FIS

l'art. 7; il faut prouver qu’en mettant au lieu de x, et 7 au lieu de

y, cette équation pourra subsister, pourvu qu’on donne à la constante k

une valeur convenable.

En effet, par la substitution dont il s’agit, le facteur général Fee . 1 — A°x° sin? a devient FE LEReen donc la quantité dl , formée du produit | sin’æ À Tome II. 29

: CM . Ve de plusieurs facteurs semblablement exprimés, deviendra +.5, en fai-

170 FONCTIONS ELLIPTIQUES, sant, pour abréger,

À = kP—' sinf a, sinf a, sinf @. . . , sin &,,;

4 »7r . Ti et à la place de l'équation y — = y? 0 aura

Or, il est visible que ces deux équations s’accorderaient entre elles si l’on avait À —u°kA, c’est-à-dire en substituant la valeur de w,

h —\hr sinf a, sinfla, sinf 5. "sin 4,1.

Il est donc démontré que la double substitution de à la place de x, et

de Fe à la place de y, qui peut se faire sans donner aucune valeur à X

dans l'équation différentielle dx 193% dy . : se ; . pat ; pourra se faire aussi dans l'équation finie y — =" y? Pourvu qu'on donne à h la valeur qu'on vient de déterminer.

U 4 À vd .

.yaété déduite de

Il faut se rappeler maintenant que l’équation =: l'équation (4), qu’on peut mettre sous la forme (— LE ) (+ de ) (+ F sin «, sm Œ3 SIN Cp»

I — | (05 een BC NL F À - Te se : = : .

“A ( sn ) 1 — k°x° sin“ Lil — k°x° sin? Ap=3 1— x sin a,

Ainsi ces deux équations ne sont réellement qu’une seule et même équation entre y et x, mise sous deux formes différentes ; et puisqu'on peut faire la double substitution dans la première équation, en donnant à h une certaine valeur, on pourra la faire aussi dans cette dernière , avec la même condition , ce qui donnera le résultat suivant :

I B 1 N (1 — kxsin &,)}? (14 x sin &3)° (LE Ar sine) un — = I a ——— ————— 0 —————<— à hy ( F Xx x? T2 | a É CT PIERRE T2 I —— I ——

SIN sin? æh 3 Sin° a

p —1 I RES Ne . . . . .

E— (— 1) 2 AT! sin° &, sin° à, sin° &3.. . . sin” &,, Sin° &,..

202. Nous avons déjà remarqué qu’on pouvait changer à la fois le signe de x et celui de y; ainsi les deux équations précédentes, qui don-

nént les valeurs de 1 — y et de 1 — > donneront, avec le changement A . , Li « 4e indiqué , celles de 1 + y et de 1 + re Multipliant donc entre elles ces

quatre valeurs, on aura le produit

4 1 % 1 B'T° G—r)G—)= 6 — 2) (7 UV’?

où l’on a fait, pour abréger, E=P0;

- CRÉES ONCE get (: ju) =) sin’ &s ds cr sin® a5/° °°" ; sin” 1) $ Q—={(1—/x" sin" a,)(1—kx° sin as) (1— x sin" as)... (1— kx* sin, ,). De cette équation on déduit : h2B°T° GED EEE CNE") CE MEME TE,

puis faisant X — = U; OUR = , On aura (VX) (VE EX) = (1 — ae?) (1 — ex) Te.

La supposition x = 0 donné X—0o, V=:, T = 1. Ainsi, dans ce cas, l'équation précédente se réduit à B°4°= {‘u*; c’est en effet ce qui résulte des valeurs trouvées de B, k et w. On a donc plus simplement (V3 — X2) (V2 EX) — (1 — x) (1 — x?) T°.

