A':6— 28.097073 41887 170 [IX
1 memb. — 29.047706 28080 2° memb. = 29.04706 28181 710.
La différence ne se trouve que d’une unité dans le huitième ordre de décimales, qui est le dixième chiffre significatif. Ainsi l'équation dont il s’agit a lieu exactement, conformément à la théorie; les deux membres d’ailleurs s’accorderaient entièrement en supposant
Vs "071107 7010110081,
valeur que l’on aurait sans doute obtenue en calculant la série dont elle dépend avec plus de termes et plus de décimales.
( IX. Æxamen des propriétés de la méme transcendante, en supposant successivement p = 4 et p — 3.
289. Tous les calculs précédens ont été faits dans la supposition de mm —= 5 ; nous allons maintenant revenir sur nos pas, en réduisant l’équation primitive au quatrième degré ou même au troisième, c’est-àdire en supposant successivement w = 4 et m —3, mais en conservant toujours la même valeur de la fonction @x, savoir, x = 1 — x. Nous formerons ainsi deux nouveaux systèmes, qui auraient dû être les premiers dans l'ordre de ces recherches, et qui offriront, comme le système de m — 5, une infinité de manières de comparer entre elles les transcendantes 1x. |
Pour établir l'équation fondamentale dans le système uw — 4, nous
m I prendrons Ox = c+ ax, x — ad, BX = 1 + . x + x° mm + I m Hi
et alors l'équation (2) NE m
+} (i+ + x) ere. mr ne)
On remarquera que nous avons mis C4 x à la place de c+c;x, qu'indique la formule générale; mais, dans le cas présent, le coefficient de xt devant être le même dans les deux membres, on aurait la condition (c,} = 1, qui permet de prendre c, = 1.
Il ne reste donc dans notre équation que deux coefficiens a et c à déterminer ; pour cela, il faut supposer connues deux des valeurs particulières de x comprises dans la suite x,, x,, æ3, x Soient ces deux valeurs x —=t, x —=t', on aura, comme ci-dessus, les équations
mp
MOT REAE pee
CEE 2NUA— ve He me
d’où l’on tirera les valeurs
nt M — N't = -— = — | —= x a AAA € ax RAELF
Soit ensuite æ°—+ px + q —0o l'équation qui a pour racines les deux autres termes de la suite x,, x,, xs, x, et lon aura, pour déterminer p et q, l'équation
m L I G+ay(i+ et pe | pe m +1 ) = (x —t)(x—#) (x — px +0); PULLS
d’où l’on tire
p—=—t—#{— a US )
Hirt 7 Lt: es r Lptt + tone (ap Le) Cl 2c |.
L'équation à résoudre pour avoir les deux auxiliaires sera, par conséquent ,
02 + af Ha +ac+i+l)+T et, avec les quatre racines ainsi déterminées, on formera le in membre de l'équation (3).
290. Le cas le plus simple est celui où l’on suppose nulle l’une des données # et #; supposant donc #— 0, ce qui donne \'=1eta—=c,
on n'aura plus que la donnée x = 1, qui devra être combinée avec les deux racines de l'équation oœ a + & (+ a + 20 +i) — À (a+ ce).
= qui
peut se mettre sous cette autre forme :
a laetitia RE AS (29) Ge a Fa a 1 LP 20
m — 1 mit. Le
Avant de donner des exemples de ces formules, il ne sera pas inutile d'examiner la figure de la courbe représentée par l'équation (29), en regardant £ comme l’abscisse et c comme l’ordonnée.
291. Cette courbe, tracée fig. 3, n’a point d’asymptote verticale,
288 FONCTIONS ULTRA-ELLIPTIQUES, m
comme celle de la fig. 2; en effet, le dénominateur m+ 1 —t,. — +,
dans lequel nous supposons » positif, ne peut se réduire à zéro, puisque ses facteurs sont imaginaires.
À partir du point À, origine des abscisses, l’arc de courbe AC, dirigé dans le sens des abscisses positives, se prolonge au-dessous de l'axe AC jusqu’au point C, dont les coordonnées sont AB—1:1, BC— 1. En ce point la courbe est tangente à l’ordonnée CB ; elle se prolonge ensuite dans l'arc indéfini CKDEFG, dirigé tout entier dans le sens des abscisses négatives. Les points les plus remarquables de ce prolongement sont le point K, où l’ordonnée négative est un maximum, le point E, où l’ordonnée pareillement négative est un minimum, et les deux points D et F, situés, comme le point C, sur une parallèle à l'axe menée à la distance CB = 1. On déterminera ci-après la position des points K et E ; quant à celle des points D et F, elle se détermine par les valeurs de # qui ont lieu lorsque c = — 1. Or, on a en général £=c(A —:);
faisant donc € — — 1, on aura é — 1 — À, ou A r1— 1 et a—p(r-r+r) x? = ae PUMA (1 —t}. Supprimant le facteur 1+é, +
1 — £ relatif au point C, où & = 1, il reste l'équation. .......
et divisée par #, donne ON LR EE
Il en résulte une racine positive £— « et une racine négative 4 —— 6, dont les valeurs sont
MX
