CA

En vertu de cette règle, la quantité D dont le signe détermine celui

de dx, a pour expression

az x — 0.070607

C+ax — #(2 170426) — 1.184455" Appliquant cette formule aux valeurs successives x = +, —1, —, a, — 6, on trouve que les signes des cinq résultats sont +, +, +, —, +; donc le premier membre de l'équation (3) sera

SPC A Carat à AE VS AA

ou, suivant la notation ordinaire, di 41 — 1d'2 — da — 4/6.

Changeant tous les signes pour que la somme soit positive, elle deviendra

dd bau Re SN nage Ne

Or, d’après les valeurs trouvées, cette somme est égale à la constante C=— 3.57827 50413 852, et comme cette constante est très peu différente de la constante connue 41 Hi dE 3.657827 50414 365, on

aura exactement / / ‘ A | 3 1/ da + 6 + d'a + di di=ditéd"à Nous avons déjà dit que les trois mêmes données +, — 1, —2 sont susceptibles de produire jusqu'a huit solutions; en effet, si l’on change successivement le signe de chacune des quantités À, À’, 2", les deux autres restant les mêmes, on obliendra trois autres solutions. Si ensuite on change le signe de 77 dans l'équation (C), on aura une nouvelle formule d’où l’on déduira semblablement quatre autres

solutions. Nous allons indiquer sommairement les résultats que présente l'analyse de ces huit solutions.

Second cas, où l’on change le signe de À.

269. Alors les équations déduites de la formule (C) donneront, par ce changement de signe, les valeurs suivantes :

QE D = — peine el g = — 0.15526 49979 8, cHic, = — 0.16479 01723 6, C— 20, = — 7.01900 90525 :, c = — 1.535035 59443 9, p —= — 3.08828 66030 8, Ce, = 2.74168 75440 6, q —= — 2.353406 43917 7, et la résolution de l'équation x° — px + q —=0, donnera ri a, «a — 0.62805 44167 2, logæ = 9.709799 72740 8, x —=—6, 6 — 3.716534 10198 , log 6 = 0.57o11 55590 2.

Au moyen de ces valeurs, on trouve N'a —= 10.059390 D01T4108 L'6 —= 1.45665 73386 8; puis en combinant entre elles les cinq fonctions, suivant la règle générale , on formera la somme Ni di A2 — da H L'é = 3.57827 50410 6.

Le second membre est la valeur approchée de la constante connue

di + id; ainsi on a exactement Li Vi Ha — da HAVE = di HI Troisième cas , où lon change le signe de À.

Alors les équations déduites de la formule (C) présentent les résultats suivans : | 5x7 + 6x"+ a ___ 38.53039 74393 Go2 Ba! 3N — 22 27.326029 70415 056 CH+C — 0.913502 35:4806 99 , log a — 0.14922 27036 835, C— ©, — 1.561805 14299 827,

Ci 1.114609 92424 60 , ip C?,+24a— =);

c,= — 0.405335 21875 225, q = Ac?

D'après ces valeurs, On aura à peu près p= 1.13524 et q — 0.74554,

TROISIÈME SUPPLÉMENT. 257 d'où il suit que p* — 4q sera une quantité négative, et qu’ainsi cette troisième solution est imaginaire.

Quatrième cas , À" pris négativement.

Alors on a EX = GX — 2 A Br == 1.28510 AXI14 444; C + 20, — 0202090 1004027 000101) 1701408071" C — 20, —= — 2.352818 75481 5, He 27200 1010415008:

De là résulte encore une solution imaginaire. Ainsi la supposition de m positif donne deux solutions réelles et deux imaginaires.

Cinquième cas, m négatif.

270. Si nous changeons maintenant le signe de m dans l'équation (C), le système des valeurs de À, N, à", sera remplacé par de nouvelles valeurs, dont les peer se déduisent aisément des premiers et donnent les résultats suivans :

C+ ic, = (a + ELA, log A — 0.01952 40777 20, C — 20, —= (a — 2), log \'= 9.096434 61292 83, C— CC = (a — 1)", log "= 9.735253 97173 32.

Ni à 5x" — GX + à :

D'ailleurs on aura toujours a = >—— Er 3v—,, €t en substituant les

valeurs M=I0-021108340010T, 111094010119 199/0

1 Le — 1.78021 14846 2.

il viendra a — 318460 Ga864 1 — 0.826235 52167 4.

C — 20, —= — 1.08125 26986 3, de 0.893552 36513 9, loge = 9.95110 60526 6, = 0.098738 81750 12, logc,— 9.099448 79218.