Le premier membre est le produit des quatre facteurs V—X, VEX, V—NX, V+HAX, qui sont des polynomes en x du degré p; car cela résulte des valeurs

V=(i — x Ent æ,) (1 — in sin &;).... (1 — k’x°sin°a,.),

À — ie = 2) ( =). oser ee (: ee =) , sin” C4 7 sin’ 4 Sin pi

où l’on voit que V et X sont des polynomes en x, le premier du degré p —1, le second du degré p. Nous avons donc l'équation

(V—X)(VHX) VX) (VE RX) = (1x) (1x) (1 ke) (14 kx)T, dans laquelle les quatre facteurs du premier membre sont premiers entre eux, puisque V et X, d'après les valeurs précédentes, ne peuvent avoir aucun commun diviseur. Il est d’ailleurs facile de voir que chacun de

172 FONCTIONS ELLIPTIQUES , ces facteurs est le produit d’un facteur simple par le carré d’un polynome du degré E— ; car nulle autre supposition ne pourrait faire que chacune des quantités V—X, V+X, V— ZX, V+AX, fût un polynome en x du même degré p, et que le produit des quatre fût représenté par (1—x)(1+x) (1 — kx) (1 + kx) T?.

205. Il faut prouver maintenant que la valeur y — : satisfait à l'équation différentielle

LA0e AE RME T1 ÉRN AL EN AUTRES voa. va =#z) Var). Va —Fr)

En effet, on a d’abord

Appelons, pour abréger, Z le second membre; on aura, en désignant par € une constante quelconque, d(V — cX)

dX = N— x Ex

Par cette équation, on voit que si V — cX a un facteur double tel que (a — Ex), il y aura nécessairement dans Z un facteur simple à — 6x :

or, on a trouvé que tous les facteurs doubles qui entrent dans les quantité V—X, VÆX, V—2X, V+AX, composent, par leur produit, la ee de T*. Donc la quantité Z est divisible par tous les facteurs de T , et par conséquent est divisible par T. Mais X étant un polynome en x Le dE By et V un polynome du degré p — 1, la

quantité Z — VE FR ne est un polynome du degré 2p — 2. D'un autre côté, on sait que T ou PQ est un polynome du même degré 2p— 2.

Z “3 UE , nd Donc :- est une conslante qui, étant nommée À, donnera Z — AT=V: 2.

fi dr TAT: SAT TOUL TE LUE à) De là resulte De = 5) mais on a trouvé T V4. TG Er) donc a Ca AP US D F— VG—zx).V(i1— x?) — 1° dx?

ou LICE DANSEUSE er 1, VO—r) VO — Br) VG— x). va Ex)

De plus, en faisant x infiniment petit, et négligeant les quantités de l’ordre

2 x dX Z I x”, on a ro Ni LT Z=NS =); donc A=5= Donc

x 7 . » Q X e Q LM enfin l'équation algébrique y = + satisfait généralement, pour toute valeur du nombre impair p, à l'équation différentielle

PPT UE) 5 LORS RE AP à ag 2 2:

va—a).va—#Æz) VO). va —rr)?

et par conséquent à son intégrale SO SA PEU

C'est en cela que consiste le principe général de transformation que nous voulions démontrer.

EL. Construction géométrique par laquelle on peut multiplier à volonté la fonction de première espèce F(c, 9).

204. Étant donnés le module c et l'amplitude @, on peut trouver, par une construction géométrique assez simple, l'amplitude @, qui convient à la fonction F(c, @,) égale à nF (c, ®).

Pour cela, sur la circonférencé décrite du centre C (fig. 1), avec un rayon égal à l'unité, prenez l'arc AM; égal à 29 ou 29, ; prenez ensuite, à compter de la même origine À et dans le même sens, l'arc AMM, égal à 20, ; tirez la corde M,M,, et divisez en deux également l'angle AMM, par une droite M,D, qui rencontrera en D le rayon AC prolongé. Du point D comme centre, et du rayon DO perpendiculaire à la corde AM,, décrivez une seconde circonférence qui touchera les deux cordes AM,, M,M,. Cela posé, si du point M, on mène au petit cercle une troisième tangente M,M:, qui rencontre Ja grande circonférence au point M, ce point M; déterminera l’arc AM,M,M;, — 29, , dont.la moitié 94 servira à la triplication de la fonction F(c, @), de sorte qu'on aura

