LA E
pour chaque demi-degré du quadrant, la valeur de Eee quireprésente l’or-
donnée moyenne employée dans le calcul. Et parce que la valeur de Eg n’est donnée immédiatement, dans la table IX, que pour les degrés entiers, on pourra se borner, dans une première opération, à construire la table de 2 en 2 degrés d'amplitude, sauf à intercaler ensuite une moyenne entre deux termes consécuufs, si l’on veut étendre la table à tous les degrés d'amplitude.
$ XI. Solution d’une difficulté relative à la démonstration de léquation (44) de Part. 156.
195. Nous sommes parvenus, dans l’article cité, à une équation dont les deux membres étaient des fonctions semblables, l’une de x, l’autre de æ+2im; celte équation pouvait être représentée par dx = D(x +257). Nous en avons conclu que chaque membre est une quantité constante ; et comme dx s’'évanouit, ainsi que D(x + +7), lorsque x — 0, nous avons cru pouvoir faire en général x = 0, ce qui est l'équation (44).
On peut opposer à cette conclusion que deux fonctions telles que dx et D(x ++i7), pourraient être égales pour toutes valeurs de æ, même devenir nulles simultanément pour un certain nombre déterminé de valeurs de x, sans cependant se réduire à zéro pour une valeur quelconque de x. Par exemple, si la fonction x était composée d’un ou plusieurs termes de la forme Æ sin 4mx, m étant un nombre entier, on pourrait substituer x + +7 à æ, sans changer la fonction ; de sorte qu’on aurait toujours Dr = D(x+;ir): de plus, les deux fonctions s’'évanouiraient pour toute valeur de 4x égale à un multiple de +, et cependant on n’aurait point en général Dr = 0. |
Pour résoudre cette difficulté, nous aurons recours aux formules de duplication que nous avons rapportées dans Part. 159; et d’abord il faut prendre, dans l’art. 151, la formule (39), où l’on mettra 2x à la place de x, ce qui donnera
C'O2x = Ofx — Ax.
pr mt . I\3 Ax S 25 4 :
Nous avons d'ailleurs sin ® = (- 5, > ainsi, en substituant la valeur 1 3 Ax = k° Ox sin @, nous aurons C'O2x = Ofx (1 — £° sinf ?).
Cette équation, étant différentiée logarithmiquement, donne
dO2x __ {dox 4E* sin° @ cos t2%x Ex 1— É sint@ Re
Si l’on fait ensuite F4 = 2F?, on trouvera aisément, par les formules de l’art. 158, que l’équation précédente peut être mise sous la forme
2K d@x en OR dO2x 7 (Ep ny) el?) TT Exdx + Fe (EN we” F4) se ms)
Il en résulte par conséquent Dx —1}D(2x), seconde propriété générale des fonctions ®, qui doit être combinée avec la propriété déjà connue
DEUXIÈME SUPPLÉMENT. 161 Dx = D(x + :7); elles supposent toutes deux que le module k reste le même pendant que æ varie.
Or,ona Fo et LE? = fa [TS Gi—r2S). Ainsi, on voit que la quantité dx, qui représente le premier membre de l’équation précédente, peut être développée en une série procédant suivant les puissances ascendantes et impaires de x ; de sorte qu'on aura
Dr = Ax + Br + Cri + Dx’ + etc, A,B, C, D, etc., étant des coefficiens constans : mais alors on aurait aussi
D(2x) = 2Ax + 2°Bx + 25Cx$ +w/Dx L etc. ;
et de l’équation ®x = :® (2x) on conclura B—0, G—=0o,D—o, etc. Il resterait donc simplement Dx= Ax, valeur qui ne s'accorde avec la seconde équation dx —D(x+:7) qu'en supposant A —o; donc on a généralement l'équation Dre 0, que nous voulions démontrer. Mais il y a encore une manière non moins satisfaisante de parvenir au même résultat.
196. Dans l’équation (35), mettons 9° à la place de 9, et 2x à la place de x, nous aurons
(= ye (g*, 22) — O (g;, x) (©) (g, 27 Et x).
