DIT RO ESS

(14) AIG, = Re eee

valeur qu’on aurait trouvée plus directement par la formule du n° 233. Connaissant le coeflicient c, on aura les valeurs de p et q par les

formules

(19) | qg = — 1p + 2€ — 2(m + 1)c + m #'7T,

| p=—t— (Se + (m—ie+ TT,

ou g — — C);

et la résolution de l’équation x° — px + q — o donnera les deux autres racines x = 6, x = y, qui serviront à former le premier membre de l'équation (3).

On voit que par la seule donnée #, dont la valeur positive doit être. plus petite que 1, et la valeur négative peut être d’une grandeur quelconque, on déterminera d'abord le coefficient c, puis les deux racines x = 6, x —"7y, au moyen desquelles la somme des trois fonctions At, 6, dy, prises avec des signes convenables, sera égale au second membre de l’équation (3), composé en général d’une partie constante, d’une partie algébrique et d’une partie logarithmique , lesquelles

pourront être réduites à une ou à deux, ou prises toutes ensemble, suivant les différens cas.

247. À l'égard des signes dont ces fonctions doivent être affectées, 11 suffira de les déterminer pour le cas où l’on considère la fonction la plus

e " d , 4 : simple de première espece ETES ; car nous avons déjà dit (218)

que les signes des termes de la somme Z4J,x étant connus, on en dé-

duit facilement ceux des termes de la somme Z4{x, qui s'applique : a toute s 2 Te dxfx

autre fonction comprise dans la formule générale x — f: Je

(x — a) (êx) Nous donnerons ci-après une règle sûre et facile pour déterminer les signes

de tous les termes qui composent la somme Ex, quel que soit 1e nombre des valeurs données de x, et dans toutes les combinaisons qui peuvent servir à déterminer tant les coefliciens des fonctions 0x et 0,x que les auxiliaires qui, concurremment avec les fonctions données, forment la somme dont il s’agit; mais comme nous considérons maintenant le cas de la seule donnée désignée par t, l'emploi de cette règle n’est pas absolument nécessaire : d’ailleurs, nous y suppléerons par une construction géométrique adaptée particulièrement au cas dont nous nous occupons.

Avant de faire des applications de la formule (18), nous devons encore remarquer que cette formule donne deux solutions, à raison du double signe dont y/(1 — #) est susceptible ; et, parce qu'on peut aussi changer le signe de m, en mettant — 5 au lieu de + 4/5, il est visible que chaque valeur de £ fournira quatre solutions, c’est-à-dire qu'il y aura quatre manières de faire en sorte que la fonction donnée 4{£ où V4, jointe à deux autres fonctions de la même espèce , prises avec des signes convenables, soit égale à une constante déterminée. Il pourra arriver, dans l’une de ces solutions, que les valeurs des deux auxiliaires soient imaginaires, mais la solution n'en existera pas moins analytiquement.

Maintenant, nous allons faire voir, dans un assez grand nombre d'exemples appliqués à la simple fonction de première espèce...

le second membre de léquation (3). Cette question, dont il ne paraît pas qu’on puisse donner la solution & priori et d'une manière générale, mérite de fixer l'attention des analystes, par les résultats très peu variés et très simples qu’on obtient constamment dans les cas particuhers.

224 FONCTIONS ULTRA-ELLIPTIQUES, Exemple I". t = 0.