CHAPITRE PREMIER

Propriétés générales des Intégrales Eulériennes de la première

espèce.

I . JL 'expression T-j par laquellft nous désignons l'intégrale / -^ »

prise depuis ar=o, jusqu'à a:= i, est en général une fonction des deux exposans ^ et ^; et de l'exposant i», qu'on regarde comme des nombres entiers. Mais nous supposons n constant, et notre but est de comparer entre

elles les diverses valeurs ^^\^j ^ répondent à une même valeur de /i,

afin de réduire au moindre nombre possible les transcendantes que cette expression ren ferme.

Nous observerons d'abord que les deux exposans p et q peuvent être échangés entre eux. En effet, si on fait a?*= i — jr^y on aura

et la transformée en j^ devra être intégrée depuis^ = i jusqu'à ^= o. En changeant son signe, elle devra être intégrée depuis ^=o jusqu'à^=i ; et comme alors on peut mettre a: « la place de ^ , on aura

ou suivant notre notation ,

ce qui est la propriété énoncée»

2. Il&ut faire voir maintenant que si dans la formule (~V l'un des deux

nombres petq est plus grand que n , la formule se ramène aisément au cas oii p et ç sont compris l'un et l'autre dans les limites i et n. Pour