CHAPITRE IV
il suit que la suite conteDue dans la formule {xf) deviendra nécessairement divergente après un certain nombre de termes. Mais ce qui est fort remarquable, c'est que cette formule n'en est pas moins propre à dcmner la valeur de (a, /i)* avec tout le degré d'approximation qu'op peut désirer. Pour cela il faut donner à x une valeur arbitraire d'autant plus grande qu'on voudra obtenir une plus grande approximation (la valeur ^=10 suffit pour donner 18 ou 20 décimales exactes). Au moyen dé cette valeur, on commencera par prendre la somme effective de la suite
. — L J 1 I- ' ' jL L .
substituant cette valeur de s ainsi que celle de x dans l'équation (x'), on aura pour la valeur de (a, n)* une suite d'abord très convergente , mais dont la convergence diminuera de plus en plus, jusqu'à un certain terme où elle deviendra divei^ente, et cette divergence augmenterait de plus en plus à l'infini.
Par le calcul des termes successifs , on obtiendra des résultats alternativement plus grands et plus petits jque la valeur cbercbée, et on devra s'arrêter aux termes où cesse la convergence.
Ces termes indiqueront deux limites fort rapprochées, entre lesquelles se trouve nécessairement la valeur de {a , /i)*.
Si ces deux limites ne donnaient pas encore une approximation suffisante , il ne resterait d'autre parti à prendre que de recommencer un nouveau calcul en donnant a x une valeur plus grande. Mais , pour l'ordinaire, une valeur médiocrement grande de x donnera une très grande approximation.
Nous donnerons ci-après un exemple du calcul de ces sortes de suites qu'on peut appeler suites demi-conuergentes.
38. Soit maintenant m = 3 et /s = 6, nous aurons l'équation générale
(«,6)»-(6-«, 6)» = d'où l'on déduit les deux suivan tes :
ét^ cos am
D'ailleurs on a (6,6)^ = ttr Ss , et
{i,6y -h (2,6)» + (5,6)»-|-(4,6)» H- (5,6y = jjg S,. T. U. 69
Cy')
5gÔ INTÉGRALES EULÉRlENJNES,
Ces ëquàtioâs sont insoifisantes pour déterminer toutes les iûcoiiiiues ; mais les diviseurs de 6 qoi soât a et 5 , en foamissetit de nour^es. On a en efièt ,
(a,6)'= J (i+^4-i5 + -^H-elc.)=J [(i,6)»-H(4,6)»],
(3,6)V= ^0+5-3+5-' +7 +etc.) =^[(.,6)» H- (3,6)»+ (5,6)»] ;
de là on voit que les cinq quantités (i,6)», (2,6)», (3,6)», (4,6)», (5,6)» se détermineront eh supposant connue Tune d'entre elles. Ainsi en faisant (1,6)» = ^, on aura
(SfiY = Ç — 4«» v/5.
La somme de ces quantités doit être égale à Hf S3 , ainsi on aura
on
Aëeiproquement on peut eiprimer toutes les quantités (i,6)^, (^>6)*> ^^^-y
au moyen de 8$ et de o) = g, et on trouve
ai( 39. On déduirait aisément des équations (q'^} les autres propriétés
