A, B, 1 —+ £ TAC TG
ZX — d x — 6 T — A, B, | Be resta te lp + ei:
- eic.;
Ja première ligne étant due aux facteurs simples qui divisent le déno-
théorie l'intégrale beaucoup plus générale Yx — le dans laquelle
190 FONCTIONS ELLIPTIQUES, minateur de Fx, la seconde aux facteurs doubles, et ainsi de suite. Ainsi l'intégrale désignée par x contiendra,
.°, L'intégrale x Le , qui s’exprimera par des fonctions de la pre-
mière et de la seconde espèce, dans la classe déterminée par le plus haut exposant de x dans @x ; 2°. Une suite de fonctions de la troisième espèce, représentées par
dx 4x À À feves eve #2:
5°. Un ou plusieurs termes de la forme
à dx dx À, fi SRE Anne Je=yves mi (x — 6) (ex) se Et ainsi des autres lignes, jusqu'à ce qu’on ait épuisé tous les facteurs
multiples qui peuvent diviser le dénominateur de la fonction Fx.
Tout se réduit donc à ramener chaque intégrale de la forme.....
à une intégrale semblable, dans laquelle 7 — 1, et qui
KA Ne — 2)" V(Px) sera ainsi une fonction de la troisième espèce. Cette réduction peut se faire de plusieurs manières.
On peut d’abord, en laissant « indéterminé, te de la premiere in-
tégrale Z, — ÊE EVIL la seconde Z,=— f RDV 5 et successi-
ddZ
vement toutes les autres, au moyen des formules Z, =", Z: =; pe
, d'Z: : ; : ds
L4= 35: gr etc. Une autre solution peut s’obtenir par le procédé v(ex)
connu, qui consiste à différentier la quantité , puis à revenir de
(x ren ay
ue | : LR ; / d la différentielle à son intégrale. Soit, pour abréger, 2) = @'x et
re — 7X, On trouvera de cette manière la formule AAEERIEN TES 1@'x — (n — Les dx N—1)QaZ, = — -——— 5: Le
2Px—(n Ar ; (Lee) ut fonction entière de x, plus une suite de fractions qui auront pour dénominateurs les puissances successives x — &, (x — a)... (x — «)"-', Donc la transcendante Z, s’exprimera par les transcendantes d’un ordre moindre
La fraction
étant développée donnera, en général , une
Z,, L,.... Z,=,, auxquelles se joindra une partie algébrique, et une autre partie qui ne contient que des fonctions de la première et de la seconde espèce.
Une équation semblable exprimera la transcendante Z,, par les transcendantes d'ordres inférieurs, jointes aux mêmes parties accessoires. Ainsi l’on voit qu’en définitive la transcendante Z, et toutes les transcendantes d'un ordre moindre s’exprimeront par les mêmes fonctions auxquelles s'applique directement le théorème général. Ce théorème acquiert ainsi toute l'extension que nous voulions lui procurer.
223. Par les principes élémentaires du calcul intégral, on sait que l’intégrale f/Tdx peut être déterminée en partie algébriquement, en partie par arcs de cercle et par logarithmes, toutes les fois que T est une fonction rationnelle de x. Par la théorie dont nous venons d'établir les fondemens , on pourra exprimer semblablement la somme d’un certain nombre d'intégrales particulières, représentées par /Tdx, toutes les fois que le quarré de T sera une fonction rationnelle de x.
Les plus simples de ces transcendantes sont celles qui ont recu le nom de fonctions elliptiques; toutes les autres, auxquelles on pourrait donner le nom de fonctions ultra- elliptiques, se divisent en une infinité de classes portant les numéros successifs 2, 3, 4, etc. : et dans chaque classe on distingue trois espèces entièrement analogues à celles que la nature des choses a introduites dans la théorie des fonctions elliptiques. La troisième espèce peut même être sous- divisée en deux autres, à l'instar de la sous-division qui a lieu dans les fonctions elliptiques, selon que le paramètre est circulaire ou logarithmique.
