F(4, €) — FT F(K, €) —E(#, EF CK

Quant au second membre, qu’il faut aussi multiplier par :, il aura pour développement

ë log LT 27 C0S 2x cos 2a —+ 294 cos Ax cos {a — etc. 2 06 — 24 sin 2x sin 2a + 2qfsin 4x sin {a — etc. } 1 I— 2q COS 2x cos 24 + 2g{ cos 4x cos Âa — etc. — - log : | ù }.

+ 29 sin 2x sin 2a — 24! sin {x sin {a + etc.

k > 2K'b À : : ; Mais en faisant —— = F(#, 6), l'équation F(#, æ) = :F(#!, 6) donne. 1— KV; par conséquent, 2cos24=e K He =g 7Hgr, 2 sin 2a —4\7 Ps) On aura des valeurs semblables pour 2cos/a, 2sin 4a, etc.

) ensuite, faisant

2b 4b . 4b qe 6 6b

Pæi—geos2x\g 7+9g7 at 7497 /—49 c0s6x SAR “ éte:: 2b 4b 4b A 6b Q=—= g sin 2x (re EURE Tq7 CS Re Ps — q7 sh) 4 etc.,

on aura G { = log @ (x — a) = < log (P — iQ), = log © (x + a) = < log (P + iQ);

donc

Lomme IT. 19

OS FONCTIONS ERLEMRNES:

y @(r—a) ài iQ SG +oT L log 5e Soit enfin @ un arc de cercle tel qu’on ait

L 4 66 Q__ gsin NES T—q9T )—g'sin LR ARLES AGE ne pe etc. ose ne Nu ro

ie Le Ze MON A TT —gcos6x\g 7 +97 /+etc.

La quantité logarithmique qui précède se réduira à Parc Q ; ainsi on aura cetle nouvelle formule

is . É (Æ* tang*6, &, ®)— cos* GF(#, P)]

(74) +[(— F (#, 6) se. E(Æ É 6) | F(Æ, @)

176. On voit maintenant qu’au moyen de la substitution imaginaire sin &æ = itang 6, la fonction à paramètre logarithmique I(—Æ*sin° «, k, @) s’est changée en une fonction à paramètre circulaire IT (£? tang° 6, &, @): mais cette transformation ne nous procure pas l’avantage d’exprimer la fonction à paramètre circulaire par une nouvelle fonction qui ne dépende que de deux quantités. En effet, la fonction Q@, qui est devenue notre nouvelle auxiliaire, dépend essentiellement de trois quantités GX), b,et l’on ne voit aucun moyen de la décomposer en deux parties qui AD # exprimer chacune par deux quantités seulement. Ainsi la propriété remarquée dans les fonctions à paramètre logarithmique ne paraît pas s’étendre aux fonctions à paramètre circulaire.

197. Dans la formule (73), nous avons adopté pour type des paramètres circulaires la forme — 1 + #"* sin°æ, relative au module #£. Pour nous conformer à la même supposition, nous combinerons équation (72) avec l'équation (74), après avoir mis dans celle-ci & à la place de 6. Nous obtiendrons ainsi, pour les fonctions à paramètre circulaire, la formule type:

ee (re sint &, À, 9) — FE, 0)

Les Fa) F(, #)—E(, a) |F(4,@) (75) — Q + arc tang ee A(&", «)

cot® cota /?

tang (0=—

ya ga

qgsin 2x ri Cr ACT FT — r agrin( 6x\g Lu rh etc.

role 7 +97 DL +97 = MNT Te TUE ET

Changeons dans cette formule les trois quantités æ, #, @, en trois autres ®,k', æ, respectivement, ce qui changera en même temps get a enr et x; nous aurons la formule semblable

ksin cos @ ! F4 j re [I(— 1 + 4 sin°®, 4', )—F(#,a)]

LC Fe) EG 8) —E(, a)

(ak, g) A(K';, a) 6) 0. — Q'+ arc tang te es __ 2x re 6x 6x tang Q'— rsin 24 ee GE se PER er —elc:

. 4x ee — Dx hi 1—rsin2a\r T+r7 En tir far F7 ]—r00s te e L RE ) etc. 178. Maintenant, si l’on combine ces deux équations avec es é

à ; É ; , E' Fan et qu’on applique l’équation des fonctions complémentaires 27 +

Us = xx On aura la formule suivante, qui contient une propriété 5 re-

marquable des fonctions Q et Q',

A(&, @) A(#, : EG, e)F(k, *).

(77) Q + Q'= arc tang (200 AE) ea

On verra ci-après que le cas de g=—=+7 = x donne Q—o et Q'=;i7—a, de même que le cas de 4=217 = a donne Q'=o et Q—i7— x.

