CHAPITRE I

cela soit Z=xa:*(i — x")', on aura la différentielle

d'où l'on tire eu intégrant, \

Donc si on prend les int^rales entre les limites x =5 o , ^= i , et qu'en même temps on suppose^ >o, et r> o, afin que Z s'évanouisse dans les deux limites, on aura

d'où il suit qu'en Élisant k-^^nzsLp et r=2^ il viendra

An mnypn de Cette formule , tou te fonctionf - \ dans laquelle on ap'^n, se réduira successivement aux fonctions T^-—^) , p>*— n\ ^^ ^ Jusqu'à

un terme r^ *^j q^ ^^.j ^ (Jn^g lequel ;?' sera le reste de la division de p

par 71.

Arrivé à ce terme, si de son c6té q est plus grand que /i, la fonction

r~Jquiest la même que T^V se réduira successivement aux fonctions

\~7—jj M ~ — V eta, jusqu'à un terme f ^ J ou Ç^jy dans lequel ^

sera le reste de la division de q nar n.

De là on voi^ qu'on peut toujours supposer la fonction (- j réduite à une

forme où p et ^'Soient compris tous deux dans la suite i , a , 5, . • • /i. 3» Gela posé , il y a deux cas princâpaux oui ott peut trouver isMué-

diatemei^t la valeur deÇ-j; c'est lorsque n est égal à l'un des deux nombres

p et 7, ou lorsqu'il est égal à leur somme.

Soit, I*. 7=/z, on aura imînédiateiM&t (^jss/âf'^Jxm^ •••^•C, intégrale qui, étapt prise depuis xz=:o jusqu'à a:=s i, se réduit i ^ ; d'eu résulte

568 INTÉGRALES EULÉRIENNES,

Soit, 2*.,;H-y=/», ou;?=a, y=s/ï — a, on aura (^^=/x*''*dx(i — x^T«; faisant i— x'ssjc'z*, on aura k transformée rationnelle

(f)°"(ïï^)=/^-»

intégrale qui doit être prise depuis z=o jusqu'à a = 00; or, par les formules connues {EuL, Cale, intég.y 1. 1, p. aSa), celle iDtegrale= — - — . Donc si

atr nsm —

on fait - = fit) , on aura

\n^^a/ sma# ^ ''

Excepté ces deux cas généraux, toutes les ((uantités désignées par C-j

sont des transcendantes plus ou moins composées, selon la valeur de n , et ne sont pmnt susceptibles d'une évaluation exacte. Mat», poui dia^uc valeur de /», on peut exprimer toutes ces transcendantes au moyen d'un petit nombre d'entre elles , et c'est l'objet des recherches suivantes.

4. Observons d'abord qu'en mettant /7-{-/i à la place de pj l'équation (b) donne

On aurait semblablement

q ) p + ^n \ Sf / *

< - • eic« *

Donc, en général, i étant un nombre entier positif à volonté, on aura

/P\^^P + Ç P+q + n p+q+:in p+^+>» /p + *+'*y>\ ^

meUan)^ )c^ -f^raù lieu de ^ ^ on aura semblablement

\ y / 7^+'' ' P+r-hn ' />+r+2i» * * * /ï+r+w ' \ jr /

Divisons ces deux formules l'une par l'autre, et faisons, pour abréger,