Puisqu’on a en même temps G=ix et T— +57, la formule

F(Æ4', 5) —=uwF(h", r) donne, dans ce cas, FX = uF'h", ou pu — 7 en désignant par K/ et H les fonctions complètes F'#° et F1}, Mais, par la formule du théorème I”, nous avons déjà trouvé K = pu; donc on a, en général,

(17) V = Pr K H Cette équation entre deux modules consécutifs Æ et k, qui appartiennent à l'échelle construite pour le nombre impair p, est un théorème fort remarquable, dont nous ferons connaître ci-après les nombreux usages. Nous observerons seulement ici que ce théorème s'accorde avec les propriétés déjà démontrées dans les n° 76 et 190 du tome 1‘, relativement à l’échelle ancienne des modules et à celle qui répond au nombre 3. 22. Le théorème II de M. Jacobi, auquel nous voulons parvenir, est déjà écrit dans les équations (15) et (16); il ne s’agit plus que d’y changer quel-

ques dénominations , afin de coordonner ce théorème avec le théorème I”, dont il est le complément.

Dans l’équation (15) on peut changer #’ en L; alors ! deviendra k, et £ se changera en X’; et puisque © est une amplitude à volonté, on peut faire =} et l'amplitude correspondante T= ©. Par tous ces changemens, le coeflicient w deviendra x”, et l'équation des fonctions sera

(18) F(k, d)=pE(k, ©).

Il faudra ensuite, dans les équations (16), remplacer les quantités &,, par des quantités analogues 6,, qui satisfont à l’équation F (4, 6,) => E. Fai-

sant alors sin d = y et sin w —3, les équations des amplitudes se déduiront des équations (16) comme il suit :

PEL A AL + p'eotes 1 + p'oot Ge QE + y cot° Cp 7208 y° cot° 6,, 1 + y*cot* Cry 1+ ycot€, ?

y° cos’6s y° cos°6, yPicos C, 1 CARE DOATRIR ART Em SENTE (19) re D ( Core LL Eve OV AE parce rm LR mere rer en 1+ y" cot* Ca 1 + y" cot° C4 1+ y“cot*6, J°cos° 6; y°cos° C3 Qu Y* COS? 6 sin* Cp sin® 63 sin? 6,

PO) MT See Cl Ie Eee ee

Telles sont les formules principales dans lesquelles consiste le théorème II de M. Jacobi, que nous nous proposions de démontrer ; il ne nous reste plus qu’à y joindre les formules qui serviraient à déterminer les constantes k' et pm’ par le moyen du module donné 2; ces formules, qui se déduisent aisément des formules analogues pour le théorème I*, seront développées dans le paragraphe suivant.

23. On a déjà remarqué, dans les équations (16), que les deux amplitudes parviennent en même temps de zéro à 00°; il en est de même des deux amplitudes £ et ©. Faisant donc à la fois d = +7 et © — #7, on aura F'h=T"'k, ou H —ywK. Mais on a déjà trouvé, par les formules du théorème I, K—pull; donc on a, entre les révculateurs g et w/, l’équation générale

(20) pau = 1.

Maintenant, si l’on combine ensemble les deux formules............. F(k,Q)=puF(h, À), F(k, d)=ywF(#, ©), fournies par les deux théorèmes, on aura F(k, ®) = pu F(k, ©), ou

(21) F(k, ©) = pF(&, @).

PREMIER SUPPLÉMENT. 2t

C’est la formule qui contient la loi de la multiplication des fonctions, et par conséquent celle de leur division par un nombre impair p; et c’est parce que les deux théorèmes concourent également à produire ce résultat que nous les regardons comme étant complémens l’un de l’autre. Nous donnerons bientôt le développement des nombreuses propriétés qui résultent de ces deux théorèmes; mais avant tout, il ne sera pas inutile de faire connaître une autre manière de parvenir directement à la démonstration du

théorème IT.

24. Soit, comme ci-dessus, 6, l'amplitude qui, pour le module #/, satis-

fait à l'équation F (Z/, 6,) — sus soient ,, ns, ds... nl,,, des an-

gles qui se déduisent de amplitude 4, au moyen des formules

tang =: tn - tang AL, tang here tang 4... tang,, = — tan un). Si l’on fait (22) 04 — ds ds... did,

le signe supérieur ayant lieu si p—#41+ 1, et l’inférieur si p—=4i— 1, je dis qu’on aura la formule de transformation

(23) Eh, VJ=uE(E, o), pourvu qu’on détermine convenablement les constantes # et 4’ en fonctions de Æ ou de son complément #/.

25. Pour procéder à la démonstration de cette proposition, nous chercherons d’abord la valeur de sin w , exprimée en fonction de sin 4. Or, on sait en général que, si a, D, c, d, etc., sont les tangentes de plusieurs arcs, Si 53 + s5— etc.

1 — 53 + 5, — etc.

$, étant la somme des tangentes a, b, c, d, etc., s, la somme de leurs produits deux à deux, s, celle de leurs produits trois à trois, etc. Soit donc tang À = +4; si l’on fait

SANTE (: — 7) ( pre =) (1 — das HO C+xe-)

= i— ANA AG ete... HA, EU

la tangente de la somme de ces arcs sera exprimée par ;

Te tN : :

on aura en général tang (Lo id) =— D> °n faisant pour abréger

N=A,— At + Astf —etc., D=:r — A {HA — etc.

De là on tire tang + © — A ee et par suite + ang 3 AL RU LE tang + © o fes a 2ND + (D° — SN") “+ tang”; D: + #N° ?

cos & = === 28" i = COS np Métr id verte 1 + tang? à D: + N°

26. Dans ces deux dernières Rs on peut mettre le dénominateur D* + & N° sous la forme d’un produit de plusieurs facteurs connus. Pour cela, soit en général ®(£) la fonction de £ égale au produit

sets LC out me). Ceres),

on aura aussi D(D=1—AIHAM—AS ..... A, PT,

De là résulte

D=iD(—ey—i)+E@(E W— 1), N Vide) +0 (V5), D°+ EN =D y—1).D(—iy—:1).

Substituant dans le second membre de cette dernière formule les valeurs de D(ty/— 1) et D(—iy/— 1) exprimées en facteurs, on aura

De + 2 (1 + re) C Ée. SG SRE a) -- (+):

ï . ? 1 : = 2 ——« 1 DA EN ensuite si l’on fait sin d=—7y, ou #— Le chaque facteur 1 + RAT:

Q—={(1+7" cot° 6,) (1 +y* cot 63) .... (1 Hy* cot? 6,.). Quant au numérateur P , il résulte de la quantité 2ND Æ (D°— # N°), ou Æ[(D ÆN}— (144) N°], en y substituant la valeur À — - ee S

puis népligeant le dénominateur commun (1 — 7°}, comme on l'a né-

gligé dans l’expression de D: #N°.

Maintenant, s’il est vrai que l'expression 32=Yy. Q EL satisfait à l'équation

F4, L) = pr (E#, œ), ou, ce qui revient au même, à l’équation différentielle

PREMIER SUPPLÉMENT. 23 OR SC ONNNEN 4e m4 LReUpaz, |. di È VG—s)vVG— 2) Vi —2). Qi —E£2)?

: : : . LEUR on pourra dans cette expression substituer à la fois -— à la place de y, et Ly