CHAPITRE I

'A(»-ii'-«)=* A.. ...*»..., (g). .

D'où l'on voit que le nombre des auxiliaires A,, A., A3, etc., se réduit

toujours à — — - ou — ^- , seloa que n est pair ou impair.

Par exemple , si /» = 7, îl y aura trois auxiliaires A^= f-j^ A^= Ç-j ,

As = r^\ puisqu'on aurait A^=r^ jjrr: A., et A6=t Tg J^iÀi.'

Si n = 8, il n'y aura encore que trois auxiliaires Ai, A^, A^; car on auroit, en vertu de Téquatiioa (g), A^cs As, A5, = A., Ae=7 A..

Cela posé, au moyen des équations (c), (d), (e) et des auxiliaires donnée;^ par l'équation (f), nous pourrons trouver Fes^pression gépér^le da

f-j daii$ deujt oa^ généraux : 1^, lorsque/' + 7 eçt< »; 2^. loraquep+9

est > n. Voici comment on y parvient.

6. L'équation (e} donne immédiatement f^^.T" ,.r". j . T-^-^jm;.,..

r-~- J . rS-^-j; substituant dans celle-ci les vajeurs oonnues par les

équations (d) et (g) , on aura

Ainsi on connaît toute fonclion T^J dans laquelle l'un des deux uom-

. bres petq est égal à l'unit^é j si, pour plu« de simplicité, on met a à la place de n^^a^-^i y on aura pour le même objet la formule

(a\ Aa gin (g + O^' f\

I / ■"" 8in#" ' • • • t f ^ • • "W*

La même équation (e) donne (^ — ^ j'ij — ^)^^C~~" — y * C" — ~j^

et substituant les valeurs connues, iien résulte

\ a J Kl

— a — a\ Atf Atf^i sin(a + i )#

8in#

Ainsi on a la valeur de toute fonction f -) dans laquelle ;i + y = n — 2. De l'équation (e) on déduit encore immédiatement

(~^— ) • (-7-) = (—7— ) • (-T^-) 5 ce qui donne

r. • 'Ai?

372 INTÉGRALES EULÊRIEHNÉS,

(/> — g — 3\ ^^^ A^s^i Ag^^ sin (g + 1) # tin (a-f* a) a» a /*^ AiA» * siii#8m24v

Ainsi on connaît la valeur de toute fonction f-\ dans laquelle ^-|-y=»— 3. En général y l'équation (e) dotine

et en mettant les valeurs tirées de l'équation (h), il en résulte

(y>— -g— i^\ ^^ Atf^jt-i 8În(g«|-i& — 1)# /» — g — i^ 4* i\ a J Ajk., sin {k — 1 )# * V g / *

Donc on aura , en général ,

(n— -g^-^\ AdA<ut.i . . . Aa4jk-.i sin (g + I ) c» 8În(g-f-a)# ... sin (g^^i^— 1)# ^. a /""" AiAft...Ajk.i * sio ifsiQ2«. . . sin (it— i)# • * 'v /'

Cest la valeur de tonte fonction T-J, dans laquelle ^+7 ^^t moindre que n.

7. Pour avcnr Fexpressiou générale de T-Horsque p + ? es.t plus grand que n^ observons que l'équation (e) donne aussi

Or par l'équation (b) on a

\ 1 / it + iAi/' par l'équation (i) on a

/^\ AAsin(ir+i)# \i/ sin 0 '

et par l'équation (h) on a

substituant toutes ces valeurs , il viendra

/n-^a + k+iK k Af,$ïn(k+i)m ^n^a + k\ ...