Nous parvenons ainsi directement à l’équation
(87) cotæAa[TI(—#* sin*a, #, ®) —F(#4, ®)] k jee EaF(Æ, ®) —32T(%, 9) Ha TC, ?'),
qu'on aurait également trouvée, à l’aide des équations déjà démontrées, cotæAu[II(—k*sin*a, k, ®) —F(#%, @)]
+ ane ed : ue
log Ox = T(4, p) — Ê Fe
En effet, puisqu'on a I — == . ®), ke — JF: us il en résulte
pie = F(4, ?) + F(k, &) = F(4, ®');
DEUXIÈME SUPPLÉMENT. 155 et en faisant les substitutions de x — a et xæ+ a à la place de x dans loo Ox, on en déduit
SD VE, 9) — AT, 9) + Re FU, a)F(E, 9), ce qui donne encore la même formule cotaAa [[I(— £sinta, k, @) — F(4, ®)] = E(#, a)F(k, 9) +2 TC, p) — 2 TE, @”);
et, parce que le module # est commun à tous les termes, on pourra écrire plus simplement
cotaAa[I(— k'sin*a, o)— Fo] = EaFo +119 —1To". Si l’on change « en ® et ® en æ, le module Æ restant le même, ®’ chan-
gera de signe, mais non T9’, qui est une fonction paire de ®’; on aura donc
+ log
cot PAP[T(— £* sim? , aæ)—Fa]=EpFa+IiTp—2TE": de là cette formule de transformation déja connue, (88) cotaAa[TI(—/#*sin°æ Am RTS PAG[TI (— Æsin®, a«)— Fa] — EaF? — EgFa, dans laquelle, si l’on fait @—+:7, on aura, pour déterminer la fonction complète, l’équation cot &Aa [TI (— A sin, 4) — E'k] = EaF'k —E'XTe, qui s'accorde également avec la formule connue.
188. Il faut maintenant entrer dans quelques détails sur les moyens de calculer l'intégrale Ÿ (£, ®), et sur la figure de la courbe dont ® serait l’abscisse et T(%, ®) l’ordonnée; on va voir que cette courbe s'approche beaucoup de la simple parabole dont Péquation est Ay = @*, et qu'il y à entre ces deux courbes une infinité de points communs placés à distances égales dans le sens de la ligne des abscisses. :
Considérons d’abord les deux amplitudes 4 et ®, qui satisfont à la formule de duplication F(k4, 4) = 2F(%, @), nous aurons D = De | AE ae " ___ 24% sin°@ cos pAp LR -
2E9 — Ed = #* sin° @ sin 4 — EEE FRET im Fo ,
d 1 Pi = IE =: / REY; donc 2YP— TN = 3 (20 Het
1e sin° @ cos @
mers 1— k° sin* @
de = — + log (1 — Æ* sinf ®). D'où A voit que la
156 - FONCTIONS ELLIPTIQUEÉS, fonction YA se déduit très simplement de la fonction Y@, qui répond à une fonction F@, moitié de la fonction F4 ; on aura , en effet, (89) T4 = 4T9 + log (1 — À? sinf ?).
Réciproquement , la fonction Y@ se déduira de la fonction TA par l'équation Tp= 2 TAN — 2 log (1 — 4? sinf@). D'ailleurs, pour déduire @ de 4, on a l’équation tang + — Ag tang Y, A Ve. a __ cos’? ; AT dus sin AS RE d’où résulte 1 — # ue CP TUR et ensuite sin ® = 171 cb ONE ou ar Au PT Telles sont les formules de réduc-
tion qui se rapportent à la duplication des fonctions de la première espèce. 189. En second lieu, on peut tirer des fonctions complémentaires d’autres formules de réduction. Soit F® + F5 = F'X, on aura.
É D = 0, Fe Evo — Eh = Et sin g sin 5 = Eee, et des équations T® =fS E®, To =fT Ec =—/f2 Es , on ürera TO—Y> —[$ (Ep + Es) = [RE + NERF — +log(1—/k%sin? @) + const. Si l’on fait ® — 0, on auras = À7, et la constante =—T17 ; donc, ayant supposé Fp+ Fo —F'#, il en résulte la formule (90) To =T;7 + TP — L'AFE + log AY.
Soit os —=0,ou g—+7, cette formule donnera V7 = SEXE '# — 2 log 4. | On trouverait le même résultat en faisant 5 = @ ; car alors on a Fp=25F#£ et Ap=y#!.
= à Fa à ; a rer Si dans la même formule on fait à la fois ® = et 5 =— 2147, on aura
sin ® —
To=TiT, Fp—2F'£, »AP— Tr; par conséquent, (oi) Tr = 2F'XE'4.
Soit maintenant Fo + FL = F7 = 2F'#, on aura
Ep+Ed=2E4, p+d=7, dg+dl=o, A@= A ; d d donc TT =f(REe- SE) = fÈ (Eo+E4) je REX = 2E'XFE + C.
DEUXIÈME SUPPLÉMENT. 157 Soit p—2i7, on aura 4=—}ir; donc C = — 2E'AF'EX, et l'on a la formule (92) Tp=T(r—p)—2L'X (FA —F).
Cette équation fera connaître la fonction T@ depuis P—;7 jusqu'à Q=T, en supposant qu’elle soit connue depuis @ = 0 jusqu'à P=:7; or, il n°y aura jamais lien de passer cette limite quand on appliquera la formule (83) à la détermination de la fonction H(— #* sin @, Æ, @). Mais examinons quelle est la loi de progression de la fonction T® depuis 9 = 7 jusqu’à ® = oo.
