CHAPITRE V

génies 9 il faudrait partir de la formnle (A'), et la diflereDcier par rapport à p y autant de fois qu'il est nécessaire. En la diflférenciant une fois j on aura

Z' = Cil°-S2]i + 2=? . -J + 2=£:22=£ . -1-4. etc.

— -/*! ""~9 I , ra — g. in— g i i

+ 2 'I u-p.2»-/).3»-p/ ' ■ ' 1 L\j.eic

l 2/i.4'»«6n.(3/i-|-y) \/»— /? 2/1 — p Zn-^p/*^

Ces suites sont convergentes , puisque chaque terme est moindre que la moitié du précédent; mais leur forme est compliquée, et elle le deviendrait davantage dans la différentielle du second ordre ou d'un ordre plus élevé, c'est pourquoi il convient de recourir à d'autres moyens^, si on veut évaluer facilement les intégrales dont il s'agit.

;2Q. Par la formule de l'art. 4 9 on a cette expression de Z,

7—,P+9 P+Ç+n p+q+txn

où les facteurs successifs dont le nombre est infini, s'approchent continuellement de l'unité qui est leur limite. Si on différencie, par rapport à;?, les logarithmes des dew^ membres, il viendra

^ — (!. i^ ^(—J i-'i+r ' —^ + elc

Zidp \p+q pJ \p+q+n />4-n/^^\/>-f-5f + 2n p+27>/^^

Soit <^ ou <b{p) une fonction de u, telle qu'on ait

<P =: p— H r— — — r — 7— H — -r — — —s — :j-r" + etc.

La fonction <b (y) devenant <t> (i), lorsque u=:i, on aura -» «^ ou g-=<&(i),

Or, en différenciant par rapport à u la valeur de 9, on a

,. , r uP-' + «H-»-' + oP-H.-' 4. etc. ï

— THv^ — yJ ^^^^

Sgtt INTÉGRALES EULÉRIENNES,

Cette intégrale doit être prise die nuuitère qu'elle V^anotiisse lorsque u OB o; on fi9ra ensuite t^ â=i , el on anira la ndeur <charchée de ^(i). Mettant ^ à la place de v et faisant

on aura Z' = ZT; donc si on prend, depuis x= o jusqu'à ^c= i , les trois intëgmles

Z'= I 1 Z =s 1 —=-—^=— , Tssi- ^ — dx:

la première sera ^le au produit de deux autres, ce qui est un théoràne fprt remarquable.

3o. Pour étendre encore davantage cette théorie, ccmsidérons ces deux suites d'intégrales en Z et T , prises depuis x â= o jusqu'à or ssc i .

etc. , etc.

11 résulte d'abord du théorème précédent qu'on a

Z^sbZT.

Différenciant cette équation par rapport k p^ et observant qu'on a ^ =:

— Z', ^ = — Z% S = — 1^. on aura 2''=Z'T+Zr, ou

Z"=Z(T»+TO. Celle-ci étant différenciée cU nouveau {urr rapport à p^ donne

z'"tt=s z(T^ + 3Tr+ ro ,

et ainsi de suite, la loi de ces expressions étant analogue à celle des différentielles successives de la formule uef^ , Si l'on veut donc avoir les. valeurs des quantités Z^, Z'', Z'^, etc., ou sim *