tee

TROISIÈME SUPPLÉMENT, 251 Ja + VIH VE — Vraie

Ajoutant de part et d'autre 1, on aura pour les cinq fonctions dont il s’agit l'équation / [ £. Lie: 1 RE di + di Vo + da — V6 = 41 + 2 ds, dont le second membre est la même constante qui a lieu dans toute l'étendue de la seconde zone, pour le cas de trois fonctions.

266. Dans cet exemple, après avoir trouvé les deux racines x = &, x——6, qui, avec les valeurs données x = 1, x = ;, x—=— 2, déterminent les cinq fonctions comprises dans le premier membre de l'équation (3), nous avons combiné les signes de ces fonctions de manière que la somme des quatre

Vi — V2 + da + V6 se trouve égale à la constante connue +44; ce qui s'exprime autrement par l'équation dr + dE do + da + 6 = dr + 34

Cette combinaison, pour obtenir le résultat cherché, n’a pas exigé beaucoup de tätonnemens dans la question actuelle, où l’on pouvait faire abstraction du terme 1, compris ordinairement dans les constantes, et qui ne laissait ainsi que quatre termes À, B, C, D, dont trois peuvent être joints au premier, considéré comme positif, de huit manières différentes, comme on le voit 1c1 :

AD CDN CA CDN PANE IR =" C ÉD LA UPIE CRU D CN EC D A ER EE CÉPD A D CRT.

Dans d’autres cas, le tâtonnement pourrait être beaucoup plus long et plus laborieux ; c’est pourquoi il ne sera pas inutile d'indiquer ici un procédé par lequel on pourra, dans tous les cas, parvenir d’une manière sûre au vrai résultat que l’on cherche.

Observons d’abord que le coefficient € est en général affecté à la fonction x, de sorte qu'il prend successivement les valeurs €,, €,, 6,... etc., quand il s'applique aux fonctions particulières Jx,, dx,, x, etc. ; et c’est ainsi que se forme la somme 6, dx, + ex, + eds + etc., représentée par Z (ex), premier membre de l'équation (3).

Le coefficient €, dont les valeurs particulières ne peuvent jamais être que + 1 ou — 1, pourra toujours se déterminer par l'équation gé-

252 FONCTIONS ULTRA-ELLIPTIQUES, nérale 8xy/(@,x) = d,xy/(@,x), que l’on trouve art. 198 du deuxième supplément. ;

Cette équation se simplifie en observant que /(®,x) et y/(@,x) doivent toujours être des quantités positives; de sorte que pour déterminer le

CR . » . . 6x .. e , Û signe de € il suffira d'examiner si 7x St positif ou négatif pour chaque

valeur particulière de x, telle que x = t. Si cette quantité est positive, on aura 6 —<+1, et la fonction £ entrera avec le signe + dans la somme Z(idx); dans le cas contraire, on aura e = — 1, et la fonction £ entrera avec le signe — dans la même somme.

267. Appliquons cette règle aux valeurs successives x = +, — 2, æ, —6, considérées dans l'exemple II.

0 : y : ; La quantité —, dont le signe détermine celui de 4x, est dans ce cas

=, suivant l'équation (B) de l'art. 265. Cette quantité est positive

pour les trois premières valeurs mentionnées, et négative pour la valeur x = — 6. Ainsi la fonction L(— 6) devra être prise négativement, et les trois autres positivement, dans la somme Z4x, laquelle sera par conséquent

VE HV 2) + 4) = 4 6 ou, suivant notre notation ordinaire, Vi Va + da + 4/6.

Cette somme, d’après les valeurs trouvées, se réduit à 24/1; c’est le résultat qu'on obtient ainsi de la manière la plus directe et sans aucun tatonnement.

Si l’on change le signe de l’une des quantités À et \', on aura une seconde solution. Soit donc A —10.47801 08448 776; on aura, en conservant la même valeur de ?' et ne poussant l'approximation que jusqu’à cinq décimales, a+ 2" X æ— 27

de là on voit que p° — 4q est négatif, et qu’ainsi cette seconde solution est imaginaire.

On aurait deux autres solutions du même problème en changeant le

TROISIÈME SUPPLÉMENT, 253 signe de m dans les formules primitives; mais nous allons passer à un

autre exemple, qui offrira un plus grand nombre de solutions.

Exemple III.

268. Soient 2, — 1, — 2 les trois valeurs données de x; l'équation (17) à laquelle il faudra satisfaire sera, dans ce cas,

1 im 1 m +1 (Her) (1x. R +) —(a+x)(: UE "Om Vie" MIE x) (©) {= (œ — #) (x +1) (x +2) (x — px + 9) + Ep Ein D gi ip EAU re md À Les suppositions x = ;, x —— 2 donnent, conformément aux résultats déjà trouvés, les deux équations

ce + Leo, = (a + !)a, à = 0.47801 08448 796, log à — 9-67044 59266 162, c— 20, = (a — 2), À = 3.259668 02877 106, log x = 0.651279 51254 367.

La supposition x — — 1 donnera une troisième équation

Co Ci (dim) At, CA 2V2 — 3.70245 91736 438,

NE mr

log À" = 0.56849 02783 319;

de là on tire

5xX'— 6x + 0.54976 60131 67

a = ÉTRdoE, HOET UE 7.786021 53153 Ba = — 0 .07060 76047 2; log (— a) = 6.848835 14788 2,

c = -— 1.184435 49250 3, log(— c) — 0o.07351 85381 00,

Cite 2.779042 60224 3, logic 0.443095 51192 80.

Pour déterminer p et q, on a les équations

ip = c, + aa — (5),

Q= dd — C’;

d’où résulte p = — 3.465095 98159 66, log 0.530982 55232 35, q = — 1.359794 80355 95, log 0.145409 10281 52.

æ=—6, savoir :

a — 0.506491 60372 60, log 4 — 9.56219 29500 747;

6 — 3.83087 58532 26, log 6 — 0.58329 80780 774.

254 FONCTIONS ULTRA-ELLIPTIQUES, Calcul de Aa par la formule (12).

1) — 14: ::-0:00219 29900 747 1) — 0.356491 60372 Go

2) 6.293597 64544 002 4) 19 312 7.810906 47503 735 5) LE m1 83 9-.61181 98286 da = 0.356511 33380 677.

Calcul de L'6 par la formule (16).

u..... 9.416070 19219 226 1) — 0.008891 22547 605 UNE 9.70835 09609 6153 Pire ï 24542 570 HE 9-82390 87409 443 0.088890 98205 235 1) 8.94896 16238 282 3) 65 886 u5.... 7.08350 96096 130 4) — cl 45 9-06214 79067 49 U — 0.065889 9826g 076

Nous avons maintenant cinq fonctions, dont les valeurs approchées sont

3 — 0.501531 00336 614, ‘1 —= 0.935885 14394 40, NADEUt.01409 28467 595, Ada — 0.36511 55580 G77, NV'é 1.460709 64508 39/4; et pour former une équation avec ces cinq fonctions, il faut recourir à la règle donnée ci-dessus , n° 266.