Par les travaux successifs de différens géomètres, la théorie des fonctions elliptiques est devenue une branche importante de l'analyse. Par le théorème de M. Abel, une carrière beaucoup plus vaste est ouverte aux recherches des géomètres, puisqu'elle embrasse de nouvelles classes de transcendantes en nombre infini, dont les propriétés ne sont pas moins remarquables que celles des fonctions elliptiques, avec lesquelles elles ont beaucoup d’analogie, et qui étaient restées jusqu’à présent entièrement inconnues.
Nous nous proposons de donner ici, au moins dans quelques exemples, une idée de ces prôpriétés nouvelles, dont nous avions en quelque sorte provoqué l'investigation dans la première phrase de l'introduction au tome Î*. Pour avancer plus sûrement dans cette nouvelle carrière , nous avons appuyé nos résultats sur des calculs numériques faits avec
une grande précision, et nous n'avons pas craint de donner parfois beaucoup d’étendue aux détails de ces calculs fastidieux, qui n’intéresseront guère le lecteur, mais qui serviront au moins de pièces justificatives aux conséquences nombreuses que nous en avons tirées. Ces détails sont d’ailleurs justifiés par le but général de cet ouvrage, qui n’est pas simplement théorique, mais qui est destiné à offrir les moyens de faciliter le calcul numérique de toutes les transceñndantes dont nous nous sommes OCCUPÉS.
( IV. Application du théorème général aux fonctions elliptiques.
24. Au lieu de considérer gx comme un polynome complet du quatrième degré, nous supposerons simplement | (4) ox == (1 — x) (1 — kx*); car on sait que c’est à cette forme, où k est < 1, qu'on peut toujours réduire la quantité comprise sous le radical qui entre dans l'éxpression différentielle primitive de la fonction elliptique proposée. Le polynome gx devant être partagé en deux facteurs g,x et @,x, nous supposerons
(5) QuX = 1 — 4x, PL = 1 — 12%;
ensuite nous prendrons
(6) x = a + ax, fr cr Erax, et il faudra satisfaire à l'équation (7) (a+ax) (—kÆx) —(c + CT) (1— x) = (x —x,) (x — xs) (x — L3) (x — x), dans laquelle les coefficiens a, c, a,, c;, qui sont indépendans de x, doivent être des fonctions de x,, x,, 3 et xy.
L'identité des deux polynomes compris dans les deux membres fournit cinq équations de condition, dont quatre sont nécessaires pour déterminer les quatre coefliciens 4, &,, €, C,; la cinquième sera donc une équation de condition entre les quatre quantités x,, x,, %3, %,, de sorte que l’une d’elles sera une fonction déterminée des trois autres, qu'on pourra prendre à volonté.
On obtient, sous une forme assez simple, quatre des cinq équations dont nous venons de parler, en faisant successivement x =1, X—=—1,
I I Re , . .
x 7, X — — 7. Voici ces équations, dans lesquelles on a mis #* au
TROISIÈME SUPPLÉMENT. 193 lieu de 1 — #° :
Ga@+Aa)k = (Gi —ax)(i— x) Q — x) ( — x), (a — a) = (ii + x) (ii + x) ( + x) ( + x), (ck+ c JE = (1 —kx,) (1 — kx,) (1 — xs) (1 — kx,), (ck— cPk® = (1 Hkx,) (1 +kx,) (1 + kxs) (1 + Ax;).
Une cinquième est donnée par les coefliciens de x,, savoir : CC, — ak = 1.
Enfin, on en aurait une sixième en faisant x — 0, laquelle serait d— = LA, LL, ; mais celle-ci est nécessairement comprise dans les cinq autres.
