COMME

F(£,a) —:iF(#,6), E(E£, «)

A (k',6 x 4 s re 2e [I ( lang 6, k, g) — cos° 6F (Æ, ®)]

(Go) DES (1 sin 9, À, €) — F (K, €) —E(#, @) F(4, E)HE(K, €)F (4,0) —F(4,0)F (4, 6).

Cette formule permet de réduire la fonction dont le paramètre est A’tang*6, le module # et l'amplitude @, à une autre fonction de même espèce, dont les élémens semblables sont — 1 + #*sin* @, k', 6; et quoique les paramètres soient différemment exprimés, ils appartiennent néanmoins à la même forme dite circulaire.

L’équation à laquelle nous venons de parvenir par une analyse assez délicate , fondée sur des substitutions imaginaires, s’accorde entièrement avec

l'équation (7°) de l’art. 111, tome I; ainsi on voit que la méthode que nous suivons maintenant n’est pas moins sûre que les méthodes plus élémentaires par lesquelles nous avons obtenu les résultats contenus dans les chap. XV et XXIIT du tome I. Mais on peut de plus tirer de ces nouvelles méthodes des résultats nouveaux.

173. Pour cela, nous extrairons d’abord du chap. XV deux formules qui pourront être combinées avec la formule (69); ces deux formules, relatives aux fonctions à paramètre circulaire, sont

[T (Æ* tang° &, k, @).H I (cot° «, 4, ®) 0) J — F(#, 6) + Rare M,

tango AR’, «) A (&,@) sin « cos «&’

IT (cot® &, #, @) — RD ANT (— 1 + 4! sin° &, k, @)

tang M —

AE "e) (1) — La 2 F(#; HR N,

singcos® AE, à) A(&,@) ‘ tange

tang N —

Il en résulte une troisième formule par laquelle on pourra réduire l’une à l’autre deux fonctions dont les paramètres, loujours de forme circulaire , sont #* tang® & et — 1 + k"*sin°&. Voici cetle troisième formule

H(ktang°a, À, @) + es [H(— 1 + ksin’æ, &, ®) Gp) LES TR DH (MN))

| A(k, A(&", « tang(M—N) = 00, 0e,

174. Si l’on combine cette dernière formule, avec la formule (69), dans laquelle on mettra préalablement æ& à la place de 6, on aura pour résultat la nouvelle formule ko sin æ COS æ

A(£", «) k° sing cos ÿ

A(k, @) = F(k, p)E(K, e)—E(k, G)FCK', «)—E(K' «JE (K, @)-Harctang

- [n(— 1 +R? sin°«, k, g) — F(#, ?)]

(73) 4+ En(— 1 +R sing, K', à) — F(K, «)]

A(k,®) AK, «) cot cote”

Celle-ci établit une propriété générale, en vertu de laquelle on peut ré-

DEUXIÈME SUPPLÉMENT. 14 duire lPune à l’autre les deux fonctions H(—1+/#"sinæ, k, @), [(—1+Æktsin®, k, æ); de sorte qu’on peut échanger entre eux les angles æ et ®, pourvu que les modules complémentaires # et #' soient aussi échangés entre eux. C’est la même propriété qu'offre l'équation (+) du chap. XXIIT, tom. I“; car la fonction [(— 1 + k*sin*®, k', æ) pourrait être exprimée par I(cot*®, k’, «), en même temps que la fonction I(—1+ k%sinæ, £, @) le serait par [(cot*æ, Æ,@), et alors l’équation (73) hr ARC avec l'équation (1).

175. Introduisons maintenant dans les deux membres de Péquation (64)

la même substitution imaginaire que nous avons appliquée à l'équation (65).

Par les résultats déjà trouvés, le premier membre, multiplié par i, deviendra

RES [TIÇ4* tang® 6, k, ®) — cos 6 F(4, @)]