190. Si l’on change le sione de ® dans la formule (92), on pourra, des deux équations, en tirer une troisième , Savoir :
(03) T(r+e)+T(ir—p) = 2TP + 27.
Dans celle-ci, faisons successivement Q=1?7,æm,È7, 27, elc., nous aurons, en ayant égard aux résultats déjà trouvés,
Tir 2iPékE'k— : log, V7 = 2FKE'Z,
Vixr=Tir+ 2VT7, VIT IA,
Tir=Tir+ GT, NN Te
Tir=TiTr+ Tr, TAx= 16 T7, etc. etc.
2 = , . , Il s’ensuit que » étant un entier quelconque, on aura généralement
Go) Tr) = Er og 7, (em) = Tr.
Si l’on imagine donc une parabole qui ait pour équation Ay = x, le para-
\ , ie 7° mêtre À étant — où ——— 1 - 7e OÙ PKR la courbe dont les abscisses sont ® et les ordon nées T®, rencontrera la parabole dans tous les points où x est un multiple
de 7. Dans tous les points intermédiaires , l’ordonnée de la courbe surpassera 2 , av I A CUS l’ordonnée de la parabole de la quantité constante : log gr quantité d’au-
tant plus petite, que le module Æ sera plus petit ; mais en même temps le point de la courbe qui a pour abscisse (7+1)7, sera toujours situé au-dessous de la corde qui joint les deux points dont les abscisses sont 27
et (z+1)7, la distance étant 1 T7 — 2 log go ou 3 FE — À log D quantité qui a pour limite log 2.
191. Si l’on suppose l’amplitude 9 très petite, on aura, pour déterminer T9, la formule approchée
158 FONCTIONS ELLIPTIQUES, d : MEN Set 1 DR @5) Te RE (ire do),
dont l'erreur ne se fait sentir que dans les termes de l’ordre g*. La parabole
osculatrice de cette courbe aurait pour équation y = ?., et son paramètre serait égal à 2. Dans la parabole que nous avons tracée, le paramètre
x° . , « A 0 AE ES il est égal à 2 lorsque Æ est très petit, parce qu’alors on a
F'XE4= — et lorsque 4 — sin 45°, on a À = 1.9706. Aïnsi on voit que même à l’origine des abscisses, les deux courbes se touchent et sont presque confondues, à moins que # ne soit très près de l’unité.
Maintenant il est aisé de voir comment, pour une valeur donnée de @ moindre que +7, on calculera la valeur approchée de RO Te. Si
l'amplitude @ est très petile, on aura TP =: (i + à k*ç° Ne l'erreur n'étant que dans les quantités de l’ordre @f:
192. Pour ramener à ce cas celui où l’amplitude & a une valeur quelconque moindre que 27, il faudra, par les formules de la bissection, calculer les amplitudes 9’, @”, ®"', qui répondent aux fonctions 2F@, 2F, 2F®, etc., et l’on parviendra bientôt à une amplitude @ assez petite pour que l’on puisse négliger les quantités de l’ordre (@#)$ par rapport à (g)*, ou les quantités (@“)f par rapport à l’unité. Arrivé à ce terme, où l’on a immédiatement la valeur de T(g“), on remontera de chaque te à l'amplitude supérieure, comme nous avons vu que l’on peut remonter de l'amplitude @ à l'amplitude 4, ce qui se fait par la formule
T(d) = AT (D) + log(1 — Æ*sint ?).
La multiplication par 4 appliquée à la fonction Y@ pour en déduire TY(), se répète autant de fois qu'il y a de termes dans la suite des amplitudes calculées @', ®", ®”, etc.; mais le degré de lapproximation, rapporté à un terme fixe, est toujours mesuré par les quantités de Pordre (ox}f. |
193. Pour donner un exemple de ces calculs de bissection, supposons qu'étant donné T £7 = 2 F'XL'X + 2 log Ge); on veuille avoir la fonction TT? qui répond à l'amplitude 9, telle que F@ — 1 F'X; il faudra, dans les
formules de duplication, faire L = ?+, sin°@ — Fr? Se.qui donnera
Tale mL log ps 2£'VR.
semblablement , si Von prend l’amplitude @’ telle que F9 =2F'#, on
trouvera
To'= 3, F'AL'k — > log ee — log (1 —#* sint ');:
ou To = + F'AE'k — 2 log
formule où il restera à substituer la valeur
VG+HA)— 1 (HV) VG+RA)
sin° ®' —
194. Ces méthodes feront connaître la valeur de toute fonction proposée T(4, ®) dont le module donné est #, et dont l’amplitude @ est prise à volonté de o à 57. Mais s’il s’agit de la construction d’une table, il serait trop long de calculer chaque terme par les procédés indiqués, et lon ne pourra mieux faire que d'appliquer la méthode des ordonnées moyennes à la for-
nes d : :
mule intégrale f 1 E®, comme on l’a fait dans la construction de la table 1X
pour les fonctions de la première et de la seconde espèce, représentées par les intégrales [ JfdgA9.
On se proposera donc semblablement de calculer la table des fonctions
Y(k, ®), pour toutes les valeurs, de degré en degré, tant de l’angle du module que de l’amplitude , depuis o° jusqu’à 90°. Pour cela, il faut avoir,