225. Observons maintenant que, dans les fonctions elliptiques, x désigne toujours le sinus d’un arc; et comme les quantités x,, x,, X3, x, sont considérées comme des valeurs particulières de x, nous pourrons faire
DR TL D MEL RSI D Cie SIL Ps Mel St OU et alors il est aisé de voir qu’on aura les quatre équations suivantes, où A est mis à la place de y{1 — Æ* sin° o) :
(a — &,)k® — Æ cos p, cos @, cos @, cos, , : (a (at: Fr c°Æ*) k = AP, A9, A; A, ?
dd — c? sin @, Sin @, Sin @3 Sin Ps»
De là on tire une équation de condition entre les amplitudes @,, @,, Ps Qu» savoir : | (8) [ AP,AP,AP;AP, Æ k* cos @, cos @, cos Ps cos ?, | = À? ÆX® sin @, sin @, sin @; sin @y
Remarquez qu’on a dû prendre positivement le premier terme AP,19,49:4®,; car si on lui donnait le signe — , le premier membre serait toujours une quantité négative, puisqu'en général Ag ou y/(cos? + k'* sin° @) est > cos @, tandis que le second membre est une quantité toujours positive.
L’équation que nous venons de trouver donne la relation qui doit
exister entre les quatre amplitudes @,, @,, ®s:, ®,, pour que l'intégrale 7 J(œ—a)V(ex)?
Tous IIL. 25
appliquée aux valeurs particulières x — sin @,,
194 FONCTIONS ELLIPTIQUES, x = sin @,, © = Sin Ps, X — sin ,, jouisse de cette propriété, que la somme des quatre fonctions @,, A®,, 493, d®,, prises avec des signes convenables, soit égale au second membre de l'équation (3), dans lequel se trouvent réunies ou divisées, suivant les différens cas, une partie constante, une partie algébrique et une partie logarithmique. On exprime ainsi la somme de quatre transcendantes par une quantité beaucoup plus simple que chacune d’elles dans l’ordre analytique ; et il est remarquable que cette conséquence a lieu pour toutes les transcendantes désignées par la caractéristique À, quelle que soit d’ailleurs la fonction entière de x désignée par fx.
Supposant donc les signes du polynome AJ, d®, = 49, de,, fixés relativement à la plus simple des fonctions 4x qui représente
dx À { : * | f: V{@x) » CES MEMES SISNES auront lieu relativement à toute autre valeur
de la fonction «Lx, qui représente J men ,
entière de x autre que x — «. On suppose seulement que T
fx étant une fonction
Es
reste po-
sitive dans toute l’étendue de l'intégrale.
226. Il faut faire voir maintenant que l'équation (5} s'accorde avec les formules connues des fonctions elliptiques. Pour cela, considérons les deux équations transcendantes
Fu —= Fa — F6,
Fu = Fo + F4, k étant le module commun de ces fonctions ; on aura les équations algébriques correspondantes
cos = cos @ cos À — sin @ sin L ApAT __ cos & cos6 + sin & sin 6 A4 AË rte 1— °? sin° @ sin° + ui 1— À* sin? x sin°6 4
ARE AgA4 — À? sin @ sin 4 cos cosŸ : AaAG + 4° sin « sin 6 cos «& cos 6
1 — k* sin° @ sin? «|
1 — #2 sin° & sin° 6
Par la combinaison de ces équations, on obtient les suivantes :
AaAË = Au — k cos msinasiné, AQAd = Au + #* cos p sin ® sin, cos & cos Ê — cos — Au sinaæ sin 6, COS @ cos À — cos m + Au sin @ sin 4, AaAGAGAY — Au + k cos mAu(sin @ sin À — sin ajsin 6)
— k#cos® pe sin « sin 6 sin @ sin 4,
cos æ& cos 6 cos @ cos | — cos + cos pAu (sin p sin L — sin a sin €) — A’p sin & sin 6 sin @ sin |.
