Tome Ill

350 FORCE da AS alors la fonction x — FE D , deviendra Pre VU ns et la valeur

de cette intégrale, qui nn x a 1, se trouvera par la formule (16), où l’on devra faire

RS ARR CS PÉREUES va u—= >=; (cos b ae Lisin /}

La substitution faite dans chaqüe terme de la valeur de — U donnera une partie réelle et une partie imaginaire, et, parce que la seconde valeur de æ donnerait pour chaque terme de — U la même partie réelle et la même partie imaginaire avec un signe différent, il s'ensuit qu’en ajoutant les deux fonctions correspondantes on aura une somme totale dus sera de la forme

: r "À cos : GS ECAT TM Cos 5 CHAN a tee - j — P(A") 75 cos 2 ÿ' + etc,

où l’on voit que les logarithmes désignés par (A), (A”), (A"), etc., sont ceux qu'offre la formule (16); de sorte que cette dernière formule, adaptée à nos deux racines US ne diffère de la formule ordinaire que par les facteurs 2 cos 38, 2 cos 20, 2 cos #2, etc., affectés aux différens termes de la série. Van: maintenant le calcul détaillé de ces termes :

Angles dont les cosinus servent de facteurs aux différens termes de la formule.

8 — g9°53’ 2885988 72 srl 49.56.44,42994 36

o Æ [Oo © ©r [wo ei [© to

.74242 55096 7 ..........,... 9.74242 55006 .72495 59102 — cos À 0’.. 9.093681 50688 D PS AIRE 1) — 9.067924 05784 7

DIOMAIO ADO et tee à 7.520952 03266 2 72495 59102 cos 6".. 9.561905 56098 5 -62727 67796 8 2) — 7.04858 49364 7 OOITOM2O1OD IE ace ssh 5.88176 20165 72495 59102 cos #10... 9.559022 55449 .76403 26501 7 3) + 5.440908 55614 240721400708 Me pete lie EM de : 4.37075 05768 .72495 59102 — cos À 6.. 9.094509 59084 210227010045 d'erd ENT 2.092276 00243 8.724095 59102 cos 4: 6.. 9.980985 52760 9:86343 50954 5) + 2.091261 53003 PORTE ELOZ OO Der Rio ete 1.51115 10299

— cos $0.. 9.78067 52121 6) + 1.29182 62420.

A) ISAEET- 20694 1 25606 9

On voit que la somme des deux fonctions imaginaires calculées immédiatement par la formule (16) est — 0.47888 24859 6, résultat qui ne diffère de celui qu'on a obtenu par les quadratures que d’une unité décimale du quatrième ordre, et nous ne devions pas attendre une plus grande précision du premier calcul fait sur un assez petit nombre d'ordonnées, Ce second résultat est fort approché de la constante connue Li—£i\d'i= 0.477888 24859 435, et l'on doit même être étonné que l'approximation soit aussi grande, malgré les difficultés de ce calcul ; on aura donc exactement

d [r (cos 8 + pixisin. 0) 11 dan An AU Dr Ceos D sn eg) Un V1 + 243.

519. Il résulte de ce seul exemple que les fonctions dont les racines sont imaginaires peuvent être calculées par Îles mêmes formules que les fonctions dont les racines sont réelles ; il n’y a donc pas lieu d’exclure, comme nous l'avons fait dans les recherches précédentes, les solutions dans lesquelles il se rencontre un ou plusieurs couples de racines imaginaires , et l’on trouvera dans tous les cas que la somme des fonctions tant réelles qu'imaginaires, s'exprime toujours par une quantité réelle dont la forme est donnée par celle du second membre de l’équation (3); et, par ceite propriété, la théorie que nous avons développée acquiert une beaucoup plus grande extension.

# | LA dx \ XII. De la transcendante LT = VE — 2) a Fr5j

320. Cette transcendante appartient à la seconde classe, puisque 5 est le plus haut exposant de x dans le polynome compris sous le radical, et elle fait partie de la première espèce, ou plutôt elle est la plus simple des fonctions de la première espèce dans cette classe ; elle jouira donc de la propriété en vertu de laquelle étant données w — 2 valeurs particulières de x, on pourra par leur moyen en déterminer deux autres, de manière que les y fonctions qui en résulient satisfassent à l'équation (3), c'est-à-dire que la somme de ces fonctions, prises avec les signes convenables, sera égale à une constante déterminée.