Ensuite il faudra calculer p et q par les formules

É —Pp = CN + 24 + —— ?

g = — C*, ce qui donnera Tous Ill. 33

258 FONCTIONS ULTRA-ELLIPTIQUES , p = — 0.745435 98303 2, q = — 0+11571 98822 1; de là les deux racines x =, æ — —6, savoir :

æ — 0.131809 87609 5, logæ = 9.12024 07454 9,

Ë — 0.872353 86002 7, logé — 9.943516 72374 45; calculant aæ par la formule (12) et 4/6 par la formule (14), on aura da = 0.13189 92087 54,

J'6— 0.84561 79047 47; combinant ensuite ces deux fonctions avec les trois fonctions connues

V1, d'2, +, on formera l'équation

V1 Ha — di da — V6 —= 0.177484 81390 39 ; et parce que le second membre approche beaucoup de la constante connue £4/+ = 0.777484 81388 755, on aura exactement

Ji Va die VE = re.

Sixième cas, À négatif.

Supposant toujours m2 négatif, si l’on change le signe de À, on aura les résultats suivans :

Nous n’allons pas plus loin, parce que ces valeurs conduisent à une solution imaginaire.

Septième cas, À négatif.

Si, en partant toujours des formules qui supposent m négatif, on prend À négatif, on aura Îles résultats suivans :

a = 2.740809 02583 8, log a — 0.439351 53625 1, C9 00100812030102:

Calculant ensuite les valeurs de p et q par les formules

5 mms TP CRAN Q EEE,

TROISIÈME SUPPLÉMENT. 250 on trouvera p = — 6.209445 73130 6, q = 0.89877 00395 2; de là les racines x=— «x, x = —6, a — 0.140618 24765 5, log & — 9.16489 53146 4, et le calcul des fonctions donnera Va — 0.14618 16631 848, Nd'6 — 1.560596 69170 6.

D'après ces valeurs, on trouve que la somme d'a + A'é lie — 1 se réduit à 0.77484 81392 65, quantité qui s'approche beaucoup de la constante connue +’+; ainsi l’on aura exactement

de ee mas are Huitième cas, " négatif.

Alors on aura HE 0.095045 34412 04, log a = 9.957093 08474 26, 1.020532 31954 26,

CNE

de là les deux racines x—«, x——6,

— 0.122009 86742 62, log & — 9.086751 09483 9, — 1.12825 87166 5, log 6 — 0.05240 87166 66,

et les fonctions correspondantes

da — 0.12209 89503 76, N'6 — 1.02228 47156 53.

Au moyen de ces valeurs, on trouve que la somme DE Vi — Va + da — Ye se réduit à — 0.77484 81389 3, quantité très approchée de la constante 12Nd'1=0.77484 81388 755; ainsi l’on a exactement Va — 41 — dit 4é— Ven ss 271. Il résulte de tous ces calculs, que sur les huit solutions dont Go

l'exemple proposé est susceptible, cinq sont réelles et trois imaginaires, Voici un tableau qui comprend les cinq solutions réelles :

;. 8 « —= 0.36491 60372 60, Vi+ Ÿ2— = di + V5 — ÿa — ye{ bis me S683 26, m pos:

L ; AE ie vielle 0.62805 44167 2, HEAR RMI TRE VE eZ 3 68 10108, (118 : | ss ; « — 0.13189 87699 5, | a+ Va — = EVE + de + Ve CT RU ’ : STAR = 0.14618 24763 5 4 Jo Vi + ie Ve HUE TT Gus 466 à pue ; RL Ko æ — 0.122009 86742 62, ER ER R R t R N OR A 5.

Le premier membre de chaque équation contient les fonctions qui répondent aux trois valeurs données de x; on a fait en sorte, dans cette disposition, qu'il n’y eût, au plus, qu’une fonction précédée du signe —, chose toujours facile à obtenir au moyen d'un changement de signe qu’on opérerait, au besoin, dans les deux membres. Maintenant on voit que toutes les combinaisons de signe entre les trois fonctions données se trouvent dans ce tableau, avec la condition mentionnée qui n’admet que quatre combinaisons ; aussi voit-on que la combinaison /1 + d'a — JE sy trouve deux fois. Ce résultat trouvé, pour le cas de x —5, dans une transcendante de la seconde classe, ne peut manquer de s'étendre à toute autre valeur de x dans les transcendantes de la même classe; c’est-à-dire qu'étant donné un nombre quelconque y — 2 de valeurs de x, pour déterminer un pareil nombre de transcendantes dx ou dx, on pourra toujours trouver une somme de ces transcendantes prises avec les signes qu'on voudra, de manière que cette somme soit composée d’une constante déterminée et de deux fonctions, dont les variables & et 6 sont déterminées algébriquement par le moyen des 4 — 2 valeurs données de x. On peut s'assurer, en outre, que le même résultat peut être généralisé pour les transcendantes de toutes les classes; c'est-à-dire qu’étant donnés les signes des différens termes d’une somme proposée de fonctions, on pourra trouver assez facilement , & priori, les signes avec lesquels on doit prendre les quantités analogues à celles que nous avons nommées à , 4’, A", etc., pour que la somme des fonctions prises avec les signes donnés se réduise à une constante, jointe à un nombre de fonctions auxiliaires toujours égal au numéro de la classe. La règle, pour cet objet, se dé-

TROISIÈME SUPPLÉMENT. 261 duira toujours aisément de celle que nous avons donnée pour former la somme £@x, qui compose le premier membre de l'équation (5).