Enfin, de ces deux dernières, on tire une équation indépendante de w,
savoir ,
AxAËAQA — cos a cos 6 cos p cos = k'° + 42%" sin & sin 6 sin sin À ; c’est l'équation algébrique qui répond à l'équation transcendante Fa — F6 — Fo + FA.
Appliquant ce résultat aux deux équations algébriques comprises dans l'équation (8), on voit d'abord que l'équation AP,AD,AP;AP;— kcosp, cos p,cosp;cosp,—=#?+kk"sime,sinp,sinp;sinp,, correspondra à l'équation transcendante Fes = F9, + Fo, + Fo, ;
et comme on peut, dans l’équation algébrique, faire une permutation quelconque entre les lettres @,, @,, @:, ®,, cette permutation , introduite également dans l'équation transcendante , fait voir que l’équation algébrique sera satisfaite, pourvu qu'une des quatre fonctions Fo,, Fo., Fy:, Fo, soit égale à la somme des trois autres. D'ailleurs, comme les quantités algébriques sin @, cos®, A, relatives à l’amplitude 9, restent les mêmes pour toute amplitude @<+ 2ir, tandis que F@ devient Fo + 4il°k, ïl est visible qu'on peut ajouter à l’un ou l'autre membre de l'équation transcendante la quantité 4iF'k, i étant un entier quelconque , sans que cette équation cesse de correspondre à l'équation alsébrique.
Substituant successivement, dans les équations précédentes, æ — 9, a Pi, et 7 — Ps à Ps, on trouvera que la seconde équation algébrique comprise dans l'équation (8), savoir
AP,AP,AP,AP;+kcos@,cos@,cosp,cos®,—=#"+ K'ksinp;sing,sinp;sin®,, correspond également aux deux équations transcendantes
Fo, + Fps — Fo, — Fo, — 2F'%,
Fo, + Fo, + Fos + Fo, — 2F'%.
La première en représente six par la permutation des lettres, et d’ailleurs on peut ajouter à l’un des membres de ces deux équations la quan-
tité 4iF'k, à étant un entier quelconque positif ou négatif.
227. Au reste, il est inutile d'insister sur ces formes diverses de l’équation transcendante qui satisfait à l’une des deux formes de l'équation (8) , et l’on peut se borner à considérer la plus simple de ces équations, celle d’où toutes les autres peuvent être déduites. Pour cela, soit g,—0, on aura l'équation algébrique
(9) AP,AP,AP; — À COS @, COS @, cos Ps —= À"?,
ui correspond à l’équation transcendante q P q
F9; — Fo, —+ po et qui correspondrait également à l’une des équations
F®, = Fo, —+ F3,
Fo, = F®, + F@s; en sorte qu’elle exprime, en général , que l’une des trois fonctions est égale à la somme des deux autres. Le résultat précédent se confirme immédiatement par les formules connues des fonctions elliptiques. En effet, on sait qu'à partir de l'équation transcendante
F3 — F?, an F®,
on a les deux équations algébriques (*)
AP,AP, —= A; + k* cos ®, sin @,sin@,, COS @, cos ®, — COS P; + As sin @, sin @,.
Multipliant la première par A9:, la seconde par — Æ* cos @:, et ajoutant les produits, on aura |
AP,AP,AP; — k? cos ®, cos @, cos Ps; —= A9; — k° cos" ps = k/?, ce qui est l'équation à démontrer.
