CHAPITRE m. B8S

Mettant dans la seconde ^* à h place de ^, ce qui ne change pas les Umites, on aura Q^r^-iy^—^^rzrip (sin 45^).

Ainsi tout se réduit à trouver l'int^ale Ç-\ ce qui se fera au moyen de

rintégrale T = y T/T""!!^? P^se depuis «== o jusqu'à js s=s oo .

On peut supposer d'abord qu'elle soit prise depuis zzzzo jusqu'à z = i ; ensuite pour la trouver depuis je =s i jusqu'à a = oo ^ il Beiudra mettre - à la

\/( -4- é\ ^ P^®°^^^ encore depuis js-sz o jusqu'à z=^i. Donc l'intégrale dont il s'agit est la même que l'intégrale / ^. ' ^^ P**»^ depuis z = o jusqu'à « = i.

Soit I — j5*=7z, on aura- — 2 = 7? —4-^2 =—^, V/(i4-«*) = z*|/[(7*+a)' — a]i donc

Cette intégrale devant être prise depuis ^ =s o jusqu'à 7 = ^ > nous ferons in*=2-|"V^^î ^=7?itang^, A'ssaj/^ — a, ce qui donnera l'intégrale indéfinie Tagly^^^ —b^sia^p) ~Jk^^^' (p) , et l'intégrale complète T' =: -^ F'£: donc enfin la valeur de la transcendante cherchée sera / «^ ) s^

3 " * F*ô, parce que d'ailleurs m s= ^ cos ç.

Mous remarquerons que le module b = y^(2 v/^ —- a) est le oomplément du module c = v/s -— i ; or par la propriété de ces modules 4wKy.teée art. 85 des fonct. elL^ on a F'^ = v^^F'c, donc on aura plus Amplement

(i) = 2iF'c = aiFl(tangj).

Cinquième cas .js es 1:2.

aS. Il suffit^dans ce cas de connaître les trois transcendant^ 1

584 INTÉGRALES EULÉRIENNES ,

La seconde et la troisième se ramènent immédiatement aux formules déjà intégrées. En effet, si dans la seconde on met x^ k la place de a?, on aura

G) = ^"yW^i^)= -'' 3-*^F'(sin .50); et si dans la troisième on met a? au lieu de âr, on aura

il ne reste donc plus qu'à trouver la première T- Y Considérons, pour cet

.^ , ^^ prise depuis z=o jusqu'à 2 = 00 , on

trouve, comme ci-dessus, qu'elle est ^ale à l'intégrale f TTr^rr^à prise depuis z= 0 jusqu'à z = i .

Soit I +«♦=;;«•, on aura la transformée Z =s j f J^ \^ - qu'il

&ac prendre depuis /7sss3 jusqu'à psssço. Soit encore /i*=3 la, et p* +»* sspc;, on aura

p^'^^jp^'h i2=zp^(v^ — an*+ 7)

— î f do . , ûfo

V/(o + 2/i) ^^ l/(» —an) '

et enfin ,

7 ï r f^ , 1 r du

Nouvelle formule dont les deux parties doivent être intégrées depuis t/=:j/(!2n*-4-7)=:i+V/3, jusqu'au = 00. Soit 2+v/5=A et u4-2it==jf*, la première partie deviendra

r idx

J |/(** —an + A) . i/{*»— an — A)'

Soit encore x^ = -—-- et ^' =î ^-Hl— , ou c = ^^7" K » 1» transformée

co8»^ aA ' ï + 1^3 '

^^^ ai/f2A^H 1//. ,^"^ ' «^N > et sa valeur dans les limites requises sera

Si l'on fait semblablement A=s j i/X > valeur qui sera le complément du module c^ l'autre intégrale sera —r— t. F'i.