Mais ce qui est surtout digne de remarque, c’est que la transcendante dont il s’agit, quoique appartenant à la seconde classe, est généralement réductible à la première, en supposant £ << 1; on fera voir, en effet, qu’elle peut toujours s'exprimer par deux fonctions elliptiques de la première espèce : considérée sous ce double rapport, cette transcendante mérite d’être examinée avec soin, parce qu’elle peut conduire à de nouvelles propriétés des fonctions elliptiques.

Nous observerons d’abord que la transcendante «x peut, sans cesser d’être réelle, prendre trois formes différentes. La première, qui continuera d'être désignée par x, s'étend depuis x = 0 jusqu'a x —1.

La seconde, désignée par "x, suppose qu’on a changé x en — x; de

sorte que d’x représente une nouvelle intégrale J: RME AR EN AP Vlr @— 1) Gi — Ka)?

. >, . La tre . AN ir I qui s'étend depuis x = 1 jusqu'à x = T' Enfin, la troisième, désignée par "x, suppose que la variable x est po- Vs 7 tr 01: \ 1 sitive, et qu’elle s'étend depuis x = z jusqu'à x = si ona dans ce cas

A f: LBRAR) RENE RS J'VLe (et —i) (x? —1)]

Il n’y a pas d’autre hypothèse qui rende réelle l’intégrale primitive 4x, tant qu’on suppose le module # plus petit que l’unité.

Faisons voir maintenant comment notre transcendante sous ces trois formes peut être exprimée par deux fonctions elliptiques. Le procédé que nous suivrons pour cet effet est le même dont nous avons déjà fait usage dans l’art, 149 du tome I".

É Tr PREMIÈRE FORME, VX f——— VIG — 2) (à — Fax] Linuites Lai-0 AT IN:

321. Le polynome sous le radical étant 1 — (1+ k*) x° + kx4, nous supposerons 1 + x = px, p étant une nouvelle variable, d’où nous déduirons successivement

1 + at = (p° — 2k) x”, G— x) (Gi — ka) = a [pt — (à + ANT, x" dx ETS x idx :

vla — 2) G—Æx)] Vip —G +?

Re AIN à 1 — x = x" V(p — 2k),

CR — = VCP ok) —- = V(P— 2),

“is x dx = — cp

2 V/(p +25) Fa Va)

donc

enuloc -nmenl) dp eu F VC En 215) VIP GE ÿ: VC —26)vtr— G+2T

Les deux nouvelles intégrales qui composent la valeur de «x ne différant

1 . . , 1 que par le signe de Æ*, il suffira de considérer la première , : +

P MINCE Ta PP QE »

Vp+28)vtp —4+#7T

Pour réduire celle-ci, soit d’abord p— 7° — 2k, on aura la transformée

ne nn

nn Te VE VLe+G—e)) Ge}

1 + k3 Soit ensuite z = ne , On aura, en faisant c* —

PASNLE ONONn Yi tue FM nets ve + ie — c° sin° w)°

Enfin, pour donner une forme positive à cette dernière, on se servira de

TROISIÈME SUPPLÉMENT. 335 la propriété F(c,.œ) +F(c, ®) = F'c, à laquelle on satisfait en faib sin @

———;—, et l'on:

(ri — c? sin° @) ? ihvde

sant COS © =

I f° CALORIES CE 1) VE + 24) J VG—csine) (2424) Mais, pour faire usage de cette dernière formule, il importe de passer directement de la variable x à la variable @ ; c'est ce qui se fera par les équations

TR D OR en ke de CHA) (re dtsinig), RE PRET ST Sn — 2# = — 2h REP OPTNSRT d’où l’on déduit : 2x (1 + À) SN" D = —————— — Para art On voit donc que tandis que la variable x croît depuis x = 0 jus-

qu'à x = 1, l'amplitude @ croît de même continuellement depuis ® — o jusqu'à ® =; 7%.

Maintenant, si dans le résultat qu'on vient d'obtenir on change le signe de k*, la valeur de c? deviendra celle de £*, et l'amplitude © restera toujours la même ; d’où 1l suit qu'en réunissant les deux parties de la valeur de 4x, on aura ce résultat très simple

\ Pr F (c, ®) + F(È,) LE —————— V2 + 24) Ainsi l'on voit qu’en effet la fonction x s'exprime par deux fonctions elliptiques de première espèce, qui ont la même amplitude 9, et dont les modules sont complémens l'un de l’autre; de sorte qu’on a

DAS RL De +.

