L.=si — ^ ^ etc

P^- COS ûl + -j-COSâ»COSà^^ + — g - cos « COS û>* COS û>^ + ctc. ;

d'ailleurs les angles o», «#•, a% etc. , se déduisent des angles ^, ^^^***i etc., par les formules tang â» = & tang ^ , tang tê'' = b^ tang ^% tang â»** s=s ^ tang ^% etc. j et comme on connaît tang ^, tang ^% etc., on aura immédiatement

Cette méthode, que nous employons ordinairement depuis c s=o jusqu'à sin 45*, peut être étendue beaucoup plus loin, jusqu'à c ss sin 81^, parce que dans cette dernière limite les séries n'ont qu'un terme de plus que pour la limite c = sin 4^''. Mais depuis c = sin 81^, jusqu'à c es i , la seconde méthode mérite la préférence, à raison du moindre nombre de termes dont le» séries sont composées, et le calcul devra être fait comme il suit.

843»^ On formera d'abord la série des modules croissans c, ^, if'j ... et ceHe de Içurs complémens &, b', V'.... par les mêmes formules que dans l'art. 841 y ayant soin seulement d'échanger en truelles, les lettres ^ et c, T. n. a8

21 s CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES,

ainsi que les signes * et '. La suite b^ V y ll\, . étant donc prolongée jusqu'à un terme V^^ dont le quarré soit négligeable, relativement au degré d'approximation qu'on a en vue, on aura en logarithmes hyperboliques

F'c= — log ^, ou en logarithmes vulgaires, F'c = -^ iog t^, d'ailleurs le coefficient K a pour valeur

K = (i+AO (! + *") (i + n (i + *^-^);

on calculera en même temps la fonction £'c par les formules • E'c = LT'c 4- ^ ,

Dans cette méthode, il reste à calculer le logarithme de r^, avec le

degré de précision requb*

Si ensuite il s'agit de calculer les fonctions F^, E^, qui répondent a une amplitude donnée , on suivra les formules ordinaires , lesquelles ne sont guère susceptibles d'être simplifiées , si ce n'^t la {brnrale principale qu'il convient de mettre sous la forme

cot <p' = 1±-^ cot 4> + \/[(r^y<:ol' ^ + *'] ;

elle servira à déduire cot ^' de cot ^ ; on déduira de même cot ^'' de cot ^% et ainsi de suite.

844* En terminant ces recherches , nous croyons devoir faire observer que par la simple méthode de bissection qui n'exige que des extractions de racine quarrée , on peut calculer jusqu'à tel nombre de décimales qu'on voudra , ka fonctions F et £ oorrespoDdtcites à dee valeurs données du module et de l'ftmpUtude.

Remarquons d'abord que pour la bissection des simples arcs de cercle, on a h» foroMiles

ain i ^ = ï V/(i 4- sin (p) — ^ /(i — sin^) , cosi^ = i t/(i + sin(p) + i(/(i — sin(p);

ainsi le mincis et le cosinus de i'arc i ^ se déduisent à la ibis de la voleur d<ianée de sîo (p. Partant donc d'un siùus ooniiu tel qoe sin 45*^ sin 3o% ou en général sin a, on peut, par des biaseotions oootinuellef . narvenir