ANT

Désiwnons par 4x l'intégrale Con dans laquelle fx et @x sont des fonctions entières de x, c’est-à-dire des polynomes en x d’un degré quelconque. Cette intégrale aura une origine constante, déterminée dans chaque cas particulier, de sorte qu’elle ne dépendra que de la variable x, qui est sa seconde limite.

Il est inutile d'examiner ce que devient cette intégrale lorsque le polynome @x ne passe pas le second degré; car on sait que, dans ce cas, elle peut toujours s'exprimer en partie algébriquement, en partie par arcs de cercle ou par logarithmes. Elle s'exprime par des fonctions elhiptiques lorsque le polynome @x est du troisième ou du quatrième degré; mais, passé le quatrième degré, elle désigne des transcendantes d’un ordre de plus en plus élevé. Toutes ces transcendantes jouissent d’une propriété générale, analogue à celle que nous avons trouvée pour les fonctions elliptiques dans les chap. IX et XVI du tome Il‘; et c’est dans cette propriété que consiste le théorème dont les formules suivantes sont l'expression.

212. Supposons d’abord que la fonction gx soit décomposée en deux facteurs réels @,x et @,x, en sorte qu'on ait gx = p,x.g,x. Désignons ensuite par Üx et 0,x deux polynomes complets en x, ainsi exprimés

G) ( Ox a +ax + ax.....+ a,x",

ldx—= c+H ex + ex... + cux”, et supposons que ces polygones satisfassent, pour toute valeur de x, à l'équation (2) (r)'eix — (x) px — (x — x) (x —x,) (x — xs)... (x — x); il faudra donc que le premier membre, développé suivant les puissances

de æ, donne identiquement le même polynome en x que produit le développement du second membre.

Il Il

De là résulteront des équations, au nombre de w + 1, entre les coefficiens a, c, a, c,, etc., et les quantités x,, x,, Æ3....%y, considérées comme des valeurs particulières de la variable x. Ces équations seront toujours en nombre suffisant, non-seulement pour déterminer les divers coefficiens &, €, a, c,, etc., en fonctions des quantités x,, x,, Ds SR mais encore pour établir, entre ces dernières seules, des équations qui permettront d'en déterminer un certain nombre par le moyen de toutes les autres, restées entièrement arbitraires.

213. Puisque, en vertu des équations dont nous venons de parler, les coefficiens des fonctions Ox, 8,x sont fonctions des quantités restées arbitraires dans la série æ,, æ,.... æ,, On peut les faire varier, par rapport à une quantité y liée d’une manière quelconque avec ces arbitraires. Cette variabilité, au reste , n’est pas partagée par les coefficiens contenus dans les fonctions fx, @.x, @,x, lesquels doivent être considérés comme constans, ainsi que la quantité &æ comprise dans le dénomimateur x -- a. C’est sur ces principes qu’on a obtenu, dans le S XII du deuxième supplé-

ment, l'équation générale

Ex, + ENX, + eds... + epnltu

AS) ENT fa 0a4/(@,a) + Û,æ V'(@az) | =CHNX)+ LÉ log EURO eve),

C étant une constante, et Il (X) désignant le coefficient de =, dans le dé-

veloppement fait suivant les puissances descendantes de x, de la fonction

x — JT Jon VUE) + EVE) (œ—a) Vox) ? Exp (eix) —Gx (ex)

Quant aux coefficiens €,, €,.... €, , ils ne peuvent être que + 1 ou —1, suivant les différens termes Ax,, 4x... x, auxquels ils sont affectés.

Le premier membre de l'équation (3) peut être désigné een par ce symbole one Se ne He Et ou prises avec les signes convenables, suivant les cas particuliers ; le second membre est composé, en général, de trois parties, dont une ou deux peuvent disparaître, suivant la nature de la fonction fx. Nous devons maintenant entrer dans quelques détails sur les diverses transcendantes contenues dans l'expression générale de «x.

214. Ces transcendantes peuvent être classées convenablement, d’après le plus haut exposant de x contenu dans le polynome @x.