272. Il suflit, pour s’en convaincre, de chercher comment dans le dernier exemple, où l’on a pris mn négatif, On aurait pu, & priori, parvenir directement à la combinaison qui donne la valeur de....... d'1 — d'2 + 43

D'abord cette combinaison, exprimée par les seules fonctions 4x, est he Re ERA EE

. à PV dE Marta ; Dans le cas dont il s’agit, la quantité =, qui doit servir à déterminer les

: : a+x signes des fonctions, est EP le cas de x — +, cett tité, qui devient T2 = L., a parcon- Dans le cas de x = +, cette quantité, qui dev Aa Te 2 A PAT CO

séquent le même signe que À.

SPENCER CT UE UE. l : / Dans le cas de x =— 1, cette quantité = ——" — > a le même signe EDP que À”.

Enfin, dans le cas de x — — 2, cette quantité a le même signe que à.

De là il suit que pour obtenir la combinaison cherchée L+— 4 (—1)

+ Ad (— 2), il faudra prendre À positif, A” négatif et 2" positif.

C'est en effet la combinaison qui a produit ce résultat , et d’où l’on a déduit l'équation

Ji — Va Vie ya + Ja — V6, dans laquelie æ — 0.12209 86742 62, = m2025; 8710000!

Cette application suffit pour faire voir que le problème dont il s’agit se résoudra toujours avec beaucoup de facilité dans les transcendantes de toutes les classes.

Ainsi, étant donné un nombre quelconque w — N de valeurs particulières de x, on peut adopter telle combinaison de signes qu'on voudra dans la somme des fonctions dx, où nous supposons dx une fonction de

4! \ r , d , . r la première espèce, représentée par f Go” * l’on pourra toujours dé-

terminer les signes des nombres À correspondans à chaque valeur particulière de x, de manière que la somme des fonctions prises avec les signes proposés soit égale à une constante connue, jointe à N autres fonctions dont les variables seront déterminées par le moyen des w —N valeurs données de x. Il pourra arriver qu’une ou plusieurs paires de ces variables soient imaginaires, mais la solution n’en existera pas moins analytiquement.

$ VIII. Suite des mêmes recherches, appliquées successivement à une seconde fonction de la première espèce et à deux Jonctions de la seconde espèce.

. \ Je 4 4 .

273. En appliquant à l’intégrale res ce que nous avons dit en

Un) er A. ed , général (n° 220) de l'intégrale Un . gx étant un polynome en x du ; . d' .

degré À, on voit que f A on est une seconde fonction de la première

ë t PE fe Eeont doux fonctions tele set espèce, et que Ne 5 de CES ns de la ré conde espèce ; il est inutile, d’ailleurs, d'admettre dans l'intégrale Per, qui résulte de la supposition fx ni — a), des puissances de x plus élevées que la troisième, puisqu'on a prouvé que l’inté-

x'dx \ / EU grale er 2Y où px est un polynome en x du degré À, peut toujours

se ramener à des intégrales semblables, dans lesquelles l’exposant e est moindre que À — 1.

Pour distinguer les nouvelles intégrales de celles que nous avons consi-

F4 US AA te d d 5 dérées jusqu'ici, nous désignerons fe Vo et f Vars P par 4.x et

d',x; semblablement FE et [SE LS PA x et À

Si nous partons d’une Au ZŸx = C, trouvée pour la À abs simple des fonctions de la première espèce, il suffira de changer les fonctions 4x en d,x, et les fonctions N'x en — d/;x, et l’on aura semblablement Z\d,x—(G,, C, étant une constante déduite de C, en mettant \,1 à la place de 41, et — 4”, + à la place de 4/+. Ces résultats, indiqués par la théorie précédente, vont être vérifiés dans différens exemples; mais

auparavant il est nécessaire de donner les formules par lesquelles on pourra calculer facilement les valeurs numériques des nouvelles fonctions 4,x et dx.

xdx tdE Des intégrales À,x re Rd Do 274. I faut d’abord calculer les fonctions complètes 4,1 et A',5, la première par la formule page 408, la seconde par la formule (Z), page 577, tome II; on aura les résultats suivans :

PTE ins 9 FiT(1.4) RS 0 ræ 9).

HU ecs (re ?

14e Po DA 0.24857 493503 47 1e Stade: