PR
COS" æp y COS Dp 3 COS Ep 5 ose COS")
Si, pour plus de simplicité, on écrit seulement les indices de &, on aura à considérer l’expression symbolique
m+p—i, m+p—3, m+p—5..... m + 2 M — p + 1, m—p+3, m—p+b..... mm — 2 (p— 1, p —3, p—5 DL À LR 21}:
Dans ces expressions où l’indice z est mis à la place de cos &,, les termes représentant des facteurs qui doivent être multipliés entre eux, tant au numérateur qu’au dénominateur, il faut observer que — 7 peut être remplacé par +2, et que pæn peut lêtre par p—x, par la raison que... cos (æ,) = cos (— «,) = cos #,, et que les amplitudes &,,, #4, étant
K K ; ; telles qu'ona F(a,,)+F (4,,3)=(p—2) CPE SES 2K, ilenrésulte &,,+@,,,—= 180° —#, et par conséquent cos &,,1 —= ——C0S 4,; or, on est convenu de n’avoir pas égard aux signes des cosinus, puisqu'on sait que le résultat total doit être positif. Ainsi, l’indice p +7 désignera le même facteur que p ==72. Cela posé, l’expression précédente peut être
me pe pose, P P P ecrile ainsi : * m2, m+h,.... MHp—1; M2, M—h,....0,—2,—4.... m—p+#+i (2.4.6....p—1).. £ Le terme o dans le numérateur peut être omis, parce qu’il indique le facteur cos &, où coso ou 1; les facteurs négatif peuvent être changés de
PREMIER SUPPLÉMENT. 15 signe ; alors l’expression devient, en ajoutant » de part et d’autre,
2, 4, 6... p—m—x, p—m+k4ir.... p+m—ia
m(2, 4, 6.... p—m—1, p—mtHi.... p—i}
Par la suppression des facteurs communs aux deux termes, la fraction
devient CE rt OS 2 md Pr, 1 p+i. p+3... ptm—i —. RE OU —, Rd a!
m p—m1. I. p—m +3. «PI M OpP—I. De pd p—m+H1
et comme, suivant la remarque que nous avons faite, pæ+n équivaut à
. . . I Lei La ? ; à ne = Dome. À p —n, l'expression entière se réduit à —. Donc en général Q = RSR
On aura semblablement, en vertu du lemme (14), l’expression m+p—2, m+p—4.... p+2 Q'— m—p+0, pre + SM —P—2, (P—2, p—4.. En pm < et parce que la ligne supérieure p+2, nr se. PHM—2, équivaut à linférieure p—2,p—4... p—mb42, on aura simplement Q'—= Mp+2, Mm—p+h,.... 2nm—p—2 P—2,; p—4.... p—m+e2 L Le nombre des termes est dans chaque ligne m1; mais l’expression ne se réduit pas; on peut seulement, en changeant les signes des termes du numérateur, la mettre sous cette forme, D pP—2—m.p—4{—m.p—6—m.... p4#2—92m p—2.p—4.p—6.... p+2—m
ee —— ———— ©
T7 p—2m. ae Et de à Q'Q= = “2%, ou plutôt, parce que Q'Q" doit être posia A COS dan P ? q S | COS æ tif, Q'Q= —2-7., TMS. COS &p am
16. Au moyen de toutes ces réductions l'équation à vérifier devient 2C0SÆy COS Em = (1— #*sin° &, Sin° &,) COS sm
Mais suivant les formules de l’art. 19, tom. I°, si l’on fait = «,,,
d = a», FP—Fd=Fu, ce qui donne EP = — K, FJ=— K,,
Eu on K,U=t@,,m, On aura cos ou
COS &m COS y SIN &n SIN p m À &m À &p AA SRE BE Em LE te UPS 2 1 — £° sin° #n SIN? #)m d’ailleurs, Fa, et Fa,, étant deux fonctions complémentaires, on a An À pu = W(i—Æk)—=#", et 4 tang a, tangæ,,—1; donc enfin 2 COS y COS æ, COS D um = 555 à re E— £* sin° æn SiN° #p m
Ainsi l'équation que nous voulions vérifier a lieu pour toute valeur de #2 prise dans la suite 2,4, 6...p—1; c’est-à-dire pour tousles facteurs de U.
17. Il ne reste plus qu’à vérifier l'équation par rapport à tout facteur du polynome V.
Cefacteur peut étrereprésenté par 1 —Æ*%T sin° &,, métantencore un terme
quelconque de la suite 2, 4, 6....p—1. Soit V = (1 — A sin° &,,)V,
le second membre de l’équation (13) contiendra, dans sa partie le
dV 7 Vadé?
ÆE sin en
terme ——— 1 — £°Q sin? œm
. Pour avoir le terme semblable dans le premier membre,
. . Lt . T SR UV
il faudra sub er la valeur é— ———— dans la fonction ——- , ou seuaudra substituer la valeur € TRE UV ?
ne par cette substitu-
lement dans sa partie cr Soit H ce que devient H'£° sin? #»
1— #7 Sin? #m pour qu’il y ait identité avec le second membre, il faudra qu’on ait H'=1 pour toute valeur de #2 prise dans la suite 2, 4, 6....p—x.
Or, en calculant la valeur de H/ comme il vient d’être dit, équation
H'= r conduit encore à l'équation que nous avons vérifiée sous la forme Qi — Æ sin? a, sin° &,») = 2Q'Q”.
Il est donc constaté, d’une manière générale, que l’équation (13) devient identique, en substituant dans les deux membres les valeurs trouvées pour les fonctions T, U, V, et qu’ainsi il ne reste rien à désirer
pour la confirmation pleine et entière du beau théorème de M. Jacobi.
ton , et sera le terme qui résulte du premier membre; donc,
18. L’usage de ce théorème suppose la détermination préalable des rs : ! UE 44 L mkK.
quantités &,, qui satisfont à l’équation F(4, &,,) = = LR — CE
Ces auxiliaires étant connues, on connaîtra les constantes 2 et g qui en-
trent dans la formule de transformation F(4, g) = pF (k, 4), et l’ampli-
tude } pourra être calculée par la formule trigonométrique (1) ou par des formules équivalentes.
Ayant passé ainsi du module donné # au module plus petit 4, on passera, par des formules semblables, du module À à un module plus petit 4,, et ainsi à l'infimi; ce qui formera l’échelle des modules dans l’ordre décroissant Æ, L, h,, h, ,... jusqu’à la limite zéro. Cette suite peut être continuée à Pinfini dans l’ordre inverse, au moyen de l’équation algébrique qui existe entre les deux modules Æ et À, et qui permet de déterminer le module par le moyen du module plus petit 2; on déterminera donc semblablement le module #, par le module plus petit Æ, de même, 4, par 4,, et ainsi de suite ; ce qui produira pour tout nombre impair donné p, une échelle de modules infinie dans les deux sens, ainsi représentée
Lim. 1).... 4s, ds 4, &, h,h, ha, hs5ce.. (Lim. o
et la fonction donnée F(Æ, @) pourra, en vertu du théorème général, être transformée en une infinité d’autres qui auront pour modules les différens termes de cette échelle. Tout se réduit à la résolution d’un certain nombre d'équations algébriques ; mais nous reviendrons sur cet objet après avoir démontré le second théorème général de M. Jacobi, qui sert de complément au premier, et qui offre un second moyen de transformation, appliqué à la même échelle pour le nombre p.
$ Il. Démonstration du théorème IT de M: Jacobi.
19. D’après la démonstration que nous avons donnée du théorème I®, il est constant qu’on satisfait à l'équation F(X, @) = mF(k, À), aussi bien qu’à sa différentielle
dx ss dy a VO— SVG Fe) VGA y)?
qui suppose snp—x et sind —7,au moyen des formules qui donnent lexpression de y en fonction de x, et qui déterminent les constantes Let en fonctions du module donné Æ et du nombre impair donné p.
Et puisque, par la subsutution de y en fonction de x, les deux membres de l’équation différentielle deviennent identiques, ce résultat, considéré analytiquement, doit avoir lieu pour toutes valeurs de x et de y, plus petites ou plus grandes que l’unité, réelles ou imaginaires, pourvu qu’elles satisfassent à l’équation de l’art. 7, et que les constantes X, 2, je restent les mêmes.
