CHAPITRE I

M- = iE±îïSR±IÏ

ip + n)(j}+q+r + ny j^r, Cp + q + M){p + r+2n) {p + M) (.p + q + r+2n)*

etc. j

nous aurons

Supposons r positif et </ï; alors il est clair que la quantité f^ ——j

sera plus petite que f^"^ J et plus grande que (j — ^. Car si

on conaidère diverses formules f - j qui ne diffèrent que par l'exposant )?;

comme ces formules désignent chacune l'intégrale , prise depuis a; = o

jusqu'à «r= I , d'utie différentielle y dont le dénominateur est le

même pour toutes, il est évident que l'intégrale sera d'autant plus petite que;? sera plus grand.

Mais la formule (b) donne

N îT / /,+T+î.» \ q y Donc ou a d'une part le rapport

/pjti+i^\

et de l'autre, ce même rapport < ^ ^ X^—. Si l'on veut donc que ce

rapport soit compris entre les limites, i et i ^ t> il faudra prendre •# •

i-|- 1 > ^ ""^ et alors on aura

lé étant plus grand que A:.

^70 INTÉGRALES ELLÉRIENNES ,

On sait par cette ëqûatioa combien on approclie du rapport de Cf ) ^ (^TV' ^" prolongeant le produit M'^MW. . . . jusqu'à un terme

M^^; et il est clair qu'en continuant ce produit à Tinfini, on aura la vraie valeur de ce rapport, laquelle sera

7^^=M»M'M"M"', etc.

Maintenant si dans cette équation on échange entre elles les lettres <f et r, les quantités M% M', M'^ etc., resteront les mêmes, de sorte qu'on aura encore

M»M'M"M"', etc.

Donc par la comparaison dé ces équations, ou obtient la formule générale

Cette formule dont la découverte appartient à Euler, est une sorte d'équation aux différences finies, qui renferme presque toute la théorie

des transcendantes (-\ £t d'abord, nous allons ea déduire l'expression

générale des quantités rM .

5. Les formules (c) et (d) donnent les valeurs exactes de la fonction (-\ toutes les fois que l'un des <ieux nombres p et ^ ou leur somme est égale k n. Supposons maintenant quVm connaisse de plus toutes les valeurs de (^), lorsque ;? -(- ^=n— i , et désignons en géBeral par A. la fonction

-j, en sorte qu'on ait

On aura donc successivement C^ \=sA„r2 J=;A^,I ^— \=A8, etc.;

on aura aussi (-•:^)= A, ^ * f^^gj = A, , etc. j

et parce que (2)= (^), donc en général