Tome II

passe au-dessus ou au-dessous du point 1, pour lequel on ax = 0 et

A QUE (—), ou AI = — = =. Si la parallèle est menée entre les

points E et I, on aura aux points d'intersection une abscisse positive x — « et deux abscisses négatives x = —6,x——"7, au moyen desquelles on formera l'équation La + d'6 + d'y = 41 +244 Si la parallèle est menée entre les points I et D, les intersections donneront deux abscisses positives x = «, x — 6 et une abscisse négative x = — 7}, d’où résultera l'équation da — 46 + J'y = di + + d/ #4; et l’on peut remarquer que ces deux équations s'accordent avec la loi de continuité, car si 6 devient — 6, 6 deviendra — 4/6, et réciproquement.

Dans la seconde partie, toute parallèle à l’axe menée entre les deux parallèles FC, LK donnera lieu à trois intersections, dont deux auront les abscisses positives x=— &,x—6, et la troisième l’abscisse négative x = — 7 ; alors l'équation des fonctions sera

Va + 6 — dy = di — Eds.

Elle se vérifie sur la ligne FC, où l’on a J AB Ad—L'Af—=d 1—5d"E, ou L'Af— A Ad=;}\'5, et sur la ligne LK, où l’on a 24 Ak— J'AI = — 15/3.

208. Les exemples précédens sont relatifs à trois fonctions seulement, dont une prise arbitrairement, les deux autres étant déterminées par les abscisses des points d’intersection d’une même parallèle à l'axe avec la courbe tracée dans la fig. 3. On peut satisfaire ainsi d’une infinité de manières à l'équation (3), dont le second membre sera toujours égal à l’une des constantes «1 + F5, di — 242 Ces solutions sont

ioutes fondées sur l'équation (29), où nous avons supposé m = ÿ5 ;

mais On peut aussi supposer m —= -— 5, et l’on aura une seconde équation représentée par une courbe différente de la fig. 3, et qui donnera pareillement naissance à une multitude infinie de nouvelle solutions. Ces deux combinaisons ne donnent cependant qu’une partie infiniment petite de toutes les solutions qu'on peut obtenir dans le système de w — 4, où l’on peut prendre à volonté deux valeurs de x désignées ci-dessus par x = { et x = l'; car ces deux valeurs, jointes aux deux autres qui en sont déduites au moyen de l'équation x°—px+q=0o, serviront à composer d’une infinité de manières quatre fonctions 4x ou Lx dont la somme sera égale à une constante connue. Nous nous contenterons d'ajouter ici un exemple de ces solutions, dans lequel le premier membre de l'équation (3) sera composé de quatre fonctions.

Revenant donc à l’art. 289, et prenant pour exemple des calculs qui

y sont indiqués, les valeurs 4 = ?, # = — 1, nous aurons les deux équations s 1 VQ5.5) de.

CH; = a, À = Yes = 0.47801 93448 776,

log À — 9.67944 59266 162, Po — aN, À = — — 3.790245 91736 435, log À” — 0.56849 02783 319; de là résulte

J à Aa = — Fr =) log (— a) — 0.66763 70/94 11 log À 9-67944 59266 162 aÀ == — 0.222537 34715 425, log (— an) = 9.34708 29:60 313 C——0.72237 34715 425, log (— c) — 9.858796 17885 592.

Les formules de l’article cité donnent P= — — — 2C — a, = — 20°;

et en substituant les valeurs c? — 052182 34323 884 d' — 0.21640 83923 818

on aura DE 0.110530 45619 533, qg = — 0.61083 00800 132, — = 0.601387 18541 1013,

et la résolution de l'équation x° — px + q = 0 donnera

de sorte qu'on aura les deux racines x = 6,x—— a, savoir : 6 — 0.83865 20283 347, log 6 = 9.92358 18016 846, a —= 0.728534 74665 814, log x — 9.862335 86138 336. Maintenant il faut calculer les deux fonctions 4/4, 6.

Calcul de V'a par la formule (12).

1) «.... 9.86233 86138 556 1) æ — 0.72854 74663 814 aÿ.... 9.31169 30691 68 1244 08609 758 8.092081 87539 52 0.715090 66054 056 2) — 8.09485 04369 54 3) 104 31898 065

.31169 30601 68 SÉÉPT CE: ICT ue Si go

AL USSe NEO — 12 25033 204 3) 7.018306 33347 22 L = — 9.31169 30691 68 0k71082 72918 g17 9.75800 14565 5) 1 67397, 771 4) — 6.08814 78603 9 0.710684 40316 688 9.311609 30691 7 Di 24941 995 9:82390 87409 15374 603 5) 5.223574 96704 6 | 7) 3930 496 9-31169 30691 7 19305 189 6) — 4.359693 11958 3 RURS SETTLTIEES « 9:31169 30691 7 ) : Ex és *.

9.88582 30932 Er ae 7)° 5.50444 73582 oo 9.311069 30691 7 HE Pt À Le 9:90287 45097 D D A td | 8) — 2.809071 49370 7 d'a = 0,71684 18753 696. # 9-31169 30601 7 9-:91548 99205 | 9) 2.035619 79267 4 9-31169 30691 7 1 9-92520 24413 1 10) — 1.273509 34372 1 d Calcul de 46 par la formule (12).

Maintenant nous avons les quatre fonctions

etc. 46 760

Va = 0.71684 18753 606, 0.87420 44824 565, 0.501381 90356 614, 0.093885 14394 40,

au moyen desquelles on composera la somme Ve + 6 = dr + V1 = 2.02857 87636 047.