Moyennant cette formule, on peut rendre plus simples les équations (75) et (76), en les écrivant de la manière suivante :

k'® sine cosæ

SE [= 1 + Kia, Æ, 6) — F(4, @)] LE o'+[ m FU, #)—E(K, «) |F, e), k? R? sin g cosg RCE IA / —F(}

ax Re et

= D + [Rx F4, 9) —E(k, @) JF, a).

179. Pour avoir la fonction complète, soit p—27, et par suitex=—=2#7, il faut d’abord trouver la valeur de Q'; or, dans ce cas, la fraction égale à tang (Q”, a pour numérateur

rsin 24(r—'— 7") — résin far — 7) + 7 sinGa (773 — 75) — etc. , quantité qui se réduit à

145 FONCTIONS ELLIPTIQUES, sin 2a—r"(sin2a + sin4a) + r*(sin {a + sin6a) — Fa »(sinGa-sinBa)-etc.

— 2cosa(sina— rsin3a + Fsinba — r'?sin7a + etc.) ; le dénominateur de la même fonction se réduit de même à 2sin a(sin a— rsin 3a + rfsin ba — r'°sin 7a + eo).

cos a

Donc, on a tangQ'— Q'=1ir—a, et lé équation (78) donne

sin a?

k' sin « cosæ

ARTE — [N' ie 1 ksinæ, Æ) — F'x] ira ae F(#, à) —E(K, a) |F' k; mettant au lieu de a sa valeur 2 HE PO RE U-HRER—KK'), on aura la formule

k'® sine cos æ

LG la ns SA NE (80) . TA 1m) [TT'( I + sin «, k) F'x] 277 — F'AE(K, «) H E'XF(X, à) LF'XF(K!, &), qui s'accorde avec la formule (#°) du chap. XXIIT, tom. I”. En second lieu, si l’on fait @ et x infiniment petits, on aura

do(r, a) *@(r, a)da'

RES x tang Q = — = log

. rK T der, Mais logr=—— tx F#, P}— ZK 85 donc, Q'=— x P: RE et de l'équation (78) on dédura

E(#, a) jo E'Z F(K!, a) NPA dO(r, a)

F'k — 2K'°@fr, a)da ?:

équation qui n’est autre que l’équation (44), dans laquelle on changerait

les -quatre quantités £, ®, g, x, en quatre autres #', «, r, a, respectivement.

1 : ; ’ k me 2K'a 180. Soit maintenant & infiniment petit, ainsi que à = ——,on aura F

PR TAN an net A/R LAN REP UT EE TPE EU KP F Sn —,

bit RE 2 me Rue + etc.

Soit T ou T(r, x) une fonction de r et x, ainsi exprimée :

T=i— CE ce 7) +7! Pen Fe) — MCE AL ni =) + etc., |

on aura

Le MR ne Maé «OT CE EE Re K Tdi ak /Tdx ?

et le second tÉare de l'équation (78) deviendra

£ dT (r — 1) aE(k, €) — ans Quant au premier membre, il se réduit d’abord à 13 DÉCOR | EMA RETRO ak ( @) Li—(1—#k"sin* «) sin® — | 0 et ultérieurement à , ( dg tang°® ri ak" f Et = a [tangoA(4, @)— E(k, 9)];

donc, la supposition de à infiniment petit donne l'équation

2K : PAC — Fe) FA g) = EC, p)— tangpA(, @).

Moltipliant tous les termes par 2KCE ou son égale —, on aura l’é- ?

quation différentielle

de sing de | E'}' ee mu nn = 56 LP —( i. Fr) F(k, o)dE(k, @),

dont l'intégrale est d E'F\ F° log T — log cos @ = Eg — ( — Fk) le 2) + const.

: Br d NL Si l’on suppose l'intégrale 1 . E?, prise à compter de ®—0, on trou-

vera Ja constante =log(1— 27+ 2rf— 279 Hetc.) = +? log EE donc FT

entre la fonction T et la nouvelle transcendante, ...

De CE

fes AU, E(#, ®), que nous représenterons par T(4, ®), cette équation (81) log T—log cos@ = (4, 9) — (1 — 5) 2 1108 PE 181. Une équation de même nature va nous être donnée par la formule (77), dans laquelle nous supposerons & et à infiniment petits. Nous

po , . TŒ dT avons RE trouvé que cette supposition donne (= — KT) (Île donne en même temps

150 FONCTIONS ELLIPTIQUES, A —=— ue log q. __gsin2r—2gtsin{x+3qsin6r— etc. 7« de(q, x)

1—2qcos2x +24 c0s41x—2qcos0x etc. 2K * O(g, x)dx' Enfin, on a dans le même cas A(k, @) AC, «) CAUCRE F(k,@)F(K, «) cot® cotx . KK'’ ECO EC)"

arc tang

cot@ *”° KK

D’après ces valeurs, l’équation (77) donnera un nouveau résultat, savoir, 7. dO(g, x) = dT di à F@&;,@) __ A(&,e) 2K'©(g,x)dx 2K' Tax ‘ 2K' K — “cot®

Multipliant tous les termes par — dx, ou par

F différentielle

ca aT d@ sin @ er) T+ x FU, ETAGE cos? ?

dont l'intégrale est

(82) log T(r, x) — log cos® = log © (g, 2) + F:(4, ®) + C".

nu AG,g> °n aura l'équation

Si l’on fait —=0etx —=0o, on aura la constante

C'—=] 1— 27 + 2rf— 279 Æ etc. 98 K'£

°8 1— 2q + 2q4—2q9 + etc. SKK 182. Si dans l'équation (82) on change les quantités k et @ en £’et «, et

par suite les quantités q, r, x en r,q, a, respectivement, la PUR T(r, x) deviendra T (9, a); de sorte qu’on aura ) Jp9)3 1

Ganber) pate RS T(ga)=i—9\g 7+g7 gg +7 )—9g UR un :

et cette nouvelle fonction sera détérminée par l'équation (83) logT(g, a)— log cos « — log @(r a)+- ER, #) + 1 lo EL ? O » 4KK' ] 2 8 K’E£' Si l’on substitue dans ces deux nouvelles formules les valeurs... ....

k 5 À AG; x+3 7 A r, mp (EP GER, con (UN ACER, asus

1 110 log T(r, x) — log seine ir FES log T(g, a)— log A(r, a+ :7)= Tu F°(4',a)+; log À KE:

K 2K’ et en substituant encore les valeurs F (4, @) = = Fa) = —— , On

pourra donner à ces équations la forme suivante : K's —* : | (84) T(r,x)=(r)r FAG,x+3i7), D'ANMET (85) T(y,a)=() 7 FA(r,a+ir).

D'où l’on voit que les fonctions T (r, x), T(g, a) s’expriment assez simplement par les fonctions A(g, æ ++ 37), A(r,a+2im); et comme lune des quantités get r est plus petite que -&, l’autre étant plus grande, et pouvant même être aussi peu différente de l’unité qu’on voudra, l’une des deux suites désignées par T(r, x) et T(g, a) sera toujours beaucoup moins convergente que l’autre. Or, la suite la moins convergente s’exprimera , dans ce cas, par celle des deux fonctions A, qui désigne une suite fort convergente ; de sorte que les formules den tes serviront à faciliter beaucoup la calcul numérique des fonctions T, comme elles serviraient à faciliter celui des fonctions A. Tout se réduit à substituer , dans le cas de non-convergence, une fonction À à une fonction T, ou, réciproque ment, une fonction T à une fonction A.

183. Revenons maintenant à l'équation (81); en la comparant à l’équation (82), on en tire cette nouvelle formule,

(86) lg O(y, x)= T4, 9) — EE

T(k, @) désignant l'intégrale [re D = 0.

On peut remarquer que l’équation (44), multipliée par dx, et intégrée , aurait donné immédiatement la formule (86); mais il n’était pas inutile de démontrer celle-ci par un autre procédé. Cette formule permettra de déterminer la fonction ®@(g, x) par l'intégrale T(Æ£ , @), qui présente plus de facilité pour être réduite en tables, comme nous l’expliquerons ci-après.

184. On sait que pour toute valeur de @ qui satisfait à l'équation F(£, ®)—=ml"'X, m étant un nombre rationnel, on a

T(—i+ sin æ, k,0) = mIl'(— 1 + 42 sin° &, Æ) + W,

aire

(k, ®) + + log

A(&, @) E(X, ®), prise à compter de

VWV étant une quantité déterminable par des arcs de cercle. De là il suit que dans tous ces cas la quantité Q’ cessera d’être transcendante, et

pourra se déterminer algébriquement par des arcs de cercle au moyen, de l’équation

rs à QD'= m(i7— a) + — W.

On pourra donc, en donnant à » des valeurs rationnelles assez simples,

trouver différentes formules plus ou moins dignes d’attention pour expri-

mer les valeurs correspondantes de Q’; mais nous ne nous arrêterons pas

à en donner des exemples.

La théorie contenue dans ce paragraphe nous a fait retrouver, par des moyens nouveaux, toutes les propriétés auxquelles nous étions parvenus dans le chap. XXIIT du tome [*, pour les fonctions à paramètre circulaire. Ainsi, nous avons trouvé, 1°. que la fonction type de cette espèce, représentée par [(—1+ #"* sin*æ, #, @), peut être exprimée par une autre fonction semblable IT(— 1 + Æ* sin* @, #', æ); de sorte qu'on peut échanger entre eux l'angle du paramètre & et lamplitude @, pourvu que le module Æ soit remplacé par son complément #. 2°. Que la fonction complète à paramètre circulaire peut toujours s’exprimer par des fonctions de la première et de la seconde espèce, et qu'il en est de même d’une fonction non complète, mais dont l’amplitude @ satisfait à l’équation F(#, ®)=mE"k, m étant un nombre rationnel quelconque.

