi on aura ÿ — 0.
On voit donc que y doit s’évanouir pour les p valeurs
; K : 8K : K ë T0, sin AMEES sin À.—, SN ASE AT on À° + P ‘
ou , ce qui revient au même, pour les p valeurs
st sin A.Z—K, À P
T—0; SA PER sin AE, sin À.
P P — sin ASE PA — sin AGE ie In A IC P À P 7
ce qui se déduit immédiatement des facteurs de P donnés n° 5.
7. Maintenant, si nous mettons l’équation (4) sous la forme...... Z TEA V—2 $ :
1 =; d'où résulte y = —;— , la fonction V — Z, qui est une
fonction de x, rationnelle, entière et du degré p, devra s’évanouir, ainsi
: 2mK ; que y, pour toutes les valeurs x == sin À OUR IN du
2m ayant successivement toutes les valeurs 0, 2, 4, 6 +... p—1; donc cette fonction V — Z aura pour facteurs Te - x? 2° X , sine 44? 1 sine à, ? idee LT sin di Mais puisque ces facteurs forment par leur produit un polynome du degré p, le même que celui de la fonction V —Z, il suflira, pour reproduire la fonction V — Z, de joindre à ces facteurs variables un facteur constant ;
ce facteur constant ne peut être que } , puisqu’en supposant @ infiniment petit dans l’équation F(k&,®) = uF(h, À), on en üre 4 = = , OÙ Fe LZ- Donc si l’on prend les fonctions U et V d’après les valeurs
(7) U=(i— sin a) ( C nr ai (: ——). Hé ÉS DIRES (bete)
V=(i—hsinta,) (1—/xsinte,)(1—Rasinees). (1-Æx*sin*e,), on aura
Pour déterminer la valeur de y, il faut observer, d’après l’équation (4), que 1— y a pour facteur 1 — x lorsque p— 414 1, et 1 + x lorsque p= &i— 1. Ainsi la valeur y = 1 a lieu dans le premier cas lorsque x=1, et dans le second lorsque x =— 1.
D'ailleurs, suivant les formules des fonctions complémentaires ( art. 2), on a ; I sin? À .Z LEA sin? CAË 1 sin? AË sin? AË ” Donc on aura dans les deux cas (8) pe sin? &, sin? &3 SIN? w5..... Sin? ap, SiN* &p a SIN? @p 3 SIN? @p 5 + + + SIN° Go
8. Ayant trouvé la valeur de y en fonction de x, il resterait à substituer celte valeur dans l’équation différentielle
dx Wu dy Va VE Vo et à prouver que les deux membres deviennent identiques, en déterminant convenablement le module k, qui reste encore inconnu. Mais le calcul qu’exige cette substitution ne serait praticable que pour des valeurs assez
petites du nombre p, telles que p=3, 5, 7, et il cesserait absolument de l’être en laissant la formule dans l’état de généralité qui s'applique à toute valeur du nombre impair p.
La difficulté qui se présente ici est d’une telle nature, qu'il ne resterait guère d’espoir de parvenir à la démonstration générale, si M. Jacobi n’eût trouvé un moyen aussi simple qu'ingénieux d'éviter la substitution à faire dans l’équation différentielle, et d’y Pete par une propriété particulière de cetle équation, qui doit être commune aux intégrales qui la représentent.
9. Cette propriété consiste dans la remarque faite par l’auteur, que si l’on
; x s le Tor 57 :
substitue à la fois — à la place de x, et Fe la place de y, l'équation différentielle, quoique affectée dans chaque membre du facteur y—1, n’en sera pas moins satisfaite par la suppression de ce facteur. Tout
se réduit donc à faire cette double substitution dans l'intégrale. Ets
x U | : J ab WT be Vi 2° V > et à examiner si elle est satisfaite.