D'après cette équation, on pourrait chercher les valeurs de cos ?, et A; exprimées en fonctions de sin @,, sin @,, Cos @,, cos ®,, A@,, A, ; ce qui serait une dernière vérification de nos formules. Et d’abord faisant disparaître les irrationnelles A9,, A9,, A3, on aura une équation entièrement rationnelle entre cos @,, cos ®,, cos ®;, d’où l’on déduira
(*) Ces deux équations algébriques n’en font , à proprement parler, qu’une seule, qui exprime algébriquement la relation entre les amplitudes @,, @:, @3, nécessaire pour que l'équation transcendante ait lieu. C’est de la même source que se tire la valeur de sing3, exprimée en fonction de sing,, sin Qi; COS @,, COS Pay APis APar
cos @, COS Pa Æ sin @, sin PaAPIAQS
cote 1— À? sin“ @, sin* @a
Le double signe doit son origine à ce que l'équation algébrique d'où nous sommes partis satisfait également aux deux équations Fos = Fo, +Fo,, Fo;—Fo,—Fo, ; si l'on veut qu’elle s'applique à la première, il faudra prendre le signe inférieur, parce que la supposition k — o donnerait Ps—= P,—+®,, et par conséquent cos @; — COS @, COS P,— sin @, Sin Pa. Donc, en général, si l'équation est Fo, — Fp, + F@,, on aura
COS ?, COS Pa — sin @, sin PAP, AP
cos = ET RE MENT 1 — À* sin* @, sin“@a
Cette valeur, substituée dans l'équation AP,Ap,4Ap;—k"°+ L'cosp,cos®,cosPs, donnera
Aer dut APrAPAa — À? sin @, sin @: COS @, COS Pa Ag 1— k? sin“ @, sin* @a
Enfin, par l’une ou l’autre de ces valeurs on trouverait
sin Pr COS PaAPa +- sin @, cos @, Apr
sin == Ps 1— A* sin“ @, sin‘:
Ainsi, nous avons déduit du théorème général les propriétés fondamentales de la fonction de première espèce Fo, lesquelles découlent de l’équation algébrique qui correspond à l'équation transcendante Fo; =Fo,+F@..
Propriétés des fonctions de la seconde espèce.
228. Pour que la fonction désignée généralement par x devienne Ep, il faut, en supposant toujours x = sin ®, faire fx =(x—a\1—kx); car alors on aura
A (EE 5 If 7 /( (TS) — flgy (1 — Hsin*o).
La fonction de première espèce F@ étant supposée satisfaire à l'équation Fo, + Fo, —Fp;s = 0 , nous allons rechercher quelle sera la valeur d’une quantité semblable
ment formée des fonctions de la seconde espèce; cette valeur sera, conformément à la formule générale, C+TI(X), C étant une constante et
H(X) désignant le coefficient de : dans le développement suivant les
puissances descendantes de x, de la fonction
CE AO ET AC VE) 8 Eee) — br / (par)
à ur: : 8% Pal \ __ C, + cu 1— 1 ;
Soit x=-, et =EV = LE (nn on aura fe — u° z : À ;
NE / (— a) log g = Négligeant les w* dans le développement
de X suivant les puissances croissantes de x, et observant que la supposition @,—0o, faite ci-dessus, donne a*—c* —0o, ce qui permet
C, + cu c.
‘endr = NN = = 7 Mu n faide prendre ac, on aura z — ANRT) ne + Mu), e , C C CA, = C sant, pour abréger, M= — — — — a ne Étui C, 4, AC.
1 ka, + ©, + cMu\ X = k log (= — 4107 (HR es E A De là on voit que le coefficient de x appelé I(X) dans le théorème général , aura dans cet exemple la valeur
I I IT(X) ass kc.M frs & m—):
ou en réduisant ok°c(c, — a,)
LENUES —= EN ET == DCE = & ).
Mais dans lé cas de x, — 0, qui est celui dont nous nous occupons, st l’on égale entre eux les coefliciens de x dans les deux membres de l'équation (7), on aura 244, — 200, = — X,X,X3, ou
2C(C, — a) =sing,sing,sin?,;; donc T(X)— sin g, sin, sin @s; donc on aura pour les fonctions Ep, appliquées aux valeurs particulières @,, ®» Ps, l'équation |
Ey, + Ep, — Ego, = C + Æ° sin @, sin @,sin®..