Fc D) ER REGSROE

De même, si du point M; on mène une nouvelle droite M,M,, qui soit à la fois tangente au petit cercle et corde du grand , on connaîtra le point M,, qui détermine l'arc AMMMM, = 29,. Continuant ainsi indéfiniment, on formera un polygone dont chaque côté sera tout-à-la-fois inscrit dans la grande circonférence et circonscrit à la petite. Ce polygone déterminera, par les sommets M,, M,, M;, etc., de ses angles successifs, tous les arcs 2@,, 2@,, 23, etc., dont l’origine commune est À, et qui, à compter du second, servent à multiplier la fonction F(c, æ) par les nombres 2,5, 4, 5, etc., jusqu'a telle limite qu'on voudra; d’où il suit que, par une construction géométrique très simple qui n’exige que la règle et le compas, on peut parvenir à déterminer l'amplitude ®, qui satisfait à l'équation F(c, @,) = nF(c, ®), n étant un nombre entier quelconque. On résout ainsi géométriquement un problème d'analyse qui présente d'assez grandes difficultés (tome I", art. 22).

205. Les données dont nous avons fait usage dans la construction de la figure sont l'amplitude @ de la fonction donnée et amplitude ®, de la fonction double F(c, @,); mais on peut déterminer le centre D et le rayon DO du petit cercle par les données immédiates c et @.

Soit, pour cet effet, AD— 1 + e et DO — r; puisque l'arc AM, — 29,

on a BM,— 7 — 29, et l'angle À du triangle rectangle ADO sera égal

a 27 — ®; donc DO=7r—(1 + e) cos ®. D'un autre EH la corde AM,=—»sin9; donc OM,=(1—e)sin® et tangOM,D— EL mu

—— cOt done — 1—e CAE Suivant notre première construction, l'arc AMM, = 29,, et par conséquent le reste de la circonférence AM, = 27 — 2@,, ce qui donne

l'angle AM,D — = — =®,. Mais en faisant A — y/(1 — c° sin* @), on sait

que l’amplitude " se HE par la formule tang L@, = À tang @; on

aura donc =—°— A, ou e— À

mules au moyen desquelles les inconnues e et r se déduisent assez fa-

cilement des données c et @; et, de cette manière, on évite l'emploi de l'amplitude @,..

On voit que les quantités e et r, qui déterminent le centre et le rayon

du petit cercle, ne sont point constantes, et qu’elles varient avec l’am-

plitude @ de la fonction qu’on veut multiplier. Il existe seulement entre

et r=(1+e) cos ® = —— for-

ces deux quantités et le module c l'équation r° = (1 + e)° — 1e d'où il

suit que e, distance des centres des deux cercles, est toujours plus petite que le module c° qui suit c dans l'échelle ordinaire, dont l'indice est 2; car Rite TG + ce)

206. Jusqu'ici nous n'avons fait qu'expliquer la construction de la figure , soit d’après les données @ et ®,, soit d’après les données immédiates c et ®. Il faut maintenant démontrer que la construction du polygone dont AM, et M,M, sont les deux premiers côtés, donne effectivement les points qui répondent aux amplitudes sans cesse croissantes 2@,, 2@3, 204 , etc., par lesquelles la multiplication de la fonction F (c, @) peut être opérée pour un facteur entier quelconque.

