CHAPITRE II. 3i

calculée pour chaque dhîème de degré, dans la pelile partie qui ne se prête pas facilemeut ^ux interpolations. L'inconvénient que nous remarquons ici dans la Table des log. des fonctions F'i, E'&, a lieu également, ou nfiéme à un plus haut degré, dans la simple Table des logarithmes des nombres, vers le commencement de cette Table, et jusqu'à une assez grande distance. Il a lieu également , et par la même raison , dans la Table des logarithmes-sinus, pour les petits arcs;, eit dans celle des logarithmestangentes, il se &it sentir tant pour les petits arcs que pouir ceux qui différent peu de 90^. Dans tous ces cas, les interpolations ne peuvent être faites avec sûreté, et il faut recourir à des moyens particuliers pour y suppléer.

676. Pour avoir le milieu entre deux termes consécutifs A, Ai d'une suite dont les difiërences deviennent progressi venaient plus petites qu'une quantité donnée, il est bon d'avoir recours aux termes qui précèdent et qui suivent les deux termes proposés. Supposons donc que la suite dont il s'agit soit représentée comme on voit ici :

...A( — 3), A( — 2), A( — i). A, Ai, Aa", A3, etc.;

et soit A~ le moyen cherché entre A et Ai, on aura

A/i\— >^+Ai I il^'AÇ— 04-^A , 1.3 /4A( — a)4-^A(— i)

Cette formule suit une loi très simple dont voici la démonstration.

Un terme quelconque A {x) peut en général être représenté par. • • . A (i 4-J^)'» pourvu qu'après le développement de cette puissance, chaque terme AJ^' soit remplacé par J^'A, Cela posé^ on aura, suivant cette notation , -

A+Ai=A + A(i+<r) = A(i+«r)-^[(f4-<r)*+(ï + /r*], .

jv.A(— I H- j^'A=A<f •( I +«f )--f-A«r*=A /»( I +«r)-'[( i+cr)*-i-( 1+/)- î]', cr<A(— 3)+«r<A(—i)=Aj^(i+«f)-'[(i+<r)'+(i+<r)-*]v

elc.

Si donc l'équation supposée a lieu, c'est-'à-dire, si en général A ({-) est de la forme

A(i)=;>(A-|-Ai)-f.;/ [/«AC— i) + J^»A]

+ ;»"[cr*A(-a) + J^*A(-i)] -|- etc. ,

Py p'^ p^\ etc., étant des coe(Hcîens constans; il faudra, en substituant les valeurs précédentes, qu'on ait l'équation identique

Soit — p-j=z; si on élève au quarré le premier membre de cette équa-, tion . il deviendra . , JT . i. = 7—; — ; donc on doit avoir

—l-—=,p ^p'z + ;.V + ;>'V + etc. ;

or cette équation est satis&ite généralement au moyen des valeurs suivantes ,

P=5> ;»=— 5-(î)» P =r4*(«^' P —^Tï:^'^')'^' Ces coefficiens donneront donc aussi la loi générale de l'expression de

Au reste, cette expression sera toujours si convergente, qu'il suffira de prendre les deux premiers termes, ou tout au plus les trois premiers.

677. y eut-on, par exemple, calculer la valeur de log F' qui répond à l'angle du module 0 = 61^ o5 ? On prendra dans la Table les valeurs suivantes :

A = 0.339 295 o3o 747 Al = 0.339 ^^9 ^^^ 4^3

cr'A( — 1) = 1 8ai o3o

Milieu cherché A (i) = 0.339 ^76 860 425.6

678. Soit encore proposé pour exemple de trouver log F' pour l'angle