Supposons £=æ—+, ce qui donne exactement c = sin 15° et
b = cos 15°; supposons de plus £—+ et # — 4; les formules de l’ar-
ticle précédent donneront pour déterminer c et €, les équations C + 50, = 3V/(210) = 3.62284 41875, C + 40 = 2V/(105) —= 5.12347 53830; d’où résulte, en prenant positivement les deux radicaux, p= ci, —2= —5(5 4H5V2) = — 4.381617 19193 7092, q Re © p— 4q = 0.62934 00375 6604, x = Æ 0.309665 47735 6451 — 2.15808 59596 8546. Désignant ces deux valeurs par x = —«, x——6, on aura æ — 2.55474 07332 50, log & — 0.407534 68325 207, 6 — 1.976143 41861 21, log. 6 — 0.24586 56812.546.
Il faut maintenant calculer les valeurs des quatre fonctions 4 +, "4,
Calcul de À =.
Les valeurs 4 = + et x —+ étant substituées dans la formule
2x (1 + À) Va G@ + 2) ( + 4x)?
on aura sin ® —.22, log. sin ® — 9.9409 05439 61 et........ ® — 60° 47’ 38",64386 —;,60°,79406 774.
D’après cette valeur de @, l'interpolation de la table IX pour les modules c — sin 15°, b — sin 75°, donne les résultats suivans, où l’on a fait
M=Vy(2+ 24) = y, F(c, ®) — 1.07196 62191, F(b, ®) —= 1.350924 19440, Mi — 2.538120 81651.
Calcul de À"4.
Pour la fonction Lx les formules générales sont
I fl
SO
ce Gr) See G+r)es Kix — 1 kx +:
Max = F(b, 0) — Fc, P).
342 FONCTIONS ULTRA-ELLIPTIQUES, Substituant les valeurs = +, x=—4, on aura
3 , cos 0 cos U— L
et comme 6n a V5 — 2 sin 60°= 1.735205 08075 68878, il en résulte
cos 8 — 0.64556 19111 85636, log cos Ê — 9.800993 738986 5058, — 49°,79218 128, log cos 8 — 9.97920 87360 3475) 0— 17°,58705 3763.
cos Ü = cos 8 —
Dans la colonne de la table IX qui fépond au module b = sin 75°, on trouve le terme À — F(b; 49°) et les suivans, qui donnent les différences de À comme il suit :
A d'A d'A dSA 0.907138 5421 | 25719 955 | 45 9882 82 Le terme qui répond au degré 49+x sera exprimé, en général, par la formule
A+ x (A+ (OA HE (OA + EE (aa +2 A;
faisant donc x — 0.709218 126, on trouvera
On trouvera dans la même table le terme A=F(c, 17°) et ses différences successives comme il suit :
d'A | MA | d'A
A d'A 0. 20609 me. 1750 64059 | 60545 | 2939 | — 69 Faisant donc dans la formule d’interpolation æ — 0.587905 3763, on aura F(c, 8) — 0.30728 54884 d’un autre côté, F(, 8) = 0.099172 31208 donc M4J"4 = 0.68443 76414.
Calcul de \'a.
Les formules sont MJ'x = F(b, ©) + F(c, w),
COS D =, He "2. cos D —————; ; c'e (i 15) 23 (1.— #3)
il faut y substituer les valeurs 4 — +, b — sin 95°, c — sin 15°,
x = a — 2.556474 07532 50, log & — 0.40734 68325 207.
TROISIÈME SUPPLÉMENT. . 343 et l’on trouvera
log cos © — 9.099197 01771 83, ® — 10°98396 9903, log (— cos w’) = 9.84702 15388 23, «° — 134,67682 80.
La table IX donne la fonction F(b, ro°) et ses différences successives comme il suit :
il en résulte
Pour calculer F (c, w’), j'observe qu'on a F(c, w') = 2F'c — FÇ, en faisant C7 —% —=45°,52317 109. Or, la table IX donne F(c, 45°) et ses différences comme il suit :
il en résulte F(c, €) = 0.79599 20239 2F'c = 5.19628 40042
F(c, w') = 2.40029 19803 D'un autre côté, F(b, w) —= 0.19281 09602 donc Mia — 2.595310 29405.
Calcul de 46.