Pour rendre la démonstration entièrement générale, nous supposerons qu'après plusieurs circonvolutions du polygone les deux sommets consécutifs M,, M, représentent les extrémités des arcs 2@,,, 2@,. Si le polygone n'avait pas achevé une révolution pour parvenir du point A au point M,, l'arc AMM, serait 27 — 29,,; si, pour arriver au même point M, , le polygone a fait { révolutions, le même arc AM,M, sera 27 (i+ 1) — 29,,. Dans cette dernière hypothèse, qui s'applique à tous les cas, l'arc AM, sera pareillement 27 (i Æ 1) — 29, Joignez

on a c°

176 FONCTIONS ELLIPTIQUES, DM, , DM,, AM, AM, pour former les triangles ADM, , ADM; , DM,M:.

Dans le triangle ADM,, on a les deux côtés AD = 1 +—e, AM, = 2 sin (7i H 7 — Qui) = 2 Sin Qs-, COS mi, et l'angle compris

DAM, = Qui — - (oi + 1); on aura donc le troïsième côté par la formule

(DM, = (1 + e) — 4e sin @,; = p"; on aura semblablement (DM) = (1 + €) — 4e sin° ®, = q°.

Avec ces deux côtés, que nous appelons p et q, et le troisième, ... MM; = 2 sin (@,— Qrr1)— 7, On trouvera l'aire du triangle DM,M, par la formule connue S= 5 {2r (P+ 9) — gt (p°— gY]

Cette mème aire — +ry; donc on aura

Aie (PRATND ENRSE Te, Substituant les valeurs = 280 (Pr — Pur)

p+g=2( He e} — 4e (sin @, + sin°@,),

P° — (1 —— 4e (sin* ®y — Sin° Dune) — 4e sin (Pr on vu Du) sin (Pa En De) on aura

4 = 4 (1 + 0e) — 8e (sin @, + Sin ps) — 4 SIN (Pr — Pr1) — 46° sin? (Pr + Par) »

— COS (P, — Pa) + 2€ COS (Pa — Pa- + cos (Pat pire) Re €* COS” (Pa—+ Par) et en extrayant la racine carrée, on obtient ce résultat très simple

D COS (Pr — Par) + € COS (Pr + Pr) »

ou “

r=(1+e) cos @, cos P,, + (1 — e) sin @, sin @,. Maintenant, si l’on se rappelle que l'équation transcendante Fu—Fr=F est satisfaite par l’équation algébrique COS j4 COS » + Sin y sin »AQ = cos ®,

? Ci e on verra qu'en faisant w —@, et » — @,,, ce qui donne Fu — Fr — Fo les deux équations précédentes s’accorderont entre elles si l’on a

DOME Cr = cos 9.

Or, ces deux équations sont précisément celles qui déterminent les deux quantités r et e; donc, en vertu de la construction géométrique que nous avons indiquée, deux sommets consécutifs du polygone indéfint qui en résulte sont tels, que si le point M, termine l'arc 29,,, le point suivant M, terminera l’arc 29,. Or, dans l’origine de la construction, on a désigné par M, le point qui termine l'arc 29, ; donc alors le point M; a dû terminer Pare 29, ; et ainsi, en prolongeant le polygone indéfiniment, on obtient successivement toutes les amplitudes ®,, P3, Qis Ps, etc., qui servent à la multiplication de la fonction F(c, @), suivant l'équation générale F(c, ©,) = nF(c, ®).

Nous remarquerons que, pour ne pas tomber dans des cas où la construction deviendrait embarrassante, on pourra toujours se borner au cas où l'amplitude donnée @ est moindre que 17; car toute amplitude plus grande que £7 peul être représentée par i7 £@, @ étant moindre que 27 : alors la fonction correspondante — 2F'cHF(c,@), et cette fonction, multipliée par #7, serait 27iFc ÆE Fc, @,), en supposant.... HÉCATARE=ATE (ON ED)

Lorsqu'on suppose 9 = +7, le rayon du petit cercle r devient nul, et le polygone, dont le premier côté se confond avec le diamètre AB, a tous ses côtés superposés sur ce même diamètre ; alors la construction est sans objet, puisque la fonction F(c, @) devient égale à la fonction complète F'c, et que la valeur 9 — 17 donne $,—2n7.

