CM
a — 0.20985 36430 523, loga — 9.47690 93296 094,
6 — 2.43684 32281 254, logé — 0.538682 75901 818. Il faut maintenant calculer les valeurs des fonctions Aa et (/6.
Calcul de Va par la formule (12).
2) 5.78227 47316 08 4) nu 855 7.358454 66480 47 da — 0.290991 42755 765.
9.61181 98286 3) 2.177864 12082 55 7.358454 66480 47 9.75809 14565 4) 9-92127 93128 Calcul de L'6 par la formule (16).
zu... 9.601317 24098 182
ETES 9.800658 62049 091 Hat cle 9.823090 87409 443 1) 9.243566 73556 7106 Tome III, 39
4) — 1.89471 08394 6 NV'É—1.37467 66900 203 8.056586 20490 9: 2dæ =0.59982 85511 530 9-82705 55875 2 NÉ—24La—0.77484 81388 G73.
On voit par ces valeurs que la constante égale à L/6 — 244 ne diffère de la constante connue + 4'# que de six unités décimales du douzième ordre; on a donc exactement, comme nous l’avions annoncé, l’équation
/ Elan 301. Il faut maintenant déterminer le point K où l’ordonnée est un minimum. Supposons qu'a ce point on ait {—— a ,.et que la parallèle à l'axe menée par le point K rencontre la courbe en un point L dont l’abscisse é—6, alors il suflira de changer les signes de & et 6 dans les trois
équations qui déterminent le point du maximum, et l'on aura pour déterminer le point du minimum Îes équations
192 = ] 2œ —6—=—— +, M — 1] TVD mme | Œ — œ — 2a6 mir mec c'OmUl A C
Pour cet effet, nous allons nous servir d’une méthode de solution plus simple que. celle dont nous avons fait usage pour la question du maximum.
Et d’abord il convient d'éliminer c de ces trois équations, ce qui donnera les deux équations à résoudre
POUR 2 où
TROISIÈME SUPPLÉMENT. 307 m +I
206 — a — {na — 6) = m — 2.
Supposons qu’on connaïsse les deux valeurs approchées à = 0.89647, 6 —0.89085, la substitution de ces valeurs donnera
22— 64e = T7 me — D, D'—0.00000 48487 5,
226 — à — (7 — )Gæ—6)=m—2—D"!, D'— 0.00000 81203 1.
Pour faire disparaître les différences D et D’, nous mettrons æ (1 + x) à la place de & et 6(1<+ y) à la place de 6, et il faudra satisfaire aux équations (2@ + 24%6)x — (6 — 6)r =D, DDR
[auf — sat —(m—r)a]x + (226 + é)r=D",
qui, en substituant les valeurs numériques, deviennent (3,.22481 828) x — (0.17491 086) y = D, (1.111817 418) x — (2.147981 618) y = — D’.
On en déduit les deux suivantes,
æ — (0.054235 90) 7 — 0.00000 15035 7, 2% — (1.92082 45) 7 — — 0.00000 72621 2, et enfin | æÆ — 0.00000 17582 8,
ÿ —= 0.00000 46961 1; de là les valeurs corrigées æ — (0.890647) (1 + x) — 0.89647 15762 45, 6 — (0.89085) (1 + y) — 0.809085 41835 3; on aura en même temps l’ordonnée minimum Lars
cæ= a —6—(
Voici maintenant le calcul des deux fonctions L'#, L6, où l’on remarquera que la précision n'a été portée que jusqu'a la huitième décimale au plus, à cause du peu de convergence des séries employées dans ces calculs, |
Calcul de a par la formule (14).
4.42459 ‘9.56429 9-939530 10) 3.92419 9.56429 9:94195 11103: 45045 9-56429 9-:94737 12) 2.094213 9.68892 13)etc. 2.635105 1) = 0.81820 2) 3500 3) 595 4) 135 5) 34 6) 9 7) 2 8) 9) 10) 11) 12) 15) etc Va — 0.860909 21/œ 1.72198
Calcul de 6 par la formule (13).
Ces 9-94980 66238 228 5.560383 08660 CHR 9-74903 31191 14 9.64237 47209 u—1— 65... 9.64237 47208 56 9-93464 69534 LRU 9-82118 73604 38 9) 5.080835 25403 OR « 9-60205 99913 28 9.642373 47209 1) 9.425324 73517 66 9-94193 54831 TA 9.64237 47208 70 10) 4.66516 27443 9:42596 87322 72 9-:04237 45209 2) 8.49159 08049 14 RACE SEA NTe 9.642537 47208 76 11) 4.255209 78471 9-73239 37508 23 9.81202 555 3) 7.860635 92856 15 12) etc. 406732 34.
