PX—=I1+ TL

Prenant en même temps x —=at+x et fx =c+c,x, il faudra, pour la solution de notre problème, satisfaire à l'équation

+x*)—(a +x) (ia. KR, + x? D

(7) (ea) (+.

= (x — 2,) (x — 2) (x — xs) (x — 24) (x — xs),

dans laquelle on remarquera que (a + x}* est mis à la place de (a+ ax}, qu'indique la forme générale de êx, parce que le coefficient de x° devant être le même dans les deux membres, il aurait été nécessaire de faire (a) = 1, ce qui permet de prendre a, = 1. Si l’on remarquait que les signes du premier membre de l’equation précédente sont contraires à ceux du premier membre de l'équation (2), considérée comme type de toutes les autres, nous répondrons qu’on peut changer à la fois les signes

de @,x et @,x, sans changer le produit @x, et sans rien changer non plus au second membre de l'équation (3).

Maintenant l'équation (17) est préparée de manière à satisfaire à tous les cas particuliers que nous avons indiqués. Elle offre, en général, cinq équations de condition, dont trois sont nécessaires pour déterminer les coefficiens c, €,, a en fonctions des trois quantités prises arbitrairement dans la série x,, æ,, 3, &,, æ33; elle donnera en même temps l'équation du second degré, qui a pour racines les deux autres valeurs particulières de æ, prises dans la même série. C'est avec tous ces élémens qu’on formera, pour toutes valeurs données de la fonction entière fx et de la constante æ, l'équation (3), qui contient une propriété générale relative à cinq des fonctions désignées par dx ou 4x.

246. Pour considérer d’abord le cas le plus simple, supposons que deux des valeurs arbitraires de x soient nulles; il faudra que chaque membre de l'équation (17) soit divisible par x*, c’est-à-dire que le coefficient de x° et celui de x soient nuls dans le premier membre; ce qui donnera les deux équations de condition

0 (c? + a) + 2cc, — 24.

La première permet de prendre a—c, car le signe de c est à volonté dans le carré (c + c,x), et alors la seconde donnera

Au moyen de ces valeurs, le premier membre de l'équation (17) étant divisé par x*, donnera pour quotient

[m+3, M — 1 2 + ae — (n — 11e — (—)] + x[2c — 2(m+ijc + m+il] — (im + ri) c + (m +i)c.

Le second membre de la même équation, divisé également par x*, ne contiendra plus que trois facteurs

Soit £ la valeur prise arbitrairement de l’une des quantités x,, x,, x, et soit x*— px + q—0o l'équation du second degré, qui a pour racines les deux autres quantités; ce second membre s’exprimera encore par

299 FONCTIONS ULTRA-ELLIPTIQUES , (x — t}) (x° — px + g), et son développement sera 2 CPE CPE q) Li qéS

on aura donc les irois équations

LL sort

p+i= (ÈS) e + (im — 1)e + “4 > Pt+ q 2€ — 2(m + 1)c + m +3, gt = (mn + 1) — (m + i)c.

Éliminant p et g de ces équations, on aura entre c et £ l'équation

o= (Se + at — m—:) — c[(m — 1) + 2(m Hit — m—:] + & — (——) # + (m + r)é.

Celle-ci donnera la valeur de c en fonction de #, savoir