207. Nous remarquerons encore que la construction géométrique que nous avons donnée d’après M. Jacobi, qui en est l'inventeur, pourrait servir à trouver la valeur approchée de toute fonction F(c, @), dont l’amphitude est donnée, en faisant connaître son rapport avec la fonction complète F'c. En effet, si l'on continue la construction des différens côtés du polygone jusqu'à ce qu’on trouve dans la suite des sommets M,, M, M,, etc., un point M, qui soit très près de l’une des extrémités du diamètre AB, il esi visible qu’en comptant les circonvolutions du polygone, on saura combien il y a de demi-circonférences dans l'arc 2@, terminé au point M,. Soit m le nombre de ces demi-circonférences, on aura donc à très peu près 29, —= m7; par conséquent, F(c,@,) ou nF(c, @)= mF'c EC) — — Fe, valeur facile à évaluer numériquemefft au moyen de notre table des fonctions complètes.

Tous II. 23

Dans tous les cas, il sera facile de tenir compte de la petite distance qu’il peut y avoir entre le point M, et l’un des points À et B, pour en déduire une valeur encore plus approchée de la fonction F(c, @,), et par conséquent une de la fonction F(c, @).

208. Remarquons enfin que le polygone dont nous avons donné la construction sera rentrant sur lui-même, et par conséquent n’aura qu'un nombre de côtés déterminé, si la fonction F(c, @) est dans un rapport

rationnel avec la fonction complète F'c. En eflet, si l'on a F(c, )== Fe, m et n étant des nombres entiers, on aura F(c, ®,) = nF(c, @) = mf"'c = à (c; , et par conséquent ®, — — ; Ou 20, —= M7;

Si m est un nombre pair, l’arc 29, sera composé d'un nombre entier

m . , . MAC. .

= de circonférences, et le point M, , extrémité de Parc 2@,, reviendra au

point À, où le polygone sera entièrement fermé ; dans ce cas, le polygone ? A ’ mn , .

n'aura que 7 côtés, formant — révolutions.

Si m est un nombre impair, le point M, tombera à l’autre extrémité B du diamètre AB ; une moitié seulement du polygone sera formée, et il faudra doubler le nombre des côtés pour que le dernier, dont le rang est 27, soit terminé au point À. Le polygone aura donc 272 côtés formant 72 révolutions.

Dans tout autre cas où le rapport de F(c, ®) à F'c n’est pas rationnel, le polygone aura un nombre infini de côtés, et il sera impossible que deux sommets se rencontrent en un même point de la circonférence.

En général, comme les côtés du polygone sont des cordes inscrites dans le cercle dont le rayon est 1, lesquelles doivent être en même temps tangentes au cercle excentrique, dont le rayon est r, il est visible que ces cordes seront toujours comprises entre la plus grande, qui passerait par le point a, et la plus petite, qui passerait par le point b, ab étant le diamètre du petit cercle situé dans la direction du diamètre AB. Ainsi, faisant cos 4 = r — e et cos 6 — r +e, les côtés du polygone seront toujours compris entre un maximum 2sinæ = 24/[1—(r—e)] et un minimum 2 sin 6 = 2V[1—(r+ el]; on aura donc toujours, quel que soiple nombre entier ,

Pa —— Ps LE) END. Dr NC,

209. Nous avons vu que m étant pair, ce qui suppose 7 impair = 2i +1

0 m » ,» . \ . . Ÿ (car la fraction — est censée réduite à sa plus simple expression), le polyn gone qui a pour sommets les extrémités des arcs 2@,, 2@,, 2@3v.s. 2Qn St . f m . 4 formé de 7 côtés qui occupent un nombre — de circonférences. Dans ce

polygone, il y a toujours un côté moyen qui passe par l’un des points a et b, et qui est par conséquent un maximum ou un minimum; ce côté moyen est celui qui joint le point M}, extrémité de Farc 29, avec le point M,.,, extrémité de l'arc 2@,,..

