CHAPITRE £. 57S

substituant les valeurs connues, il viendra

De là et de l'équation (1) on déduit successivement

(n — a + 2\ I A, 4f sin 4f sin 24f a J 2 * Aa iArt a * sin a# sin (a — 1)4» sin (a — 2) a» ' (y> — g +3\ I A|Aa a» sin a» sin 2a» gin 3^

a ) ^ 3 * Atf«iA*«ftAtf 3 * sin a# sin (a — i) a» sin (a — a) • sin (a «^ 3) • ^

et en général,

(71 — a + it\ I AiA»...A/u-i a», sin a» sin 2a». . .sin it» ^ ^

a / i& * A^^iAïu-a* • •Ao.A * sin aaf sin (a — i)a», .. sin (a— /?)•'** *^ ^*

Cette formule donne la valeur de la fonction f -J lorsque p^q surpasse n\ ainsi en la réunissant à la formule (I^), on a généralement l'expression de toute fonction T-Y en supposant seulement connues les fonctions semblables pour lesquelles p \ qz=in — i, et on a déjà remarqué que le nombre de ces auxiliaires est ^ ou ^ , selon que 71 est pair ou impair.

8. La formule (n) pourrait être regardée comme une suite de la formule (k); et on n'aurait ainsi qu'une seule et même formule pour toutes les valeurs de/? et ç; mais alors on aurait besoin de nouvelles auxiliaires Ao, A..1, A.,etc.,

et il faudrait en fi.^ar les valeurs ainsi Ao= -: , ou plutôt i étant infini-

Sm Oaf' '

ment petit, A|=-: — r-=T, A,= — •AjyA^.ss — A., etc. C'est pour

éviter l'embarras de ces substitutions, surtout dans le cas de A«, que nous avons donné les deux formules séparément.

Il estaçsez étonnant que l'expression générale des fonctions r^j ait échappé

à Euler; on voit cependant qu'il s'était occupé spécialement de cette recherche , par le passage du tome V des Nova Acta Petropol. , pag. 1 25 , où il dit : Neque tamen hine adhuc elucet quânam lege omnes determinationes progre^ diantur, quandoquidem valores certarum formularum continuo magis évadant complicML

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574? INTÉGRALES EULÉRIETSNES ,

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