CHAPITRE V

plement leur rapport à la fonctioo primitive Z, il badra oonnaitrc lea quantités T, T^y V\ etc., en pareil nombre^ Mais, comme celles-ci sont rationnelles, et contiennent des puissances moins élevées de log-, on voit qu'au

moins la difficulté est diminuée.

3 1 . Si Ton int^e la différentielle x^-^^^^^dxy depuis a;=o jusqu'à J?= 1, on aura

/2ir^+«— 1^ — :L^ 5S3-Î- — — . 4-^-^i^-f. etc.

Si on met la même différentielle sous la forme oc^^^dbc •oc* j ou

«• 1 - flt^

jc^''^dx{i +aloga:+ — log'o: H k log* or + etc.) ,

son intégrale prise entre les mêmes limites , sera

faf^'^^dx -j- afic^^^dx log x -| ^foc^^dx log* x -f- etc.

L'identité de ces deux formules exige donc qu'on ait

/a:--éfcclog*Q) = /a:-Wxlog'(i) =

et en général

32. A l'aide de cette formule on peut exprimer les quantités IT, T', etc., par des séries régulières, composées des puissances réciproques des nombres pris à des intervalles égaux dans la suite des nombres naturels.

Ainsi en développant d'abord la différentielle qu'il faut int^er pour avoir T', on a

•' o * l — «^-•— «»*f+«i-" af+«-M.-.> etc. J '

et effectuant l'intégration entre les limites or s= o , J? =c i , il vient