De plus, les formules auxquelles nous sommes parvenus dans ces nouvelles recherches nous ont fait découvrir deux nouvelles transcendantes Q, Q', représentant des arcs de cercle, qui se déduisent aisément l’une de l’autre, et dont lusage est de faciliter autant qu’il est possible la détermination numérique de toute fonction proposée IT(— 1 + #"* sin° «, £, @), jusqu'à tel degré d’approximation qu’on voudra. On choisira, pour cet effet, entre les deux formules (75) et (78) celle qui contient la plus convergente des deux fonctions A et Q'.

Les formules dont nous parlons sont vraisemblablement ce que lanalyse peut offrir de plus parfait pour l’approximation des fonctions à paramètre circulaire ; elles paraissent préférables à toutes celles que nous avons données pour le même objet, et elles n’exigent de calculs préliminaires que ceux qui peuvent être faits aisément, soit par la table F"°, soit

par la table IX.

Ÿ X. Seconde manière d'exprimer les fonctions à paramètre logarithmique.

185. Puisque la fonction @(g, x) peut être exprimée par l'intégrale TK, = fs 7 E(#, @), ainsi qu’on l’a vu dans Part. 176, il s'ensuit

que la fonction dont le paramètre est — X*sin’æ pourra s'exprimer par le moyen de cette même intégrale, ce qui sera un perfectionnement notable apporté à la découverte de M. Jacobi; car, d’une part, on n'aura pas besoin de la table auxiliaire, qui servirait à calculer la quantité q par le moyen du module donné Æ; et d’autre part, il sera plus facile de construire une table des valeurs de l'intégrale T(#4, ®), d’après les données immédiates # et @, les mêmes qui sont employées pour trouver les fonctions F(£, @) et E(k, @), qu'il ne le serait de calculer la table des fonctions @(q, x), d’après de nouvelles données q et x. Ajoutez à cela que la méthode des ordonnées moyennes, qui a contribué beaucoup à faciliter le calcul de la table ni “re avec non moins de suc- E(k, @) A(R, ç)?

qui répond à chaque degré de l’amplitude ?, est déjà connue presque entièrement par la Pre de E(X, ®) comprise dans la table. Faisons voir d’abord comment on peut parvenir directement à la nouvelle formule de réduction, |

186. Soient g’ et ?” des amplitudes, telles qu’on ait pour le module commun #,

cés au calcul des intégrales k, @), puisque l’ordonnée 8 CN ro pas

Fo = Fo — Fa, Fo"= lp + Fa ; on aura en même temps Eg + Lo — E® — £* sin a sin ® sin @’, Eg + Ec — Eg"= #° sin & sin @ sin @”; d’ailleurs, les amplitudes @’ et ç” se déduisent des amplitudes @ et æ, par les formules connues

sin @ COS æÂæ — sin æ COS PAP

sin Di q 1— É* sin*« sin°® “ sin ® cos aBa+ sin æ a cos gAg 1— L* sin’ « sin°?

Tone HI. 20

sin "=

154 FONCTIONS eu Considérons maintenant la fonction Z=Ye"— SRE" — [+ = , E9';

, do d si l’on regarde &æ comme constant, on aura dFq' = Ho ou =)

re et semblablement Fe — # ; donc, Z — e (Ep" — Ey’). Mais, par les

formules précédentes, on a à Eg"— Eg'= 2Ëe — #* sine sing (sing" + sing n. ;

: 2sin @ cos «Aæ 1! an.

sin n sin = ; ? ? 1 — £° sin a sin‘@ ?

donc

Z = f[ (2Ee — 2° sin a cos aAa,.— te)

1 —k° sin? # sin° @/ ?

ou en réduisant,

Z = (2Ea + 2cotaAa) Fp — 2cotæAa Gi — K sin «sin @)A@ ?

donc on a la formule

Tp"— Top = 2EaFp — 2cotaAa[II(—Æ sine, k, p)—F(#, o)], à laquelle nous n’ajoutons pas de constante, parce que le second membre s’évanouit lorsque =—0 ; quant au premier membre, il devient Ya—TY(—). Or, il est aisé de voir que l'intégrale To = VE L E9, qu’on suppose prise

à compter de @—0o, reste le même quand on change le signe de ®, et qu’ainsi Ÿ@ est une fonction paire de ®. Donc, Ta = Y(—ax), et ainsi le premier membre se réduit encore à zéro, lorsqu'on a 9 = 0.