Appliquant les mêmes formules que dans le calcul précédent, il faudra d’abord calculer les angles Q et Q/ d’après les valeurs
V3 +6 TO) — Von
cos A = ———, = — :
€ (i + V3) CE (Y3— 1)
Voici ce calcul :
6+ 3 — 3.49348 19936 go, 6 — 3 — 0.029358 03785 52 son log 0.543525 85091 30 son log 8.46805 73872 É..,..10.12203 28406 27 (HYRENUA 0.122093 28406 3
v/3—+1.. 0.43648 87715 09° yÿ/3—71..... 0.86454 12240 7 cos Q... 9.098383 68969 04 cos(7—Q').. 8.48058 53225, Q = 15°,53498 0675, ax — Q'=— 88°,26710 532.
La table IX donne la fonction À — F (b , 15°) et ses différences comme il suit :
A d'A d'A d'A | d'A 0.264635 2377 | 1806 5784 | 8 4095 | 5933 | 127 de là résulte F(b, )=0.27428 71174:
Nous avons ensuite 7 — Q'— 88°,26710 532 ; mais comme la table ne donne pas immédiatement les différences relatives à l'amplitude 88°, on y suppléera par celles de la fonction F (c, 85°), que la table donne comme il suit :
car, en faisant x —3.26710 532, on aura la fonction cherchée par la formule
F(c,7—0Q!)— AH @(SAHÈT (IAE (IA HET JA;
d’où résulte F(c, 7—Q!) = 1.56683 07085
On a d’ailleurs F(c, x) 3.19628 40042 donc EF(c, (7). —='1:62045 32057 ajoutant F(b, Q) = 0.27428 71174 on aura ML'6 — 1.90374 04131.
Maintenant, si nous ajoutons ensemble les quatre résultats trouvés
M4L"4 = 0.68443 76414 Fc — 1.59814 20021 13 MJ'a — 2.659310 29405 F'b = 2.76806 31453 69 MŸE — 1.90374 04131 3F'c — 4:79442 60063 39 . nous aurons la somme.... 7.56248 91581 7.56248 91617 08;
et l’on voit que cette somme ne diffère de la somme des ‘constantes 3F'c + F'b que de 64 unités décimales du dixième ordre, rapportées à un nombre total de plus de 7 unités. Cette différence sera jugée aussi
petite qu'il est possible, eu égard aux erreurs des interpolations d’où elle est déduite ; on doit donc en conclure qu’on aura exactement
M5 + "4 + da + 4/6) = 3F'c + FD, ce qui s'accorde toujours avec la loi que nous avons constamment observée dans la composition du second membre de l'équation (3). Nous remarquerons, au reste, que l’équation trouvée peut être partagée en deux autres relatives aux modules c et b.pris séparément. En effet, les termes de notre équation étant ainsi composés
Mir = F(c, ®) + F(b, 9), Mia = F(b, ©) + F(c, w!), M4J"4= F(b, 0) — F(c, #), MLE = F(b,Q) + F(c, Q'), si l'on prend séparément les deux parties F(c, ®) — F(c, 8) + F(c, w) + Fc, A) = P, F(,®)+F(b, 0) H F(b, w) + F(b, A) =Q,
on trouvera, en substituant les valeurs trouvées pour chaque terme,
P = 4.79442 Goo69, Q = 2.796806 31515;
d’où l’on voit que la différence entre P et 3F'c est à peine de 6 unités décimales du dixième ordre, lesquelles appartiennent au onzième chiffre significatif, et que la différence entre Q et F' n’est encore que de 6 unités décimales du neuvième ordre, ce qui prouve la grande exactitude de nos calculs d’interpolation, ainsi que celle des tables qui leur ont servi de base. Il s'ensuit encore qu’on a exactement les deux équations
F(c, @) — Fe, d) + F(c, &) + F(c, Q') — 5Fc, F(b, ®) + F(b, 8) + F(b, «) + F(b, Q) — Fi,
équations qu'il serait d’ailleurs facile de vérifier rigoureusement par les formules des fonctions elliptiques, puisqu'on connaît les valeurs exactes des cosinus des diverses amplitudes.
Exemple II.
327. Soit k—(2—y 3) —=tang* 15°, on aura c — sin 30° et b— cos 30°. Supposons de plus £ = ;, et en appliquant les formules de l’art, 324, nous aurons
a ( — A) LL ;
rire NA remous