On regardera comme première classe, ou classe n° 1, celle où l’ex-

posant le plus grand de x dans gx est 5 ou 4. Cette classe comprend généralement les trois espèces de fonctions elliptiques.

La seconde classe, ou la classe n° 2, sera celle où le plus haut exposant de x dans @x est 5 ou 6.

La troisième celle où cet exposant est 7 ou 8; et ainsi de suite.

D'après cette énumération, le polynome gx peut être indifféremment du degré pair 21 ou du degré 1m pair inférieur 22— 1, et la fonction x appartiendra toujours à la même classe, dont le numéro est à — 1. En effet, on peut toujours ramener Île cas if degré 21— 1 à celui du

degré 21; il suffit pour cela de faire x

dxfx — )V\gx) dans lequel y sera un SA du degré 21.

5 7 étant une constante à

1 re | contiendra un radical y(®y),

volonté, et la transformée de ? -

»15, La division indiquée est d'autant plus admissible, que chaque classe est distinguée de toutes les autres par une propriété particulière, qui rend D ANRTE la réduction d’une classe quelconque à une classe inférieure, sauf quelques cas RÉ est

Dans toutes les classes on peut, à partir d’un certain minimum, augmenter à volonté le nombre des fonctions comprises dans le premier membre de l'équation (3), c'est-à-dire que le nombre des valeurs particulières de x, avec lesquelles on forme un pareil nombre de fonctions, peut, à partir d’un minimum déterminé, être aussi grand qu’on voudra; mais parmi toutes ces quantités, dont le nombre est désigné par w, il n'yen a qu'un certain nombre qui puissent être prises arbitrairement, et celles-ci serviront à déterminer toutes les autres. Or, dans les différentes classes, le plus petit nombre possible des non-arbitraires est déterminé, pour chacune, comme il suit :

Dans la première classe ce nombre est 1, dans la seconde il est 2, dans la troisième 3, et ainsi à l'infini.

En effet, pa à volonté le nombre #7 qui détermine le degré du polynome pin que l’on suppose complet, si l’on appelle À le degré du polynome px, À, et À, ceux des polynomes @,x et @,x, on pourra toujours prendre le nombre m qui détermine le degré du second polynome complet 8,x, de manière que les deux nombres 272 + \;, 2mæ+A,, qui expriment les degrés des produits (0x) o,x et (8;x)g,x soient égaux, ou ne différent au plus que d’une unité, le second étant le plus petit des deux. On aura donc en général m = 2n + À,, et en particulier

184 FONCTIONS ELLIPTIQUES, Aa—+:1

= m+n+° si À est pair, et & — m + n +- si À est impair.

Or, le nombre des conditions fournies par l'équation {2) est en général p + 1, sur quoi il faut prendre m+ n + 2 équations, pour déterminer

= . ,» « . À 4 e les différens coefficiens c, a, c,, a, , etc. ; il restera donc EI équations Aa +1

si À est pair, et — 1 si À est impair, au moyen desquelles on

’ Ld , TT 4 pourra réduire d'autant le nombre des quantités x,, x,, x3.... x, Il y

aura donc parmi ces quantités un nombre St On dr — 1 d'auxi-

liaires, qui se détermineront par le moyen de toutes les autres, restées entièrement arbitraires. Ces combinaisons offrent le moindre nombre d’auxiliaires que la nature de la question comporte, comme on peut s'en assurer en donnant à m» des valeurs qui rendent la différence. .... (an + À,)— (2m + 2,) plus grande que l'unité.