Le second membre est à très peu près la valeur connue de la constante 1 + 2475; ainsi l’on aura exactement l'équation Va + A6 — NE + = di + ide 299. Venons maintenant au système le plus simple de tous, celui de

a =3 ; alors on devra supposer constantes les fonctions Ûx et 8x, ce qui donnera à l'équation (2) la forme suivante,

C (: —— De + x*) — a (1 — x) + +)

où l’on voit que le terme x° devant être le même dans les deux membres, il faudra faire a = 1; ainsi il ne restera plus à déterminer que le coefficient c.

Pour cela, il faut supposer qu'un terme de la suite x,, x,, xs, est donné et désigné par #, et que les deux autres sont les racines de l’équation x° — px + q = 0. Ainsi le premier membre de l'équation (D') devra être identique avec le produit développé (x—4t)(x°— px + q), ce qui donnera les équations de condition

p+tæ—c—("—), g+nt=—c(— — (=),

qi= 1 — c.

On en déduit d’abord la valeur de c en fonction de #, savoir ? ?

2 (1 AH r de e+e)

Cette équation, où l’on considére c comme l’ordonnée qui répond à l'abscisse # est celle de la courbe tracée dans la fig. 4, à l'instar de celles qu’on a déjà construites pour les cas de u=5 et u = 4.

Si l’on prend dans le sens des abscisses positives AB — 1 et dans le sens des ordonnées positives Aa = 1, la courbe passera par les deux points B et a. Si ensuite on prend AD —AC=— m — 1, et que par les points C et D ainsi déterminés on tire la droite indéfinie FDCH, cette droite sera une asymptote vers laquelle convergeront de chaque côté les deux branches MBG , Mmx, dans lesquelles il faut remarquer particulièrement le point M où l’ordonnée est un maximum, et le point K, où elle est un minimum , les abscisses de ces points étant à peu près t— 0.209885 et { — — 0.809647.

La courbe dont nous venons de déterminer les points principaux, et une courbe de même nature qu’on décrirait par l’équation (30), en changeant le signe de m, sont destinées à représenter toutes les solutions réelles dont l'équation (3) est susceptible dans le système de u —3.

En effet, si l'on prend à volonté une valeur de l’ordonnée c comprise entre le minimum Kk et le maximum Mm, la droite PQR parallèle à l'axe, menée à la distance €, rencontrera la courbe en trois points P, Q, R; si la distance c est moindre que Aa —1, les abscisses de ces trois points seront l’une positives, 4 — « , les deux autres négatives, t——6,t——7, et l'équation des fonctions sera

d'y + V6 — La — C.

Si la distance c est plus grande que Aa, il y aura toujours trois in-

tersections; mais deux seront dans le sens positif 4—&, 1—6, et une dans le sens négatif, où l’on aura é— — 7; alors on aura l’équation

Ly — A6 — da = C.

L’étendue des solutions réelles dépend, comme on voit, de la position des points M et K ; c’est pourquoi il importe de déterminer ces points avec

TRE À : A dc toute la précision nécessaire. Et d’abord, en vertu de la condition TH =

commune aux deux points M et K, on aura l'équation

ob —(m—1) Ê +(m+H+i)£ (mi) € — m+#i1, dont une racine positive donnera l’abscisse du point M, et une racine négative celle du point K. Mais comme on a plusieurs élémens à déterminer dans chaque cas, il convient de considérer les choses sous un autre point de vue.

L’équation entre £ et c, qui n’est autre chose que l’équation (30), peut se mettre sous la forme

504 FONCTIONS ULTRA-ELLIPTIQUES, a MIT M — 1] it D ct (— + c) ii (Fc + Fe ae rs Appelons & l’abscisse du point M; et — € celle du point U, situé sur la même parallele à l’axe que le point M; cette équation devra être identique avec l'équation o = (6 — a} (6+ 6); ainsi on aura ces trois équa-

tions pour déterminer c, &, 6,

m—I1 m — 1 2a6 — ad — : C+———=B,

mé—c—i—=cC.

300. Supposons , pour première hypothèse, C—1.21910 2, on trouvera

et comme les deux premières équations donnent

On a ensuite la troisième équation a°6 — c —- 1, qui donne une seconde valeur de 6 que nous désignerons par 6’, savoir :

on en tire

Il en résulte la différence 6 — 6 —0.00000 04606 706, quil faut faire disparaître par une nouvelle hypothèse. Mettons pour cet effet c (1 + w) à la place de c, nous aurons les incrémens

d'A = co = w(1.21910 2),

d'Ci—%co'— 01721010 2); d’où résulte d'é — 2d'4 — ® (1.21910 2), (26 — 24) J' + 2ad6 — w(0.75344 64717), d'& — «w (0.00408 215), .

TROISIÈME SUPPLÉMENT. 305 La valeur de 6 est donc É + w{1.22720 43).

Mais en faisant varier &, 6 et C dans l'équation &°6 —C, on en

tire une nouvelle valeur de 6 que nous désignerons par 6”, savoir :

é"=6'(i HULRe LP pErS

ou 6" — 6 + 0.00000 04696 706 + w(13.49245 4).

Égalant cette valeur à la valeur 6 + æ(1.22726 43), on aura pour déterminer © l’équation 0 = 0.00000 04606 706 + w(12.26518 97); d'où résulte @ —= — 0.00000 00382 03;

donc les valeurs corrigées de c, « el 6, sont