Or, en substituant à la place de æ dans le facteur général,
I LT Sin” #»n
rs
2 ar «| 1— £°x° sin? «;
qui sert à composer la valeur de &, ce facteur devient
Æ sin en Um Donc la double substitution dont il s’agit donnera pour résultat
L'ÉAPRE TN Ve I hy kgx UK! sint «4, sint es. . + .Sintæ,à
On voit maintenant que pour que cette équation s'accorde avec léqua- : ; PA à MCE > 1 tion proposée ÿ = = il suffit de déterminer le module k par la formule
hk = pk? sinf a, sinfa,sinfæ....sinfæ,,,
ou , en substituant la valeur de y tirée de l’équation (8),
(9) hk = k? sin @, sinf a, sinf as ..... sinfa,s.
; r ]7 A Q G / ù r 22€ 3 ms CS Par ce procédé très simple, il ést constaté que l’équation I=TY sais
fait, pour toute valeur du nombre impair p, à l'équation différentielle dont
PREMIER SUPPLÉMENT. rt
l'intégrale est F(k, g)=uF (4, À), en donnant aux constantes y et h les valeurs que nous avons déterminées, et qu’ainsi le théorème de M. Jacobi est démontré dans toute sa généralité.
10. La valeur de 1— y a été mise ci-dessus (n° 6) sous une forme dont le dénominateur est constant : on peut mettre sous une semblable forme la valeur de y ; car, en vertu de l’équation donnée art. 2, savoir
sin? @ — sin Ÿ 1 — k* sin? sin° A ?
sin © sin Ê —
la quantité que nous avons nommée Hm (art. 9) peut se mettre sous la
forme 2PTT
sin A ( + 5) sin À GET Im= —— UNS OUR us" sin® À —
Donnant à m toutes les valeurs 2, 4, 6.... p—1,et faisant le produit de tous les facteurs, on aura
ee — 2 —— 55 ——— ——" ——
T 2 d ARR ME ot e — DIR.
p P TP ou, en substituant la valeur de w donnée par l’equation (8),
sin A sin À (#4 26) sin A (ET). sa (sx) se)
ne sin” æ, Si0? @3 SIN” &5. + « « SIN” ps 11. Telle est en substance la démonstration donnée par M. Jacobi, dans le n° 127 du Journal de M. Schumacher, de la formule générale au moyen de laquelle on peut transformer toute fonction elliptique donnée de premiére espèce F(4, @), d’abord en une autre F(X4, 4), dont le module est moindre que £, puis celle-ci en une troisième, et ainsi à l'infini, suivant une échelle de modules correspondante au nombre impair donné p. Ce théorème, réuni à un autre dont nous avons déjà parlé, ajoute un grand degré de perfection à la nouvelle branche d’analyse connue maintenant sous le nom de théorie des fonctions elliptiques ; mais son importance même semble faire désirer que la démonstration, quoique établie sur un principe incontestable et très ingénieux , soit soumise à un autre genre de vérification qui la mette, s’il est possible, dans un plus grand Jour.
Voici, pour cet objet, un moyen fondé sur la substitution immédiate de +
U ! > A ; 6 UE la valeur y — Sy dans l’équation différentielle, mais dont le succès tient
encore au principe de la double substitution, principe sans lequel on ne pourrait avoir la valeur de 1 — ky, exprimée par le produit de plusieurs facteurs, en la déduisant des valeurs semblablement exprimées de 1— y
et de y.
12. Nous mettrons d’abord l'équation différentielle sous la forme
d 2 Gp) (Gi —y)= pu Se (1x) (1 — xt); ensuite faisant V4#(x — 7°) (1 és k°y*) — ( — x*) (1 — l°x*)T»,
et déterminant T par cette équation, il restera à satisfaire à l'équation dy dns a 7 Ta uv 2x OU L . { dU av DVI rés Ga —va) Les polynomes U et V étant, ainsi que T, des fonctions paires de x, il conviendra de faire x°— €, et l’on aura l’équation
(ELA) Heat er UV 26 7 Ud&é ŸVd&?
où 1l faudra démontrer que les deux membres peuvent être rendus identiques.