Hi suit de là qu'il n’y aura qu'une auxiliaire si l’on a A —3 ou A —4, ce qui est le cas des fonctions elliptiques, c’est-à-dire de la première classe de nos transcendantes; que le nombre le plus petit d’auxiliaires sera 2 si l'on a A = 5 ou À = 6, qu'il sera 3 si l'on a A = 7 ou A = 8, et ainsi de suite. ù

Dans la première classe, qui est celle des fonctions elliptiques, la moindre valeur de w est 3. En effet, si parmi les transcendantes de cette

classe on considère la plus simple, Fe , désignée autrement par Fo, on sait qu'on peut toujours satisfaire, par une équation algébrique, à l'équation transcendante Fo, + Fo, — Fo; = 0; c'est-à-dire qu’étant données les deux amplitudes ?, et ®,, on en trouvera algébriquement une troisième @:, telle que l'équation F, + Fo, — Fo, soit satisfaite. En changeant simplement le signe de ®, , on satisfera également à l'équation Fo, — Fo, — F;. Dès lors, on voit qu'étant donné un nombre quelconque de fonctions elliptiques de la première espèce, on pourra frouver algébriquement une seule fonction égale à la somme des fonctions données, affectées d’ailleurs de tels signes qu’on voudra. Ainsi, dans le cas de la

fonction Lx — Pt où le polynome gx est du 3° ou du 4° degré,

tous les termes du premier membre de l'équation (3) pourront être pris, avec des signes quelconques, hors un seul, dont l'amplitude x, sera dé-

terminée par celles de toutes les autres, de manière que la somme de tous sera égale à zéro.

216. Dans une classe quelconque dont le numéro est N, la moindre valeur de est N + 1; c'est-à-dire que le nombre des variables x,, x,...2,, comprises dans le premier membre de l'équation (3), ne peut être moindre que N +1, afin qu'il y en ait au moins une d’arbitraire, les autres étant déterminées par le moyen de celle qui peut varier à volonté (*). Cette loi ne s'applique cependant pas à la première classe, puisqu'on à vu que, dans ce cas, le nombre des termes compris dans le premier membre de l'équation (3) ne peut être moindre que 3.

Il y a une infinité d'hypothèses sur les valeurs des fonctions 6x, 8x, qui peuvent réduire à N + r le nombre des termes du premier membre de l'équation (3); car il n’est pas nécessaire pour cela que le second membre de la même équation se réduise à la forme

(x — x) (x —x,)....(x— ax, .))

ce qui supposerait = N + 1; il suflit que ce second membre puisse se réduire à la forme

PRE (x — x,) (@—x,)....(x —x

N+:, car alors y sera d’une grandeur quelconque, et toutes les variables dé- ... Xy étant nulles, le premier membre de

signées par Lys? Ty °

l'équation (3) ne contiendra que les fonctions 4x,, 4x, ..., x, , QE il n’y en aura qu’une d'arbitraire, qui servira à déterminer les autres, dont le nombre est N.

217. L'examen approfondi de ces sortes de transcendantes fournit encore un résultat très remarquable.

Si l’on prend pour 4.x la plus simple des transcendantes x, c’està-dire celle dans laquelle fx = x — «, et qui se réduit à l'intégrale

dx

v(ex) de l'équation (3), dans lequel on déterminera convenablement les signes des différens termes, se réduira toujours à une constante, quel que soit le nombre & des termes de ce premier membre; car on voit aisément

dont le nombre est N +1, et parmi les quantités x,, x,..., x

> PX étant un polynome en x du degré À, le premier membre

(*) On pourrait, à la rigueur, réduire ce nombre à N , en supposant que la quantité arbitraire x, est infiniment petite, quoique variable; car alors 4x, disparaîtrait dans le premier membre de l'équation (3), et la comparaison ne sétablirait par cette équation qu'entre N fonctions.

Tous IL, 24

186 FONCTIONS ELLIPTIQUES, que, dans ce cas, la quantité désignée par I (X) s’évanouit, ainsi que Îla quantité logarithmique que cette formule contient. Mais ce qui mérite surtout de fixer l'attention, c’est que l'équation Z4,x — C étant trouvée pour la fonction simple .x, on pourra toujours en déduire facilement l'équation semblable qui a lieu pour toute autre fonction 4x comprise dxfx

(œ —2)V (ex)

Il suffira, pour cet effet, que chaque terme <.t de la somme Z\,x, devenu #£ dans la somme Z4{#, conserve le même signe si le facteur

Ji

Ë —— seule modification, la nouvelle somme Z:L£ sera, sans aucune indétermination, égale au second membre de l'équation (3), lequel est composé d’une partie constante, d’une partie algébrique et d’une partie logarithmique, réunies toutes les trois ou réduites à un moindre nombre,

dans la formule Lx —

= est positif, et change de signe si ce facteur est négatif. Avec cette

suivant les différens cas.