UE 2 + 24 et b 2 + ok

Puisqu’en supposant x = 1 on a@—;7, la valeur de la fonction complète Jr sera ainsi exprimée À PRES F'o+Fb.

mais on peut aussi trouver la valeur de 1 par un autre procédé qui dépend des fonctions T.

En effet, puisque 41 représente l'intégrale f. I (Gi — Pay ®,

prise depuis x = 0 jusquà x — 1, si l’on appelle T‘ l'intégrale 2— +

dx [F UE) prise entre les mêmes limites, on aura — oO = Jai sie JATT'a .

di = To + SAT + ET AT + etc. ;

mais en mettant x' à la place de æ, l'intégrale appelée T' devient

1fx ‘dx(1—x) *, et ses limites sont toujours x = 0 et x = 1. Or, par les formules connues, l'intégrale T', sous cette dernière forme, a pour valeur

mi M r(i+ir:

TU ANT (EEE) . Dans le cas de i= 0, on a T° ii Dy2, en supposant... D — F'{sin 45° ); ensuite on aura ME 3 TL, De Ur T° ALL CIC donc la fonction cherchée LORS LUS JD PNEU NTEsS 1.3.5} s 1.85:9 Y=Dy20 +4 ne TA = k ns. tb),

et l’on a par conséquent la formule ré

Fe + F6 ES 5 RS pe 2° F(sin 45°)(147 3 + DK = Stores 9

Si l’on fait k— 0, onac—b, et ss devient identique.

PRET etc. ),

” adx SECONDE FORME, VX — eve.

ji VE — 1) G — Æx°)] LITUANIE .

322, Soit encore i + x°= px, on aura (ae — 1) (1 — a) = 2 (1 Æ 24 Æ KE — pt), SARL x” 2dx LP Va JR +57; mais, en vertu de l'équation supposée, on a 1 + x — x°V(p + 2) $ 1 — x = + x /(p —— 2),

le signe ambigu éladt 2e à Tou ax< =, et—slonax> a: de

là on tire a = 1V/(p + 26) + 1V/(p — 2), lo = s cp ze Us (ar V2) et enfin

Ven f tt fonte VOIE VLaæ+ 2° — p°] COR) VUE VLG +2 — pl]

Pour avoir la première partie, soit d’abord p — u*— 2#°, et ensuite 1 Li u —= (1 + kÆ*) COS w ; On aura cette partie

P — do MORE (0; 'œ)e me era er sin? a| ve + 22)?

F(cuo). o')

" | ô k 1 4 on aura de même la seconde partie P' — Van

j» ce qui donne sans ambiguité Vx— F(, a)+F(c, o) Ve + 24) Quant aux angles © et w',ils se déduiront immédiatement de x au moyen des équations

L 1 ie x ; 1—k42x cos © Er TN , cos © = Dir enr a (i+ k5) es (x — k5

Nous avons mis dans la formule F(c, «’), sans ambiguité de signe, parce que l'angle w’, déduit de cos w!; croît continuellement depuis

4 \ È \ I \ æ = 1, où l’on a w'—0, jusqu'à =}, où l'on a © —7; la valeur : rue » I . I intermédiaire x = V7 donnerait &w! — = Fe Il n’en est pas de même de l'angl i croit depuis x = 1 jusqu'à x ——- , et qui décroit ensuit angle w, qui croît depuis x = 1 jusqu'à x = y» €t qui décroit ensuite,

. . ° . \ I 1 suivant la même loi, depuis x = jusqu'à x — 7. Dans cette dernière

12.5 vA limite, on a donc à la fois w — 0 et w'= + ; d'où il suit que la fonction x I . . . ?

complète 4’ + est ainsi exprimée :

CR a 2E' C0 Vi Ver Tous III. 43

Une autre manière de trouver la valeur de cette fonction est de faire la subsx" dx

VIe — 1) (x) |?

il en résultera l'intégrale f kd O(1—#'cos" 0) 4, où l’on a fait £°—1— #7.

