Considérons l’intégrale Lx — TE G
de x, donne identiquement le même polynome en x, du degré p, qui résulte du développement du second membre. Quant aux coefliciens a, , 4,...a,, Coy Civee Cm Qui entrent dans les fonctions 8x, 0x, ils sont supposés fonctions d’une même variable y indépendante de x, et cette variabilité n'est point partagée par les coefliciens contenus dans les fonctions @,x et P,x , lesquels doivent être considérés comme constans, ainsi que la quantité & comprise dans le dénominateur x — æ,
Cela posé, nous nous proposons de démontrer qu’on aura généralement l'équation
€ (x) 6 dx, + Eds... + DRE
() 13 Le y, eV Que) + Bey/Cue)
con 8 Geo) et/ou) TX);
C étant une constante et TI(X) désignant le coeflicient de : dans le de-
veloppement, suivant les puissances descendantes de x, de la fonction
7 Tes
x = El pue Vis) bi (ax).
(r—a)V ox © box) — trl/ (our)
Quant aux coefliciens €,, &,,... &,, ils doivent être 5 ou —1, selon les différens termes Ÿæ, Adxr,,...4æx,, auxquels ils sont affectés. Voici maintenant l’analyse qui conduit à la démonstration de ce théorème général.
198. Appelons P(x) le polynome en x du degré , qui forme le premier membre de l’équation (2), et Le de que x désigne l’une quelconque des quantités &i, Æ,, Xs,...%,3 Cette supposition donnera
PL) OO DEP ÿ la différentielle de léquation P(x) —o,
prise tant par rapport à æ que par rapport à la variable y, qui entre dans les coefliciens des fonctions Ûx et 6,x, sera
P'x.dx + - re D | 4}
Et puisqu'on a Px = fxp,x — es la différentielle de cette quantité, par rapport à y, sera
(cour. De — 20,XÛ, 2e) dy ;
de soute qu'on aura d,x dôx ! — 1 .
P'xdx = ( 29,X0,x dy — 29,.x0x 7) dy 5 mais, d’un autre côté, comme on suppose Px=—o, on aura
bc V(P,x) = c,xy/(P,x) > e étant 1, ce qui donne Bxp,x — d,xy/(pixp,x) = e8,xy/ (ox), bærpx = dbxy/(pirex) = dx p/ (x);
donc, on a l'équation différentielle P'x.dx = 26y/(@x) ) (Gr. Bit dx Te) dr, ou en distinguant par d les différentielles des fonctions 6x, 8x, prises par rapport à y seule, P'xdx = 2ey/(px) (Oxdh,x — 8x dx).
Mulüpliant de part et d'autre par €. :
fx L V' x)" P'x' zx fx. dx
een aiecre (8x d',x — 8,xd'bx).
, on aura
On a désigné par x l’une quelconque des quantités x, &,, Æs, ... 2%, ; si donc on fait successivement la même substitution pour toutes ces quantités, et qu’on ajoute tous les résultats, leur somme pourra être ainsi exprimée :
xdx
Ps D (Gxd dix — xl).
(x—«)v ox (x Er Or, on va voir que l’opération indiquée dans le second membre fera disparaître entièrement la variable x, pour n’y laisser que la variable 7; alors, en intégrant les deux membres, on aura, d’un côté, ZeJx, quireprésente la somme des intégrales ex, + ex, + ess... et de l’autre une fonction en y qui ne dépend que des coefliciens compris dans les fonctions 8x et 0,x.
199. Désignons par Ax la différentielle 2fx(@xdô,x — 4,2 dx); Ax sera un polynome en x, d’un certain degré #, dont les coeficiens seront fonctions de y ; ce polynome pourra être mis sous la forme Ax=Aa+(x—#)à,œ, 2,2 étant un second polynome du degré £— 1; nous aurons donc
Z (x — 2)P'x EE (x -— )P’x
mais on a Pa —(a—x,)(t—x,)(a— xs)....(a—x,),
et si l’on fait
les coefficiens A,, A,... A, étant indépendans de &, on aura À, égal
TX I =; lorsque æ = x,, cette valeur — = ; donc
« Œ à la valeur de * F Yi
Pa
Par Gba ue cbr DU nr ren
et réciproquement