218. La propriété dont on vient de parler semble établir une différence essentielle entre les fonctions de la classe N en général et celles de la première classe, qui sont des fonctions elliptiques. Dans celles-ci, on peut former à volonté le premier membre de léquation (3), en faisant varier de toutes les manières possibles les signes des différens termes, excepté un seul, dont la variable x, ou sin ®, peut être déterminée par toutes les autres, de manière que le second membre soit non-seulement constant, mais nul. |

Cette équation , une fois formée pour les fonctions F, s’appliquera, sans aucun changement de signe, aux fonctions E de la seconde espèce et aux fonctions IT de la troisième.

. Dans les fonctions de la classe N, en général , les variables étant prises de manière que sur le nombre total w il y en ait & — N arbitraires et N non arbitraires ou auxiliaires , lorsqu'on aura une fois déterminé les signes des différens termes, pour que, dans le cas de la simple fonction

d. . , “ Nix = fe OR la somme de toutes soit égale à une constante connue,

on voit que ces signes détermineront ceux des fonctions composées , dont la somme, désignée par Z4x, sera égale au second membre de l'équation (3).

De là il paraît s’ensuivre que la somme Z+}x ne serait connue et déterminable que pour une certaine combinaison de signes, indiquée par la

somme semblable appliquée, pour les mêmes valeurs particulières de x, à la fonction simple dx.

Mais il faut observer que le problème qui détermine les coefliciens des fonctions Ox et 8,x, par le moyen des w — N valeurs particulières de x, aura toujours, en quantités réelles, autant de solutions qu'il est nécessaire pour que les fonctions composant la somme Z4,x s’y trouvent dans toutes les combinaisons possibles des signes. Ainsi, la somme désignée par Z4x s'exprimera, dans toute combinaison des signes du premier membre, par des quantités algébriques et logarithmiques. Il arrivera seulement que les auxiliaires seront différentes dans les différentes combinaisons, et que quelques-unes d’entre elles pourront être imaginaires; ce qui donnera toujours une solution analytique, mais plus difficile à vérifier. Ces propriétés, au reste, ne peuvent être indiquées ici que très succinctement ; nous leur donnerons ci-après de plus grands développemens.

219. Il nous reste enfin à faire observer que les transcendantes dont nous nous occupons jouissent, dans chaque classe, de la propriété de se diviser en trois espèces, comme les fonctions elliptiques.

Les fonctions de la première et de la seconde espèce résultent de la supposition fx = x°(x— «æ); elles sont donc comprises dans la formule gé-

rar JV (@x) ceptible de réduction lorsque l’exposant e est égal à À — 1 ou plus grand que À — 1.

En effet, soit Z un polynome complet en x du degré r; soit, pour abré-

nérale dx — , et il est facile de voir que cette formule est sus-

d d get, L— 7 Ct DU ss on aura

A[ZV(ex)] __ Lex +izpx dx V(@x) Les coefliciens du polynome Z étant au nombre de r+ 1, on pourra faire en sorte que la quantité Z'@x + : Zp'x se réduise aux seuls termes

2 À — 23 Do re x — B F5 14 ef, Hi UE ..ss— B,x — B,..

Pour cela, il faudra faire r=—e— A #7, et les r + 1 coefficiens du polynome Z fourniront autant d'équations qu'il est nécessaire pour que la réduction dont il s’agit ait lieu; on connaîtra ainsi tant la valeur du polynome Z que celle des nouveaux coefficiens B ,? B, Mess ve .B,. Cela fait,

si l'on appelle, pour abréger, T, l'intégrale d' TS , On aura

188 FONCTIONS ELLIPTIQUES, T,=2V(@x) + BIT, + BIT + BIT... +B

—2 19 : ;» Er DAY: ‘à, De là on voit qu’il suffit de considérer dans l’intégrale FS les seuls

cas où l’exposant e ne passe pas À — 2. Ce résultat est général, et il s'applique aux transcendantes de toutes les classes, à compter de la seconde.