Cette formule étant réduite en série, puis intégrée depuis Û=— o jusqu’à

titution x° — cos" 8 + > rssin* ô dans la formule AT —

= 7 , on aura cette seconde expression de "> —,

IS. L(G+: Ra TH DDR Fete);

on doit donc avoir, en général, la formule 2F'c u 7 ; 4,3 Ve+ 2 — 5h 2 1H 70 2+3 TR 7.8 etc.) ,

laquelle suppose c° = de ser

— sdx Troisième FORME, x = f 7 "TT Je VLC — 1) x — 1)]

Limites x =

323. Par une analyse semblable à celle des deux cas précédens, on trouvera qu’en supposant

cos 0 — Gba cos 0 — +) “fl Kit — 7 kSx +1 on a Va Ma: F(@,8)—F(c, F(c,#)

VG+2 Les deux angles 6 et 6’ croissent continuellement depuis la première limite 1 A e . 91 en I A U } à x I X = 7) OÙ ils sont nuls, jusqu’à la dernière x = -, où ils sont égaux à -+. [o) 2 Ainsi l'expression de la fonction complète est

r ver F'b —F'e Pia V2 + ve + 2?) Il y a un autre moyen de trouver la valeur de cette fonction. Soit

SE dé (cos w)° (1— A cos" w)” ‘,

Cette intégrale doit être prise depuis © —0 jusqu'à © — #7. Soit COS © — z; On aura /f do (cos oŸ =—/f 2° da (1 — 7) 2, intégrale qui doit être prise depuis z—1 jusqu’à z — 0, ou, en changeant son signe, depuis z— 0 jusqu'à 2— 1; mais en mettant z° au lieu de 2 , les limites

seront les mêmes, et l’on aura la nouvelle intégrale

[is di — 2) pe Pense re

D'un autre côté, on a trouvé (tome Il, page 455) T°; = 4° F' (sin 45°)

Hi et T 1 — AE ; donc l'intégrale cherchée

do (cos ®Ÿ° = PAR !

id 22 F' (sin 45°)

Cette intégrale étant trouvée, si on l’appelle P, on aura les intégrales successives d 3 —ÈP, fd #:—51p, etc. ; fdow(cosw) ?=;P, fdw(cos w) ro etc. ;

donc la fonction complète 4/41 a pour seconde expression

Liga 2 Lt 52 ) Nm CG} Ft: k, + LME + etc. ).

On doit voir maintenant que si plusieurs hu sont réunies avec les conditions nécessaires pour former le premier membre de l'équation (3), cette somme de fonctions, multipliée par le nombre M=y/(2- 24), devra être égale à une constante composée exactement des constantes F', F'c. C’est ce que nous allons vérifier dans les exemples suivans, après avoir établi les formules générales qui se rapportent au cas de u—53etu= 1. 324. La fonction gx étant égale au produit x (1— x*) (1 — k°x*), on peut la partager en deux facteurs

Co ME D EE RENE EN (RE

ensuite, si l'on prend x = a et B,x—1, l'équation (2), réduite à la

forme la plus simple, sera (AN ai kat)— x(i—x) =(x — x,) (x — x,) (x — %3) :

elle suppose par conséquent x = 3, nombre le plus petit possible.

Soit £ le terme que l’on suppose connu dans la série des valeurs particulières æ,, #,, «3; en faisant x —t, le second membre de l'équation (A) devient nul, et du premier on tire

a — Ain :

1 — ht à Soit ensuite x° — px + 4 = 0 l'équation du second degré, dont les racines sont les deux autres valeurs particulières de x; il faudra qu'on ait

(a — Pat) — x Gi — a) = (x — 1) (et — pr +9), ce qui donne trois équations de condition, d’où l’on tire t(i — À) LARG 1 P RCE Pre Æ2t°? 2? q Lai: 1 —— k212°

On connaîtra ainsi les deux racines x — «, x = 6, qui, avec la racine donnée x = t, serviront à composer les trois fonctions comprises dans le premier membre de l’équation (3).

325. Si l’on veut comparer entre elles quatre fonctions, il faudra satisfaire à l'équation suivante, qui suppose uw — 4,

(1— x) (z — xt) — (CH cx)x = (x —x,)(x —x,)(x — 23) (x — xs).

Soient données les deux valeurs particulières x = £, x —t'; on aura pour déterminer c et c, les deux équations

CHct=?, = GT (& F #) |; CSC, Al = (=) ( — EH

Ensuite, faisant (æ — £) (x — t!) — x — Ax + B, et appelant & et 6 les deux autres valeurs particulières de x qui sont les racines de l’équation L° — pX #4 — 0, On aura pour déterminer p et g les équations« A + P — Ci) : BF AP qi acc,

la seconde pouvant être remplacée par 4*Bg = 1. On connaîtra donc les quatre fonctions 14, 44’, Ja, L6, qui doivent composer le premier membre de l'équation (3). PE.

TROISIÈME SUPPLÉMENT. 341 Exemple I”.