9-64237 47208 56 9.823090 87409 44 1) = 0.26500 09017 51 4) 7-33264 27474 33 2) 3101 63582 97 9-64237 47208 76 3) 735 12177 24 9-86857 01358 6 4) 215 10115 71 5) 6.84359 GGo4r 7 p DONS 9-64237 47208 8 PASSER ED 9-80912 10573 7) NA RATE LRO AELTE D 8) 3 19029 52 6) 6.38109 23823 5 9) 1 20462 68 9-64237 47208 7 10) 46255 43 9-91272 60760 11) 18001 05 7) 5.93619 31792 2 12) etc. 11676 79 9:64257 47208 8 U = 0.350659 54305 22
Il suit de ces calculs qu'on a
We 2N/a —= 24Va — N6 = 0.77484 81274 or.
M PUR le second membre à la constante connue. ...,.. ;
14/1 = 0.77484 81388 735, on voit que la différence n’est que ae unité décimale du huitième ordre, degré de précision qui n'aurait pu être passé qu'en Calculant un plus grand nombre de termes des formules (13) et (14). Ainsi l'on doit regarder comme suffisamment éta-
blie l'équation aa — A6 = :\'à
302. Si nous revenons maintenant à l’art. 299, nous voyons que toute parallèle à l’axe, telle que PQR, menée à une distance c plus petite que
Aa— 1, donne lieu à trois intersections, dont deux dans le sens négatif
et une dans le sens positif, lesquelles satisferont en général à l'équation d'y H A6 — da = Es d'i En effet, cette équation , appliquée à la parallèle qui PS par le point K,
se réduit à l'équation précédente 24/4 — Né = 14/2 Si la RES passe par le point 4, on aura É—0o, et Pen ton de fonctions sera
Vy— den y
En effet, dans le cas de 4 = 0 ou € = 1, on a (article 208) p=—i— (=) = Lies su =), q=—(m—1), et l'équation à m Lne 1
simplement
résoudre est x + ——x—m#+i=o, d’où l’on déduit les deux va-
leurs X=4, X—=—7Y, SAVOT : X=T éie + jv (8m — 10},
Ces valeurs sont Re dans le tableau de l'art. 254, où l'on trouve l'équation d'y —-La = 3"; conforme au résultat précédent.
Enfin, lorsque la parallèle PQR s'élève au-dessus du point À , on a deux abscisses positives L=A4, L— 6, et une abscisse négative L = — 2 lesquelles donnent on des Pate V'y— V6 — Va—+}4/i,équation qui, au point du maximum M, devient J/7— 244 = }4/1, comme nous l'avons trouvée sous une autre dénomination.
Il suit de tout-cela que la même constante Ct= :4"3 règne dans toute l'étendue de la zone comprise entre les eus ÉCURIES a l’axe qui passent par les points M et K du maximum et du minimum, mais que l'équation des fonctions subit une légère modification dans le signe d’un de ses termes quand la parallèle passe de la région supérieure de la zone à la partie inférieure.
* ns
$ X. Formules pour la comparaison des mémes transcendantes, dans les systèmes de w=6 et m— 17. Autres formules résultant d'une seconde manière de partager ox en deux facteurs.
303. Jusqu'ici nous avons développé quelques-unes des formules relatives à la comparaison des fonctions x dans les systèmes de u—3, u —=4 et um — 5; ces recherches peuvent être continuées à l'infini, mais nous nous bornerons à établir les formules qui se rapportent aux systèmes de = 6 et w — 7, et nous considérerons particulièrement, comme nous l'avons fait jusqu'ici, le cas le plus simple, c’est-à-dire celui où il n’y a que trois transcendantes comprises dans le premier membre de l'équation (3).
Supposons d’abord qu'on ait w—6, c'est-à-dire que chaque membre de l'équation (2) soit un polynome en x du sixième degré ; il faudra prendre
Gt = CGR Ro, x — 1+ æ, Et Di
Bx—a+ax, Pax —=(1— x) (: — L,—
et l'équation (2), à laquelle il faut satisfaire, sera Ce + ce + a} (it a Hat) — (aa) (1x) (à. nt + à x*)
=(x—x,)(x— 2x). (x— xs).
Puisqu'il y a dans cette équation quatre coefficiens indéterminés a, 4, C, C,, il faudra supposer connus quatre termes de la suite x,, x, XL... Æe, qui seront désignés par x =t#, #, ”, 1”, et l'on en dédie l'équation o = x°— px + q, qui contient les deux autres racines ; ces six valeurs de x seront les racines des fonctions 4x ou J/x, qui composeront le premier membre de l'équation (3).