220. Pour distinguer maintenant les valeurs de e qui appartiennent à la première espèce et celles qui appartiennent à la seconde, il faut examiner la manière dont se forme la quantité IT(X), d'apres l’énoncé du théorème général ; et si l’on se rappelle qu'entre les nombres 7, m, À, A, À qui désignent les degrés des polynomes 6x, 8x, x, p,x, @,x, on

Pre y . À A+ 1 a trouvé ci-dessus l'équation À, + n — m = = ou

, selon que À est pair ou impair, on parviendra aisément à la conclusion suivante : . : 2 Si l’exposant e, non plus grand que À — 2, est plus petit que “On

te ‘d À Ët que , l'intégrale jf | ee se rapportera aux fonctions de la première

; à AN À espèce ; si cet exposant est égal à PA NOT plus grand que mo lors-

que À est pair, et sil est égal à 22, ou plus grand que à , lors-

que À est impair, l'intégrale se rapportera aux fonctions de la seconde espèce.

Il est facile de voir en effet que, dans le premier cas, la quantité X, déà < À s I veloppée suivant les puissances croissantes de ==, ne donnera aucun terme de la forme Au, et qu'ainsi le terme désigné par H(X)=0; au contraire, dans le second cas, le terme Au fera partie de ce développement, ce qui donnera [1 (X) — A.

On peut donc, au premier coup d’œil, distinguer parmi les intégrales TA . $ . « :

NE TON celles qui se rapportent à la première espèce et celles qui se rapportent à la seconde. Dans le premier cas, on aura Z1x—C, C étant une constante qui aura un certain nombre de valeurs déterminées, suivant les différentes valeurs arbitraires de x, qui servent à composer la somme désignée par Z4x; dans le second cas, on aura Z4dx = C+II(X), 1 (X) étant une partie algébrique déterminée par un terme du développement de la fonction X. Dans les deux cas, la partie logarith-

TROISIÈME SUPPLÉMENT. 189 mique du second membre de l’équation (3) disparaît, puisqu'ayant fait fx =x"(x — a), on a fæ — 0.

221. Venons maintenant aux fonctions de la troisième espèce. La forme la plus simple dont elles sont susceptibles résulte de la supposition fx — 1, et alors on a la formule type de ces fonctions, qui est

dx y ? ° Le

x = [-————, x étant une constante réelle ou imaginaire. Dans = eyes RE nee le cas où cette constante est imaginaire, si on la représente par..... a —r (cos 6 +y/—1 sin 6), l'intégrale précédente devra être jointe à une autre semblable

et la somme des deux sera une quantité réelle.

dans laquelle & —r(cos 6—y/—15sim6),

dxfx (G—2)V (x) devra la partager en deux parties, l’une qui se rapporte à la première et à la deuxième espèce, l’autre qui se rapporte à la troisième. En effet, quelle

le —f2

—T sera aussi une fonction

Si l’on considère plus généralement l'intégrale x —

que soit la fonction entière fx, la quantité entière de x, dont le degré sera moindre que unité que celui de la fonction fx. Soit f,x cette fonction, et l’on aura dxf,x J. dx EL PPT ER à, V'(@x) Nr (x — a)V/(px) ?

où l’on remarque les deux parties mentionnées.

222. Le théorème général dont nous nous sommes jusqu'ici occupés ne concerne que les intégrales x — , dans lesquelles fx est une fonction entière de x; mais on peut faire rentrer dans la même dxFx

(ex)?

Fx désigne une fonction rationnelle quelconque de x. En effet, par les principes connus de la décomposition des fractions rationnelles, on sait que la fonction Fx peut toujours être partagée en une fonction entière

Jx, jointe à une suite de fractions partielles, telles que