Maïs le cas de ®, —0, donne p;—9,, d'après l'équation F@6,+F,—Fo;=0; donc on à aussi dans le même cas Ep, — Ey,, et par conséquent C—0; donc on a simplement
Ep, +- Ep, — Ego, = sin ®,sin@, sin @.
Ce beau résultat, connu par la théorie des fonctions elliptiques , se déduit donc des formules du théorème général.
On va voir que du même théorème peuvent étre tirées également toutes les formules relatives à la comparaison des fonctions elliptiques
de la troisième espèce, dans les différens cas dont elles sont susceptibles.
Propriétés des fonctions elliptiques de la troisième espèce.
229. Pour parvenir plus aisément à un résultat qui soit conforme aux formules connues, considérons la formule suivante, formée de deux fonctions “ se déduisent de la formule générale, en faisant fx = 1.
fees es US fe relle june
La formule générale étant appliquée aux trois valeurs particulières de x,
donnera is + de, — rs TR ba 4/ (pra) + Ba /(Pit) 376 198 Se en) se œ (—a)V@rt) + 0(— + Pa” F7 Cape) — UC ua) formule où l’on remarquera que la partie CH TI(X), qui était dans la formule primitive, a disparu dans la différence des deux équations formées en donnant à « des signes différens, ce qui ne change rien à cette partie.
Le second membre de notre equation, dans laquelle nous ferons
= EtUNr— nr sera
0 Cr + a) — n) + (ons + e,)y@ — n) DRE UD VOTE D CPERURO ps N lo (en: a a, )y — n) + (on° — « )a in) A7 2 (ens 5 n)— (cn? — k cn? — a )V( n) cn a) — n) C'est cette quantité qui, étant réduite convenablement, donnera la valeur de la somme
[(n, ®,) + I(n, ®,) — Mn, @:), formée avec les fonctions de troisième espèce, comme l'ont été les sommes formées avec les fonctions de première et de seconde espèces,
car on voit que dans ce cas l'intégrale Lx — est re-
(2 J (in) (px)
présentée par la fonction de troisième espèce
à de I (n, ?) = eee
Soit, pour abréger,
A— (er° — a, )y(E — 2) + Cr — e, )G —n), Bi (en° — a,)v(— 7) — (er LUNA v(i—n), A'— (n° + a )V(Æ— n) — (on° + a) — n),
Be (ont 2) En) or + c) Vi — n).
, LL LL ) À N B' N A Le second membre de notre équation sera exprimé par —= logr, += log, N AA Ù ou par — log ir», ct l’on aura
AA = (nc— a°;)(kK—n) + (c°,— nc) (1 —n) JL oc(a— 0) n(1—n}(k — n) = c, — ah +n(a, — 0, —ck")
+ 2C(d —C;) n° (1 ee n)(K— n).
Substituant les valeurs c°,—a",k+ 1, 2c(a, — c,)— — sin, sin @,sing;, (a, — c*) k? = cosp,cosp,cos;, on aura AA'— 1 —n +-nCcos@,Cos@, COS Pa (1 — n)° (42 — n}sin @, Sin @, Sin Ps. On trouverait de même BB'=— 1 —n + ncos®, COS ®, COS Ps re (1 —nÿ (4 — n): sin @, sin @, sin Ps. Ainsi, pour les fonctions elliptiques de la troisième espèce, on aura
cette formule générale de comparaison, qui suppose toujours que les fonctions de première espèce satisfont à l'équation Fo, + Fo, —Fp:=0,
I (2, Qi) + H(x, Ps) — Hz, Ps)
2: “) 1e : ‘ 1—n + nCOSQ,COSPAaCOSP3 —7n2(1—n)2(k°—n)2sinp,singAsing;
Di
Fe CPL AUIAATR 1 E at ; !
2(1—n)(k—n): 1— n+- nc05@,cos@,COs®3 + n2(1—n):{k—n)2sing,sinp,sinpgs
Voici maintenant différentes applications de cette formule.