Soit donc x = t, et l’on aura l'équation de condition
cC+Hct+i = (a + at)x,
dans Jaquelle
CHU VA CURE) En | D Corn RANCE, D +e
On aura trois autres équations semblables en mettant successivement #/, £', #" à la place de t#, et, au moyen de ces quatre équations linéaires, on déterminera les quatre coefficiens €, c,, a, a, en fonctions des quantités connues ti ML
Soit ensuite (x —+#)(x—+#") (x —t") (2e —1")= ai —A2x+Bx— Cr +D; il faudra que la quantité
(c+cx+ x) (+ +2) — (a+ aa) (ir HA MERE — a) s
développée suivant les puissances de x, soit identique -avec le produit développé #— Ans + Bz* — Cx + D) (x° — px + 9);
AD
ce qui donnera pour déterminer p et q les deux équations p+A=— = (in + 1) — 20, — 4, g+pA+B=i+oc+e,+(m+i)c, — (
m 1 FE )æ, + 244,
l'une des deux pouvant être remplacée par l'équation qD = C2 ST d°:
On connaîtra ainsi les deux fonctions qui doivent se joindre aux quatre fonctions données pour composer le premier membre de l'équation (3).
Ce résultat, pour un même système de quatre racines données #, #/, 1, 1, est susceptible de 2° ou huit formes différentes ; car, à l’exception de la quantité À, dont le signe est indifférent, puisqu'il est lié à ceux de & et 4, qu'on peut changer à volonté, les trois autres quantités analogues à/, à", 2/7, qu'on peut prendre avec le signe + ou avec le signe —, donnent huit combinaisons : on obtiendra donc en général huit solutions, et ce nombre serait doublé si l’on donnait successivement à m les deux valeurs + 5 et — 5.
304. Telle est la solution générale du problème où l’on prend arbitrairement les quatre quantités #, #’, #", 4”; mais nous nous bornerons à développer le cas le plus simple, celui où de ces quatre quantités trois sont égales à zéro, Alors on a l'équation |
TROISIÈME SUPPLÉMENT. 315 (c+ c,x + x°) ( —— nn +xt) —(a+a.x)y(i— x$) =0,
où l’on peut négliger les x*, et par conséquent mettre 1 à la place de (1 — x$); de sorte qu’en égalant à zéro les coefliciens des trois premières puissances x°, x', x*, On aura trois équations, d’où résulte
IC, C, = —(—) (1 — c), A—= C—}i(m— 1).
Ces valeurs étant substituées dans l’équation q
CHat+ EE = (a + ait),
M 1 M-—1 € M ( hi+e
on en tire
(HE jà IN 1
A(t+Hi)— 1 + à
ou, en faisant passer l’irrationnelle au numérateur,
1 (3—mt—(m—r)e ty —")
C—= ER m—1—(3—mit—t
Le dénominateur de cette formule s'évanouit pour les deux valeurs de £ déja connues
Ces valeurs cependant ne rendent pas c infini, car la formule étant écrite ainsi, mi—#)Ey(i— À)
m—1—(3— mi #?
on voit que le numérateur m(1—#)#y/(1 — #5), pris avec le signe inférieur, s’'évanouit lorsque £ = &, et qu'avec le signe supérieur il s’évanouit encore lorsque t= — 6, ce qui résulte de l'équation identique a—é6[G+im+e+3+i][(+im—é#—3t— 1] = mie) + Qi — 6) Emi = 2) = Gi — #)] On peut donc mettre € + 1 sous cette forme Toue HE, 40
(D [G+ Omer ++] CA Re AE ANDRE TT ES NN 7T EDEN) ?
et alors pour é— «à on aura la valeur | G—a)[{+a)mæ 1 +32 +] CRIE GA EVE EST ?
et pour é — — 6 on aura la valeur
(GG H6) [a —6) m +ri— 36 +6] CR ES FETE) EVE 6) NE
dans lesquelles le dénominateur ne se réduit pas à zéro. Mais parce que, dans ces deux cas, on a tout-à-la-fois
my/(1 — œ) — (1 — ai)
et m (1 — 6) + y/(r + 65) À il est visible que les formules précédentes donnent I 1 + 34 + «° CNSIEER mA om(1+a) ?
CRT EST RL om(i—6€) ?
ou plus simplement AE ï 1+H3a+e CET a ess I DC ERIC:
