ve 6) — 8.26064 99963 3 d'a
On voit que la somme des trois fonctions 4’ + L'6 + d'1 est égale à une constante qui coincide presque entièrement ayec la constante connue V1 + /+— 2.803542 609025 64; ainsi l’on aura exactement
Va + V6 + Ar = dr + d'à.
314. Après tant d'exemples calculés avec beaucoup de-précision pour différentes manières de partager la fonction @x = 1 — x° en deux facteurs, et pour tout nombre de termes admis dans le premier membre de l’équation (3), depuis trois ou même deux jusqu'à x, pouvant être aussi grand qu’on voudra, on voit que les résultats ont été constamment
conformes à la théorie que nous avons développée dans plusieurs points principaux. Nous nous sommes attachés particulièrement à la plus simple
. , , dx 1ons nt : = + des fonctions x représentée sous les deux formes 4x ke paeneyet
’ dx y ; SNS f rs” et nous avons prouvé que la somme de plusieurs
fonctions semblables, prises avec des signes que l’on peut faire varier de toutes les manières possibles, est égale à une constante qui se compose toujours exactement des fonctions complètes 41, 4/ +, qui sont des
transcendantes d’un ordre inférieur. Nous avons fait voir ensuite com-
ment des fonctions de la première espèce on peut passer successive ment aux fonctions plus composées comprises dans la formule générale Le fxdx TE Je oves obtient constamment dans la comparaison de ces dernières fonctions. Le sujet de ces recherches est des plus vastes, et nous n'avons pu que lébaucher fort imparfaitement; mais nous en avons dit assez pour que la théorie des nouvelles transcendantes que nous appelons wltra-elliptiques puisse être regardée maintenant comme établie sur les fondemens les plus solides. M. Abel, enlevé aux sciences avant l’âge de >7 ans, avait fait preuve d’un génie extraordinaire dans les savans Mémoires où il avait perfectionné si notablement la théorie des fonctions elliptiques ; mais la profondeur de ses conceptions nous paraît encore plus fortement empreinte dans le beau théorème qui donne naissance à une théorie beaucoup plus étendue que celle des fonctions elliptiques, et dont il n'existait aucune trace avant lui.
, et quelles sont les propriétés nouvelles que l’on
$ XI. Exemple du calcul de deux fonctions imaginaires.
22 la Te Le , PLLIE AS
519: On a trouvé ci-dessus (248) hs supposant é — 0 et c—0o, les
deux auxiliaires qui doivent se joindre à la valeur donnée £—0, pour former le premier membre de l’équation (3), sont les racines de l'équation
et — (x + m+i1= 0.
Ces racimes étant imaginaires, nous les représenterons à l'ordinaire par la formule
x = r(cos 4 Æ y— r1 sin 8),
et nous nous proposons de calculer les fonctions correspondantes , ou seulement leur somme, qui sera une quantité réelle.
Voici d’abord les élémens du calcul :
log r — 0.25500 88179 56965,
cos Ê — RÉ = VC); L. cos Ô — 9.234957 35461 29104, 6 — 80°6’31",1401128.
316. Considérons r comme seule variable dans la valeur.......
æ = r(cos 8 + y/— 1 sin Ê), nous aurons, par la substitution,
dx Le dr (cos 8 + W/— 1 sin 6) â VG— 2) Vi —7 cos 59 — 7° sin 59.4/— 1)?
faisons ensuite, pour simplifier cette formule , œæ — 50 — 27 = 40° 32° 35",90056 4,
r° sin «& 1— 7° COS &
1 — 7° COS «a — p? COS 29,
tang 29 —
r° sin &æ — p* sin 29,
et le second membre de l'équation précédente deviendra dr (cos8 + ÿ/—15sin6) __ dr pi ; p(cos® —y—-1 sing) p [cos G + g) HS Her aisin (6 + ®)l. Changeant le signe de y/— 1, et ajoutant les deux résultats, on voit que la somme des deux fonctions «x correspondantes aux deux valeurs imaginaires de x, donnera l'intégrale réelle 2dr Vo cos (0 + ®); où les quantités @ et p sont censées des fonctions de r; cette intégrale , d’ailleurs, devra être prise depuis r = 0 jusqu'à r = y/(m +1). Ainsi, tout se réduit à chercher dans les limites désignées l'intégrale 2 cos (8 +) RARE: it?
ou
fydr, dans laquelle l’ordonnée y —
Ji ES cos (8 + @) y'[sin (a + 29)],
et préalablement l'angle @ se déduira de r au moyen.de l’équation sin lang 29 — UNIES HU 5 —— COS % r où l’on a log sin « — 9.81292 79630, log cos a — 9.88076 53016, cos & — 0.795091 55082.
317. Pour résoudre ce problème de quadrature, il faut d’abord prendre une idée de la figure de la courbe dont r est l’abscisse et y l’ordonnée. (Voyez fig. 5.)
A l’origine des abscisses, où r = 0, on a 9 = o, et l’ordonnée
y = 2 c0s Ô —0:34356 07498 — AE. L’ordonnée décroît ensuite lentement jusqu’au point B, où elle est nulle ; alors on a
Quant à l’abscisse correspondante r — AB, elle se déduit de l'équation si sin 29 , PET E ? et l’on a | r = AB — 0.828r5 25407.
Au-delà du point B l’ordonnée devient négative ; elle parvient bientôt à son maximum au point M, où l'on a æ+0+ 59 = 57, et par conséquent
Cette ordonnée maximum ÿ = — [cos (6 — 3o°)]*, savoir,
V/(sin «) MP — 1.927406 18582; enfin, labscisse correspondante. .......... AP — 1.08985 08389 5.
Depuis le point M l’ordonnée décroît continuellement, et la branche de courbe MD s'approche rapidement de Vaxe AC, qui en est l’asymptote. Au point C, qui est la limite de notre intégrale, Fabscisse AC—y(m—+i)=1.79890 744; on a alors p—68 41 55",56457 5 et y=— 0./0224 79444 : c'est la valeur de la dernière ordonnée CD.
On voit maintenant que dans l’aire que nous avons à déterminer il y a une partie positive et une partie négative, qu'il faudra calculer séparément.
Les formules ordinaires des quadratures ne s'appliquent qu'avec peu de succès à une figure aussi irrégulière que celle de notre courbe ; aussi nous ne donnons que comme une médiocre approximation le résultat des calculs suivans.
Ayant divisé en six parties égales la base BC de la partie négative, nous appellerons w chacune de ces parties, dont la valeur est. .... w — 0.161709 24832; le même intervalle étant porté quatre fois sur la base AB de la partie positive, on parvient au point I, où le reste de la base À, — 0.18098 25504. Cela posé, les formules précédentes donnent la valeur des ordonnées correspondantes aux différens points de division de la base comme il suit :
Par ces valeurs, on trouvera que le trapèze dont la base est 1B= 4© à pour valeur wfy, fy désignant la somme des trois ordonnées inter-
= 14 Em em = ©
médiaires et de la demi-somme des extrêmes, dont l’une — 0. Ce
prodinbihs Mimet. an aug nt Saisons = 0.17824 324
On y joindra le premier trapèze A11E............. — 0.06216 956
et ontanra aire DOsIUv et RNCS 0.24041 28
A l'égard de la partie négative, sa valeur est........ — 0.719019 40 Somme des deux....... —\0.47878 112.
Telle est donc la valeur approchée de l'aire qui représente la somme des deux fonctions imaginaires proposées.
318. Nous avons dit que le calcul dirigé par la méthode ordinaire des quadratures ne pouvait donner qu’une médiocre approximation, à moins qu'on ne calCulät un beaucoup plus grand nombre d’ordonnées, ce qui deviendrait très pénible ; mais heureusement la question peut être résolue beaucoup plus simplement en n’employant que les formules propres aux fonctions dx.
Puisque dans la valeur x = r(cos Û + y/— 1 sin 0) le module r égal à /(m + 1) est plus grand que l'unité, il convient de mettre — x à la place de x, en faisant x = r{cos 8 — y— 1 sin W'},