16 FONCTIONS ELLIPTIQUES, Cela posé, soit x=itang © et ÿ—1itangr, 2 désignant pour abréger y/— 1, l’équation différentielle deviendra de ou dr vGi—K? sine) "*ÿ/@ — sin r) ?
el son intégrale sera
(15) PORN NEA ENT)
On obtient ainsi une nouvelle formule de transformation qui s'applique aux modules 4’ et k!', complémens des modules k et À de la première formule ; mais il faut voir comment les nouvelles amplitudes ©& et Tr se déduiront l’une de l’autre.
Pour cela, nous reprendrons les formules du théorème I, qui servent à exprimer sin 4 et cos AL en fonctions de sin ® et cos ®@. Ces formules sont
sin? ® À sin? @ sin? @ ee sin @ sin sin°æg sin? æp 1 S L Ras SERRE PONS RER E ER T HSE EN D'OR SE RS OC NE E . (SRE LS SET PNR OUR 2 1— L°sin‘gsin®æ, 1-— #£* sin*@ sin? °°° Æ sin @ sin* spi ? sin? @ sin? @ sin? @ Er ES Von ornée PE
sin” *; sin° &3 SUN ES
cos À — COS QT 7
—ksin‘@sin#)1 1—/4*sin’@sin*æ,3 1 — É° sin? sin° «, I : .
11 faut y substituer les valeurs sin itango, cos®—— , sind —1itangT y v P—itange, cosp——— , sin 8T;
I r ; cosd———, et l’on en déduira cos Tr ?
sine 1—cot’e, sin 1H cotæ;sin®æ 1<-cot’z,;sin°> a |
sinr=- ee —— — —— |, - — - 1+-COt'#) sine 1+-Cot'4) {Sin I + CO’, sin° > COS’æ . COS” 4, . COS HE sit F Mn LA 2 à Lnmen oc € — in°c (16) RARE ARTS SIN Æp2 SIN #p{ sin‘#, | 14 cola sin” r'icole, {sin ‘1—cot'a; sin°s cos? &, sin° & COST 45.2. COS’ 40 - 1— ee — I ———sine 1— ——"—si 2e 5; SE SIN” &)— Sin "#3 Sin” æ Vi —2sin 7) = Vin 0) 2 2 —
1 + cot° #, sin 1 cot’ «3 sin* 1+-Col#)ssin°c"
Ces équations contiennent la loi suivant laquelle Pamplitude T se déduira de l'amplitude donnée & pour satisfaire à équation (5): ; il en résulte que Tr et & croissent simultanément, quoique d’une manière inégale, et parviennent toutes deux de zéro à 90°. En général, ces amplitudes sont égales toutes les fois que l’une d’elles est un multiple de 90°.
20. Les formules (15) et (16), qui se déduisent, comme on voit, très simplement des formules du théorème I*, établissent une analogie très remarqueble entre les deux échelles construites, pour le même nombre impair p,
l’une d’après le module Æ, l’autre d’après son complément #, La première étant formée, il suflit de prendre les complémens des différens termes pour former une seconde échelle qui marche en sens contraire de la première , comme on le voit ici :
D A RG Cole A ALL sue er (0
D rte gt ee Ur AR RE CNT ON PR Dans l’ordre naturel de la première échelle, on passe du module # au mcdule plus petit 2, au moyen de l'équation F(k, @) —uF (k, À), et en employant la formule qui exprime sin «L en fonction de sin @.
Une opération semblable se fait dans la seconde échelle, pour passer du module #’ au module plus grand X/, au moyen de léquation........ F(4',6)=4F(#/!, r) et de la formule qui détermine sin + par sin &. Dans les deux cas, le régulateur x est le même, et les mêmes auxiliaires &,, servent à former les équations des amplitudes.
La première échelle sert aussi à passer du module Æ au module plus grand 4,, de celui-ci au module plus grand Z, , ainsi de suite; mais alors l'opération est plus compliquée, parce que chaque amplitude ne peut se déduire de la précédente que par la résolution d’une équation du degré p. Une pareille difficulté se rencontre dans l’échelle des complémens, quand il s’agit de passer du module 4’ au module plus petit #,, de celuici au module plus petit #,, etc.