En effet, le point M, situé d’un côté du diamètre AB, et le point M,., situé de l’autre côté du diamètre, sont toujours situés sur la même perpen- Per 2) pre:

diculaire à ce diamètre, car on a F(c, @,)— "= Fic, Li Cent M, donc F(c,@.)+F(c, @,.)= mF'e=— — F(c,7), et par conséquent

Pr H Paz = SP) OÙ 20e ne = 5 +27. Cette. équation exprime que,

quel que soit x, le point M, et le point M,,, qui terminent les arcs 29, et 20,., seront toujours situés sur une même perpendiculaire au diamètre AB. Soit x —i, onauran—x—i+1; donc les deux points M;et M,,, sont placés sur un même côté perpendiculaire au diamètre ; et comme ce côté doit être tangent au petit cercle dont le rayon est 7, il passera nécessairement par l’un des points a et b : ce côté sera par conséquent un maximum * ou un Minimum.

On voit en même temps que les arcs 29; et 29:,,, qui déterminent les extrémités du côté moyen, peuvent se trouver directement par les équations

T7 ie

®; + Pit Piti— Pi

m 2h 7 +0, m 2% ‘—= DK Émis

D'ailleurs, l'ambiguité qui semble rester dans cette détermination disparaîtra bientôt, en observant que si m est pairement pair, ou de la forme

m L4 \ Lé D . .

4u, Varc TA) égal à 2u7, aura son extrémité en À , et qu’ainsi, dans la

m e r . , A valeur 7+o de l'arc 29,,,, l'mdéterminée w ne peut être que 4. Au 19:

180 FONCTIONS ELLIPTIQUES, contraire, si m est impairement pair, ou de la forme 44 + 2, l'arc TT,

égal à 2u7 +w, aura son extrémité en B, de sorte que l'arc © ne pourra être que l'arc 6, dont le double est sous-tendu par la plus petite corde. Ainsi, dans tous les cas, on aura la valeur des arcs 29; et 29;,, sans aucune indétermination, et l’on saura que le côté moyen 2g;,, — 29; est un maximum Si m— 4, et un mününum Si M —= 4 + 2.

210. Il serait possible que la construction géométrique que nous avons développée conduisit à quelque théorème intéressant, analogue au théorème de Côtes, par lequel on pourrait peut-être simplifier l’analyse assez épineuse qui sert à déduire @, de @, ou réciproquement ® de @,, ce qui est le problème de la multiplication ou de la division des fonctions elliptiques ; mais nous n’entrerons dans aucune recherche à ce sujet. Nous nous bornerons à remarquer encore qu'après avoir formé la suite des arcs 213 2Pa 2Pgrrore 20, dont les extrémités sont les sommets du polygone

: , \ r e mr .

rentrant qui répond à l'équation F(c, @) = = F'c, si l'on forme avec les termes de rang pair la nouvelle suite 2@,, 29,4, 2@6, etc., cette suite représentera celle qui servirait à construire le polygone correspondant à 4 Ex 2 y, ares . ET .

Ja valeur F(c, ®) — — F'e. Ce polygone ne serait plus circonscrit à la cir-

conférence dont le rayon est r, mais, par la nature des choses, il jouit de la propriété d’être circonscriptble à une circonférence plus petite.

De mème, si l’on prenait de trois en trois les termes de la série initiale, ce qui formerait la série 293, 2@6, 29,, etc., celle-ci répondrait à la valeur IRL e)= 7 F'c, et il en résulterait un nouveau polygone circonscripüble à une circonférence plus petite que les deux autres, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu’on ait épuisé les 7 — 1 combinaisons possibles.

Ainsi, on voit qu’une seule construction appliquée à la valeur...

I . . se . . ‘ From É F'e, contient implicitement toutes celles qui conviennent à la

n.| m » . e valeur F(c, @) — — F'c, m étant un nombre entier quelconque moindre

que 7.

$ III. Théorème général donné dans le $ XII du deuxième supplément. Classement et propriétés générales des transcendantes comprises dans ce théorème.

211. Les nombreuses applications que nous avons à faire du théorème donné dans le $ XII du deuxième supplément, exigent que nous rappelions ici, avec quelques développemens, Îles formules générales par

lesquelles il est exprimé.