Comme on a d’ailleurs
(1 — ke sin* @) TR À Aie di) et par conséquent
®(q,imr+ax)=(#) *O(g, x) (1— sine) = O(g,17—x),
l'équation précédente pourra s’écrire ainsi, [(EZ KE) © (g*, 2x) — ©°(q, x) (1—k*° sin *@),
el sa différentielle logarithmique sera, en supposant dO(g, x)—©"(q, x)dx, 2dx©" (q, 5) 2dx©"(q°, 24). — fdg sin @ cos g ©(g, x) ©(g", 2x). 1— k* sin° @ dp
Si l’on substitue dans ce résultat la valeur Re E A(k, ®), on en déduira F 4 ù
équation ©"(g; æ) ©" (g”, 2x) — Kë sin @ cos ?
O(g,x) ©(g®, 2x) #7 ‘ A(k,@) D'un autre côté, nous avons (art. 167) l’équation Tome HI. | 21
KF, K° 2K° GE, 92 GE, q)= 2
sin @°;
ct, en comparant les seconds membres de ces deux équations, on s’assure aisément qu'ils sont égaux ; car, suivant l’art. 63, tome 1*, on a 2 sin ® cos @ mn: 1H k° T A(&k,@) = 5 — KÆ*; c’est ce qui résulte des valeurs connues K —(1+-#°)K°, La TIRE Fe cr GE, Dre Gr GE, g°) RS )
où l’on remarque que le second membre n’est autre chose que le premier, dans lequel on mettrait Æ° et g° à la place de # et ®; car cette substitution exige qu’on mette en même temps g° et 2x à la place de g et x.
Cela posé, si l’on désigne le premier membre par ®(4, @), le second membre sera ®(4°, @°), et l’on aura D (4, p) — D(EÆ°, p°). Par la même raison, on aurait ®(4°, @°)— (4°, p®), DOS, po) — (A, p°*), etc. ;
sin @ = 11 reste donc à faire voir qu’on a.,.......
Donc on aura l’équation
donc on aura en général ®(k4, @ç) = ®(#", ®“). Supposons que la suite #, k°, 4%, elc., soit prolongée jusqu’à un terme #, qu’on puisse regarder comme négligeable, ou même infiniment petit, alors la valeur de g, cor-
pondante au module #”, sera le terme de rang dans la suite g*, gt, g%, elc., et par conséquent sera g* ; d’où l’on voit que ce terme sera en-
core beaucoup plus négligeable que k° : et puisqw’on a
& PS Ut & D a & —2K G ' Le eg 2 x) PRÉC, dre,
on pourra , dans le second terme , faire HE # Dig or) = 1e e0 (ae en,
FT
[E(#, p)—éF (Æ, @")]. Mais dans ce cas, où #° est censé in-
: SACS Hal Le ce qui réduit la valeur de ®(Æ , ® ) au premier terme
.finiment petit, on a K“=17 =L'£#", “1 ; on a de plus E(#", =, g")—=@"; donc ®(#", g")—= 0 :
donc on a en général D{Æ, @)—=0, ou
2K : @"(g; +) pe CUP) ee To
6 XII. Démonstration d'une formule générale qui s'applique à un grand nombre de transcendantes.
__ fadx.
— a)y/(ex) ?
px désignent des fonctions entières de x. Cette intégrale se rapportera aux foncüons elliptiques tant que la variable æ ne passera pas le 4° deoré dans @x , mais au-delà de ce degré elle désignera des transcendantes d’un ordre de plus en plus élevé. IL s’agit de faire voir que toutes ces transcendantes jouissent d’une propriété générale analogue à celle que nous avons trouvée , pour les fonctions elliptiques, dans le chap. XVI, tome [°, du Traité précédent.
Pour cela, supposons que la fonclion entière gx est le produit de deux autres fonctions aussi entières, que nous désignerons par @,x et @,x, de sorte qu’on ait Px —@,x.@p,x. Soient en même temps 8x et 8,x deux autres fonctions entières de x, ainsi exprimées ,
(1) fx — a, + ax + ax + ax... .+ 4,4, Bx= GE ax Her... + x,
lesquelles salisfassent à l'équation
(2) COLE — (Bx) px = (x —x,) (x —x,) (x —x3).. .(x — x).
11 faudra donc que le premier membre, développé suivant les puissances
dans laquelle he
